线性方程组的应用 毕业论文.doc

目录1、线性方程组的发展前景及一般理论的研究11.1线性方程组的三种表示11.11一般形式的表示11.12向量形式的表示11.13矩阵形式的表示11.2齐次线性方程组11.21齐次线性方程组有非零解的条件11.22 齐次线性方程组解的性质21.23齐次线性方程组解的结构21.3非齐次线性方程组21.31非齐次线性方程组的有解判定21.32非齐次线性方程组解的性质31.33非齐次线性方程组解的结构32、线性方程组理论的三个应用32.1线性方程组一般形式的运用32.2线性方程组向量形式的运用62.3线性方程组矩阵形式的运用7线性方程组的应用中文摘要：线性方程组的应用是现代数学运用中最为广泛的一种， 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题，感受数学的魅力.通过对线性方程组理论的充分认识和应用范围的广泛研究，我们从以下几个方面入手：（1）认清当前线性方程组的发展前景以及介绍线性方程组的一般理论的研究（2）通过学习线性方程组的理论知识，掌握线性方程组的一般形式的运用，并从其几何应用、求解基础解系、解一般线性方程组以及方程组有无解的判定等几个方面来讲述如何巧妙地运用该理论解决学习、生活、工作中遇到的实际问题（3）巧妙地研究线性方程组的向量形式的运用，通过列举该理论在线性相关、线性相关以及向量组等价等方面的几个示例来充分认识该理论（4）研究线性方程组的矩阵形式的简单、灵活运用，通过例题来证明向量组秩之间的某些关系，运用矩阵的形式来解决一些复杂的问题.线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支，很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题，同时线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都有着广泛的应用, 因此为了能够更好地解决现实中的问题，我们做出了上述的总结，总之线性方程组的应用是一门最基本的和最重要的理论应用.关键字：线性方程组；基础解系；通解和特解；增广矩阵；矩阵秩the application of linear equationsyang qiang(tutor：li kaican)department of mathematics, hubei normal university , huangshi, china, 435002abstract：the application of linear equations is the most widely used in the use of modern mathematics, in order to better use this theory, we must consciously linked the use of conditions of the various theories in the problem solving process, and according to the practical problems,appropriate transform knowledge, learn to choose the most effective approach to problem solving have to skillfully apply the theoretical knowledge to solve mathematical problems, to feel the charm of mathematics. fully understand the theory of linear equations and application range of extensive research,we start from the following aspects:(1) understand the current prospects for the development of linear equations and to introduce the general theory of linear equations(2) learn the knowledge of the theory of linear equations, to master the use of the general form of linear equations, and from its geometric applications, solving the fundamental system of solutions, solution of linear equations and equations to determine whether the solution several aspects on how to skillfully apply the theory to solve practical problems to learn, live, work encountered(3) ingenious study of the use of linear equations in vector form, to cite a few examples of the theory of linear, linear dependence and vector group equivalent to fully understand the theory(4) the study of linear equations in matrix form is simple, flexible use of examples to prove the relationship between the vector group rank matrix form to solve some complex problems.the theory of linear equations has penetrated into many branches of the mathematical development of many practical problems to deal with the last is often attributed to the relatively easy to deal with the problem of linear equations, linear equations in engineering technology, space geometry and the national in many areas of the economy have a wide range of applications, so in order to be better able to solve real problems, we make the above summary, in short, the application of linear equations is one of the most basic and most important theoretical application.31、线性方程组的发展前景及一般理论的研究线性代数起源于研究线性方程组的过程中，科学家们试图找到一般的方法来求得它们的解。