数学与应用数学毕业论文-特征值与特征向量的应用28696.doc

本科生毕业论文设计 特征值与特征向量的应用 作者姓名： 卢超男 指导教师： 兰文华 所在学部： 信息工程学部 专 业： 数学与应用数学 班级（届）： 2013 届 2 班 二一三年四月二十六日 目 录 摘要 .1 绪论 .2 1 特征值和特征向量 3 1.1 特征值与特征向量的概念 .3 1.2 特征值与特征向量的性质 .3 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 4 2.1 具体的数字矩阵 .4 2.2 抽象的矩阵 .4 2.3 相似矩阵 .5 2.4 实对称矩阵 .6 3 特征值和特征向量在生活中的应用 .8 3.1 经济发展与环境污染的增长模型 8 3.2 莱斯利（leslie）种群模型 .11 参考文献 18 英文摘要 19 摘要 特征值与特征向量是高等代数中一个重要的部分，并在理论和学习及实际生活，特 别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性 质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应 用有着非常重要的价值. 正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质的充分总 结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部分，是具体的将矩 阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹配，具体的解决问题并有相 关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在生活的具体事例，来展示他的应用性。 特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、性质， 在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。 关键词：特征值，特征向量，矩阵 2 绪论 在已有研究的基础上，该文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特 征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加简捷便 利，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽例子的阐述和说明.该文重点介绍了对特 征值与特征向量在不同类型矩阵中的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的 作用，在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，使问题更简单，运算上 更方便，是简化有关复杂问题的一种很好而有效途径.该文就是通过大量的例子加以说明 运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃 而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性得到了很大的展现。 3 1 特征值和特征向量 1.1特征值与特征向量的概念 定义 1，设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中的一数a ，存在一个非零向量 ，使得0 0= 那么 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量。0 a0 定义 2，设 是 n 阶矩阵，若存在数 及非零的 n 维列向量 ，使得a 成立，则称 是矩阵 特征值，称非零向量 是矩阵 属于特征值 的特征向 量。 （注：特征向量是非零向量） 行列式 称为矩阵 的特征多项式。 称为矩阵 的特征()fa0a 方程。 1.2特征值与特征向量的性质 1） 如果 都是特征值 所对应的特征向量，则 的线性组合 12， i12， 12ka （非 0 时）仍是属于 的特征向量。i （注：该性质说明 的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个i 特征值。 ） 2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当 时矩阵 的 k 重特征值时，矩ia 阵 属于 的线性无关的特征向量的个数不超过 k 个。ai （注：因 a 只有 n 个特征值，故 a 的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多有 n 个，并且若 是矩阵 a 的不同特征值， 分别为 的特征向量，则 与12, 12,12,1 的线性组合 不再是 a 的特征向量。 ）22ka 3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵 a 行列式的值，即 11,nniii 4）n 阶矩阵 a 和他的转置矩阵 有相同的特征值。 5）n 阶矩阵 a 可逆的充分必要条件是，他的任一特征值均不等于零。 4 6）若 是矩阵 a 的特征值，则对任何正整数 k, 是 的特征值。 kka 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 2.1具体的数字矩阵 对于具体的数字矩阵的步骤如下： 1）先有具体的特征方程 求出矩阵 a 的全部特征值 0a i （i=1,2,3,、 、 、n,）,其中可能有重根， 2）对每个不同的特征值 ，分别解齐次方程组 ，i ()x0i 3）求出方程组的基础解析 （注：设 ，基础解析为 、 、 、 ， 则矩阵 a 属于特征值 的()iirra12,inr i 全部特征向量为 （其中 ， 是不全为零12n+iirkk、 、 、 12kinrk 的任意常数。 ） 例 1，求矩阵 的特征值和特征向量？ 3462a 解：本题可以由特征方程 ，即0a 22 3474663(7)51)() 当 时， 得 410,2a121,0; 当 时， 得 2 5482,403,2 当所以 a 的特征值是 相应的特征向量分别是1237, 其中 123,k(k,)(0k. 2.2抽象的矩阵 抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及性质推导出特征值的取值。 5 例 2，设 a 是 3 阶矩阵， 是 3 维线性无关的列向量，且12, 12312345,0aa 求矩阵 a 的特征值和特征向量。 解：由 知 是 a 的特征值， 是 的特征向量。330,03 由已知条件，有 123123123123(,)(,45,0)=-0,5（ ， ， ） 记 由 线性无关，知矩阵 p 可逆，123(,),123, 其中 40,5 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 b 的特征多项式 2 1403(1),5 所以矩阵 a 的特征值是-1，-1,0. 对于矩阵 b， 2401201.35 所以矩阵 b 关于特征值 的特征向量是 =-1=-（ 2,1） 。 若 即 那么矩阵 a 关于特征值 的特征向量是=， a（ ） ， - 123123 -=+（ ， ， ） 。 因此， 分别是矩阵 a 关于特征值 和 的特征1k232(),k =-10 向量， （ ） 。0 6 2.3相似矩阵 定义 1：设 a，b 是 n 阶矩阵，如存在可逆矩阵 p，使 则矩阵 a 与 b 相似，记, : 利用特征值和特征向量解决矩阵的相似对角化，其解题步骤： 第一歩，先求出矩阵 a 的特征值 ：12,n 第二步，再求出所对应的线性无关的特征向量 12,.n 第三歩，构造可逆矩阵 p =（ ） ，则 12,.n 12=.na 例 1，已知 求可逆矩阵 p，使得 102,3a . 解：由 2 110(3)2(3) 得矩阵 a 的特征值 13,0. 当 时，对 3 210210(), ,a 的特征向量 12(,0),(,1). 当 时，对 0 2010(), ,3a 得特征向量 3(1,). 那么，令 有 123 01(,),3.0a 7 2.4实对称矩阵 实对称矩阵的性质 （1） ，实对称矩阵的必可对角化； （2） ，特征值全部是实数； （3） ，不同特征值得特征向量相互正交； （4） ， 重特征值必有 个线性无关的特征向量，或者说必有秩 inin ()n.ira 解题实对称矩阵的一般步骤： 第一步，当 a 的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵 p； 第二步，当特征根有重根 时，要检查特征向量是否正交，否则必须对 的特征向i i 量用 schmidt 正交化处理，才能构造出正交矩阵 p。 例 2：设矩阵 的特征值有重根，试求正交矩阵 q，使 为对角形。 124a a 解：a 的特征多项式 1212440aa 2 33210()1()a0,a 由于判别式 没有实数根，即4(3)（ -） 所以只能 是重根。于是2 2(3)a0k,2 必有 的因式，() 因此由 得 a=-2.2a32, 对于 由 即 ,()x0,a121240， 得到线性无关的特征向量 用 schmidt 正交化方12=,(,1).（ -） 法，现正交化，有 8 2112 2(,)41, 0,50 再将 单位化，得12, 121,4.5350 对于 由 即 7,()x0,a82-5401.4 得特征向量 单位化为 3(1,2)31(,2). 那么，令 即有 123 54(,),3205q12q=a.7 3 特征值和特征向量在生活中的应用 矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、生命科学和环境保护等领域都有 着广泛而重要的应用.结合数学模型来研究经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利 （leslie）种群模型这两种模型，还有很多相关的生活实例，在本文中着重介绍经济发 展与环境污染的增长模型和莱斯利（leslie）种群模型这两种模型。 3.1 经济发展与环境污染的增长模型 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.党的十八大也做出了 重要的决策。为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可以建立如下数学模型： 设 分别为某一地区目前的经济发展水平与环境污染水平， 分别为该地0,yx 1,yx 9 区若干年后的经济发展水平和环境污染水平，且有如下关系： 令 则上述关系的矩阵形式为 该式反映了该地区目前和若干年后的经济发展水平和环境污染水平之间的关系. 如 则由上式可得 由此可以预测该地区若干年后的经济发展水平和环境污染水平. 一般地，若令 分别为该地区 t 年后的经济发展水平与环境污染水平，则经济发展tyx, 与环境污染的增长模型为 令 则上述关系的矩阵形式为 由此，有 由此可预测该地区 t 年后的环境污染水平和经济发展水平.下面可以作出进一步地相关讨 论： 由矩阵 a 的特征多项式 01023yxy10,x213a.01100yx 001 414123a),2,1(23 11 ktyxyttt ttt tty ktatt ,2,1,1.)(, 010323 21201 tt aa )1(4213| e 10 得 a 的特征值为 对度 ，解方程 得特征向量410)4(xae 对 ，解方程 得特征向量1 显然, 线性无关21, 下面分三种情况分析： case 1 一个性质:若 是矩阵 a 的属于特征值 的特征向,则 也是 的属于特征值 的特征向kak 量度 (*) 由(*)及特征值与特征向量的性质知， 即 或 此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下， t 年后，当经济发展水 平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势. 不讨论此种情况020y 不是特征值, 不能类似分析。但是 可以由 唯一线性表出来0021，213 1,211210 14 10ttttt 14ttyxtttyx2120case713 0ase 11 由(*)及特征值与特征向量的性质 即 由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平. 因无实际意义而在 case 2 中未作讨论，但在 case3 的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中 成功的被应用. 3.2 莱斯利（leslie）种群模型 莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。 设某一动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 l(单位：年） ，将区间0, l作 n 等分得 n 个年龄组 每个年龄组的长度为 设第 i 个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为 i ，存活率（即第 i 个年龄组中可存活到第 i+1 个年龄组的雌性动物的数目与 第 i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为 bi 。 令 ,21 21210 43433)( tttttt ttttt aa,43ttttyx,2tt 43tty2 ,1lnii,2,1ni.,1ln)0()(201)0(nxx 12 即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。 取 设在时刻 tk 该动物种群的第 i 个年龄组中雌性动物的数目为 令 则 x(k)即为时刻 tk 该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化， 该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化. 易知，时刻 tk 该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段 tk-1,tk 内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即 （2.1） 又 tk 时刻该动物种群的第 i+1 个年龄组中雌性动物的数目等于 tk-1 时刻第 i 个 年龄组中雌性动物的存活量，即 （2.2） 联立（2.1）和（2.2）得 （2.3） 即 （2.4） )0(x,lnkt,21 ,)(kixn,21,21k,)()(21)(nkxx )1()1(2)1()(1 knkkk xaxax ,)()1()(1kiikiki xbx 1,2ni1,2,)1()(1 )()(nixbxaakiki knk )1()( )1(2)(3)1(2 )1()1()1(2)(1 knknkkk knknkk xbxxbx xaa 13 令莱斯利矩阵 则（2.4）即为 于是 （2.6） 由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量 x(0)，则可计算出 tk 时 刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量 x(k)，从而对该动物种群中雌性动物的数量作 出科学的预测和分析. 例 31 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为 15 年，且以 5 年为间隔将雌性动物 分为 3 个年龄组0,5,5,10,10,15.由统计资料知，3 个年龄组的雌性动物 的生育率分别为 0，4，3，存活率分别为 0.5，0.25，0，初始时刻 3 个年龄组 的雌性动物的数目分别为 500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种 群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析. 解： 由（2.6）得 001211nnbbaal ,)1()(kklx,2.,)0()1()( )(3)2()3( 012)0()1( lxkkk ,315nl,3,4,021aa .250,.1b,50)(x025.l2501025.34)0()1(lx5.627025.034 )1()2(l 14 下面求 由矩阵 l 的特征多项式 得 l 的特征值为 由矩阵 l 可相似对角化. )0()1()( xlxkkk.k )4123)(25.0.34| e43,43,2 1 得 特 征 向 量， 解 方 程 组对 0)23(231 xle183特 征 向 量 得， 解 方 程 组对 0)45(45 2 xle53612特 征 向 量 得， 解 方 程 组对 0)4(43 xle 15 令矩阵 则 p 可逆，且 于是 从而 5361435353186146),(321p 3211lp1321)0(1321)0()( xpxlkk )0(112121 )0(1321)0(1321)(xppxppxpkkk kkk 16 两边取极限得 501353186146)(1212kkkp 501387257609538198179)(11212kkkp195206587)(1 1212kkkp 195206587)(11212)(1 kkkpx 195206587)(1lim1li 1212)( kkkkpx 17 于是，当 k 充分大时， 由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分布将 趋于稳定，即 3 个年龄组中雌性动物的数目之比为 且时刻该动物种群的 3 个年 龄组中雌性动物的数目分别为 195206587)(1lim1212kkkp.192750),(019275 )1,(19206558701 3321 212 pp 1831)2(97501927501927501)()(1 kkkkx,:3 18 且其总和为 参考文献 1 王萼芳,石生明.高等代数m.北京:高等教育出版社,2003. 2 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究j.山东行政学院山东省经济管理干部 学院学报，2008， （91）:4648. 3 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究j.重庆三峡学院学报，2009,25（117）： 135138. 4 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系j.连云港师范高等专科学 校学报，2004,（4）：7576. 5 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法j.铜仁学院学报，2009,11（3）：139 140. 6 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法j.甘肃联合大学学报（自然科学版） ， 2006,20（3）：2022. 7 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题j.大学数学，2004,20（4）： 9295. 8 姚幕生.高等代数m.上海:复旦大学出版社,2002 9邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究j.菏泽学院学报，2006，（5）：20 23. 10奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用j.枣庄师专学报，1991,（2）： 2630 11郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用j.渝州大学学报（自然科学 版），2000,17（2）：7275. 12同济大学数学教研室.线性代数（第二版）m.北京：高等教育出版社.1993,115 137 13矩阵的特征值、特征向量和应用j.临沂师专学报，1994，（5）：17. ,)23(19750k ,)23(570k .)23(4750k.)(14k 19 英文摘要 applications of eigenvalue and eigenvector abstract: characteristic value and characteristic vector in higher algebra is an important part of, and in the theory and the learning and real life, especially in the modern science and technology has a very important role. this article mainly discusses and summarizes the properties of eigenvalues and eigenvectors, through examples show the superiority of eigenvalue and eigenvector and convenience, eigenvalues and eigenvectors and their applications has very important value. text has divided into three parts, the first part, the concept of eigenvalue and eigenvector, properties of fully summarized. this is in order to better use of the definition and properties to solve the related matrix of the problem; the second part, is concrete matrix to classification, according to the type of matrix and characteristic value and characteristic vector matching and the properties of concrete problem solving and a related example. the third part, it is name eigenvalue and eigenvector in the concrete facts of life, to show his application. characteristic value and characteristic vector has a wide range of uses, this paper only on characteristic value and characteristic vector concept, properties, application in mathematical matrix and life carries on the brief research conclusion. keywords: characteristic value of characteristic vector matrix 20 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）评议书 姓 名 学部 信息工程 专业 数学与应用数学 年级（班） 2009 级 1班 论 文 题 目 特征值与特征向量的应用 完成时间 4 月 26 日 论 文 内 容 摘 要 本篇论文，通过对特征值和特征向量的基础性阐述，应用到矩阵的解题实 例中，最后进行对生活中应用的论证。而且特征值与特征向量是高等代数中一 个重要的部分，并在理论和学习及实际生活，特别是现代科学技术方面都有很 重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特 征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常 重要的价值. 正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质 的充分总结。这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部 分，是具体的将矩阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹 配，具体的解决问题并有相关的例题。第三部分，是举出特征值与特征向量在 生活的具体事例，来展示他的应用性。 特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、 性质，在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。总体的思路很明确， 有最基础的知识，到相关书本上的应用，最后来阐述在生活中现有的实例，来 证明特征值与特征向量的重要性。 指 导 教 师 评 语 年 月 日 21 指 导 教 师 职称 初评成绩 姓名 职称 教研室 组长 麻常利 教授 代数 李玉成 副教授 分析 刘淑霞 讲师 代数 兰文华 副教授 离散 答辩小组 成员 答辩记录： 记录人签字： 年 月 日 答辩小组意见： 组长签字： 年 月 日 22 学院意见： 评定成绩： 签章 年 月 日 23 河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编 号： 2013230 论文（设计）题目； 特征值和特征向量的应用 学 部： 信息工程学部 专业： 数学与用用数学 班级： 2009 级 2 班 学生姓名： 学号： 指导教师： 兰文华 职称： 副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对特征向量与特征值的应用的研究，来充分利用的特征向量与特征值计算的简便解 决相关问题，应用于数学解题计算中和生活实际的应用中。主要是归纳研究出特征向量 和特征值在不同类形的矩阵中，怎样帮助解决相关试题。同时将特征值和特征向量应用 到生活中的应用，如经济应用，环境污染的增长类型，莱斯利种群的相关问题。 2、论文（设计）的主要内容 特征值和特征向量的相关概念，性质。在数学中，按照分类矩阵来应用特征值与特征向 量来解题。在生活中的几个方面的应用。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 首先，明白相关的定义，如特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵等相关的概念。 其次，了解他的相关性质，并应用到解题和相关的生活中。 4、主要参考文献 24 1 王萼芳,石生明.高等代数m.北京:高等教育出版社,2003. 2 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究j.山东行政学院山东省经济管理干部 学院学报，2008， （91）:4648. 3 向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究j.重庆三峡学院学报，2009,25（117）： 135138. 4 吴春生.浅议线性变换与矩阵的特征值与特征向量的关系j.连云港师范高等专科学 校学报，2004,（4）：7576. 5 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法j.铜仁学院学报，2009,11（3）：139 140. 6 杨廷俊.矩阵特征值与特征向量的同步求解法j.甘肃联合大学学报（自然科学版） ， 2006,20（3）：2022. 7 李延敏.关于矩阵的特征值与特征向量同步求解问题j.大学数学，2004,20（4）： 9295. 8 姚幕生.高等代数m.上海:复旦大学出版社,2002 9邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究j.菏泽学院学报，2006，（5）：20 23. 10奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用j.枣庄师专学报，1991,（2）： 2630 11郭华，刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用j.渝州大学学报（自然科学 版），2000,17（2）：7275. 12同济大学数学教研室.线性代数（第二版）m.北京：高等教育出版社.1993,115 137 13矩阵的特征值、特征向量和应用j.临沂师专学报，1994，（5）：17. 5、计划进度 阶段 起止日期 1 指导教师和学生进行双选，确定对应名单 2012.12.31-2012.01.21 2 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、 论文开题 2013.01.21-2013.03.15 3 进行毕业论文的初稿写作 2013.03.20-2013.04.05 4 进一步修改论文，并最终定稿 2013.04.06-2013.04.26 5 论文答辩、填报毕业论文的有关资料 2013.05.08 指 导 教师: 年 月 日 教研室主任: 年 月 日 25 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书 信息工程 学部 数学与应用数学 专业 2013 届 学生 姓名 论文（设 计）题目 特征值与特征向量的应用 指导 教师 兰文华 专业 职称 副教授 所属教 研室 离散 研究 方向 离散与组合几 何 课题论证：见附页 方案设计：首先，对矩阵中的特征值与特征向量的定义及相应的性质；其次，对不同 类型的矩阵进行分类，与此同时，利用特征值与特征向量的定义和性质进行解题；最 后，举生活中的实例。来证明特征值与特征向量在生活中几方面的应用。 进度计划： 2012.12.31-2012.01.21：指导教师和学生进行双选，确定对应名单 2013.01.21-2013.03.15：毕业论文选题，文献调研填写论文任务书、开题 报告 2013.03.20-2013.04.05：进行毕业论文的初稿写作 2013:04.06-2013.04.26：进一步修改论文，并最终定稿 2013.05.08：论文答辩、填报毕业论文的有关资料 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 26 附页：课题论证 矩阵是数学领域中的一个重要的基本概念之一,是高等代数的一个主要研究对象,也 是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组 成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许 多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更 深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探 究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可 以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，还有在力学、信息、科技等方面都有十分广泛 的应用. 目前关于已经有很多专家学者在此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在浅谈中“特征值与特征向量”的引入中，从线性空间 v 中的线性变换在不同基下 的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的概念.郭华、刘小明在特征 值与特征向量在矩阵运算中的作用中，从方阵的特征值与特征向量的性质着手，结合 具体的例题阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征 向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的一阶特征值与特征向量的一 种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而 不一定收敛与第一阶。陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的 讨论中讨论了初始向的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，在方阵 阶数很高时计算起来相当的繁琐，赵娜、吕剑峰在特征值问题的 matlab 实践中，从 实际案例出发，利用 matlab 软件求解特征值问题的全过程.汪庆丽在用矩阵的初等变 换求矩阵的特征值与特征向量中，研究了一种只要对矩阵作适当的初等行变换就能求 到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证了它方法的合理性，并阐述该方法的具体求解 步骤.岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中，研究了已知 n 阶对称 矩阵 a 的 k 个互不相等的特征值及 k-1 个特征向量计算出矩阵 a 的计算方法.张红玉在 矩阵特征值的理论及应用中，讨论了通过 n 阶方阵 a 的特征值得出一系列相关矩阵 的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出了正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在矩阵 的特征值、特征向量和应用一文中，很好的讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特 殊情况，以及在矩阵对角化方面的相关计算应用.冯俊艳、马丽在讨论矩阵的特征值与 行列式的关系中，探究了利用矩阵的特征值解决行列式的问题. 27 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）文献综述 在国内外有很多关于特征值与特征向量的研究成果，并且有很多专家学者涉足此领域 研究该问题.吴江、孟世才、许耿在浅谈中“特征值与特征向量”的引入 中从线性空间 v 中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与 特征向量的定义；郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵 的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵 运算中所起的作用；矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代 法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果 可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在矩阵迭代法 求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始向量的选取问题.特征值理 论是线性代数中的一个重要的内容；当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑 峰在特征值问题的 matlab 实践中从实际案例入手，利用 matlab 软件讨论了求解特 征值问题的全过程.汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了 一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方 法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤；岳嵘在由特征值特征向量去顶矩阵的方 法证明及应用中探究了已知 n 阶对称矩阵 a 的 k 个互不相等的特征值及 k-1 个特征向 量计算出矩阵 a 的计算方法；张红玉在矩阵特征值的理论及应用中讨论了通过 n 阶 方阵 a 的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩 阵的结论；刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中讨论了矩阵的特 征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用；冯俊艳、马丽在讨 论矩阵的特征值与行列式的关系中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题等等。 在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特 征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的归纳使得这一工具的使用更加便利， 解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量 的计算进行详尽的阐述和说明.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍 了对特征值与特征向量的应用归纳,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，以及 部分在实际生活中的应用。在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可 以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大 量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数 中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来. 28 河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）翻译文章 矩阵的特征值可以确定所发现的特征多项式的根。多项式的根的显式代数公式仅当 存在比率为4以下。根据阿贝尔 - 鲁菲尼定理5个或5个以上的多项式的根源是没有一般 情况下，明确和准确的代数公式。 事实证明，任何程度的多项式是一些同伴阶矩阵的特征多项式。因此，5个或更多的 顺序的矩阵的特征值和特征向量不能获得通过明确的代数公式，因此，必须计算的近似 数值方法 在理论上，可以精确计算的特征多项式的系数，因为它们是矩阵元素的总和，有算 法，可以找到任何所需的精度。然而，任意程度的多项式的所有根这种方法在实践中是 不可行的，因为系数将被污染的不可避免的舍入误差，多项式的根可以是一个极为敏感 的功能（例如由威尔金森的多项式系数） 。 在实践中可行，因为系数将被污染的不可避免的舍入误差，多项式的根可以是一个 极为敏感的功能（例如由威尔金森的多项式系数） 直到 qr 算法在1961年的来临，高效，精确的方法来计算任意矩阵的特征值和特征 向量。 与 lu 分解法的查询结果在一个算法中与更好地的 qr 算法的收敛性比。结合 了 householder 变换。对于大的的厄密共轭的稀疏矩阵，thelanczos 算法; 是一个有效的 迭代的方法，以计算特征值和特征向量获得的一个例子，在一些其他的可能性。 编辑计算特征向量 一旦一个特征值（精确）的值是已知的，可以找到对应的特征向量，通过寻找特征值方 程的非零解，即成为与已知的系数的线性方程系统。例如，一旦它是已知的，图6是矩阵 