线性方程组的理论是线性代数的基础部分，这个理论包括三个方面：线性方程组的求解方法；线性方程组解的情况的判定；线性方程组的解的结构。线性方程组的理论无论是在线性代数里还是在数学的其他分支以及工程技术中都有着广泛的应用。因此熟练的掌握和运用线性方程组的理论是线性代数这门课程的基本要求之一.在高等代数的研究中我们一般常用矩阵、向量作为研究工具，进而系统地得到从多项式、矩阵、广义逆矩阵、线性空间、欧式空间等五个方面的应用，说明线性方程组理论也是研究高等代数强有力的工具.1.1线性方程组的三种表示1.11一般形式的表示 1.12向量形式的表示，其中，.1.13矩阵形式的表示 ，其中， .特别地，当时，称为齐次线性方程组，而当时，称为非齐次线性方程组.1.2齐次线性方程组1.21齐次线性方程组有非零解的条件( i ) 有非零解的列向量组线性无关.（ii）若方程的个数小于未知量的个数，则必有非零解.（iii）当时，即为方阵时，有非零解.1.22 齐次线性方程组解的性质（i）若均为的解向量，则也是的解向量.（ii）若是的解向量，则对任意的常数也是的解向量.(iii ) 维向量是元齐次线性方程组的解与的每一个行向量正交.1.23齐次线性方程组解的结构 （1） 齐次线性方程（1）的一组解称为（1）的一个基础解系，满足以下两条： （i）方程组（1）的任一个解都能表示成的线性组合. （ii）线性无关.设是的一组线性无关的解向量，如果的任一解向量均可由线性表出，则称为的解空间的一个基，亦称是的一个基础解系.此时的解向量可表示为，其中为任意常数，表示系数矩阵的秩即，此式称为的通解.1.3非齐次线性方程组1.31非齐次线性方程组的有解判定有解可由的列向量组线性表出向量组与等价.更为准确的有：有唯一解有无穷解无解1.32非齐次线性方程组解的性质（i）若是的一个解，是其导出组的一个解，则是 的解.（ii）若均是的解，则是其导出组的解.（iii）设是的解，若，则也是的解.1.33非齐次线性方程组解的结构 若得一个解为，则的任一解总可以表示为，其中为其导出组的解；又若的通解为，则的任一解总可以表示为：，其中为任意常数，故此式即是的通解， 是导出组的一个基础解系.2、线性方程组理论的三个应用2.1线性方程组一般形式的运用例1 设有平面上四个点（）,矩阵如下： 则这四点共圆的充分必要条件是矩阵与矩阵的秩相同, 即.证明：设平面上圆的一般方程为, 其中为不全为零的常数, 考虑关于的方程组如下： （2）则由齐次线性方程组解的理论知识可知: 四点（）共圆关于 的线性方程组（2）有解矩阵与矩阵的秩相同，即.例2 求下述齐次线性方程组的一个基础解系 解 把方程组的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵：于是方程组的一般解为： 其中是自由未知量.令得 得 得这里就是方程组的一个基础解系.例3 解线性方程组： 解 把此方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵： 从而得到此方程组的一般解为： 其中是自由未知量.对于方程个数与未知量个数相等的非齐次线性方程组，如果它的系数行列式不为零，我们还可以用克莱姆法则求解.但是这种方法计算量很大，因此我们一般不用它，只是对少数字母系数的方程组采用克莱姆法来进行求解.例4 非齐次线性方程组 求当为何值时方程组有解？此时有多少解？解 把方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵： 显然，当时，方程组无解；当时，方程组无解，此时由于阶梯形矩阵的非零行有2行，而未知量有4个，所以方程组有无穷多个解，易求出一般解为 其中是自由未知量.2.2线性方程组向量形式的运用例1 证明：如果向量组线性无关，而线性相关，则向量可以由线性表述.证 有题设，可以找得到一组不全为零的数使显然，否则若，而不全为零使上式成立，这与向量组线性无关的假设矛盾，所以这样，即命题得证.例2 已知两个向量组有相同的秩，且其中一个可以被另一个线性表出，证明：这两个向量组等价.证： 设这两个向量组为（i）和（ii）且它们的极大线性无关组分别为和并设可由线性表出，由于是线性无关的，由前面学过的知识得 （）且，从而上式可以解出（）即也可以由线性表示，从而他们等价.再由它们分别同向量组（i）和（ii）等价，所以（i）和（ii）等价. 2.3线性方程组矩阵形式的运用 例 1 （1）求一个以为通解的线性方程组. （2）设，已知线性方程组有两个不同的解（i）求和的值 （ii）求线性方程组的通解.解 （1）设所求的线性方程组为，依题意，即，所以可以设.因为是导出组的一个基础解系，所以由已知的的3个行向量恰好可以取为齐次线性方程组的一个基础解系：，于是所求方程组即为而由已知该方程组的一个解，所以，故以下方程组即为所求（2）（i）对增广矩阵作一系列的初等行变换化为行阶梯形依题意必有，则必有，于是或，而.又知当时，方程组无解，所以必有，此时有.（ii）由（i）我们知，将带入矩阵中，便得与原方程组同解的方程组故易得通解为（为任意常数）例2 设为一的矩阵，为一的矩阵，且.证明： 1) 如果，那么.2）如果，那么.证明： 1) 由于，则中必有一级子式不为零，设，这里是的列向量，不失一般性，设则由得我们知，则.2）由得利用第（1）问我们得到即.例3 设为的矩阵，证明：如果，那么. 令则故有即齐次线性方程组有组解设，则可由个线性无关的向量组线性表示，则即例4 若已知为的矩阵，且，证明：证： 因为，故，即由乘法秩之间的关系我们得到 （1） 同时 再由加法秩之间的关系，我们得到 （2）由（1），（2）得 则命题的证例5若均为的矩阵，证明：证明：要证，我们只要证，同时下面我们证.令，表示的行向量，表示的行向量.由计算可知的第个分量和的第个分量都等于因而 （）即矩阵的行向量可经的行向量线性表示.所以的秩不能超过的秩，即同样的，令,这里表示的列向量，表示的列向量.有计算可知 （）这个式子表明，矩阵的列向量组可以经矩阵的列向量组线性表示，因而前者的秩不能超过后者的秩，即故综上所述.【参考文献】1 史明仁. 线性代数600证明题详解m. 北京: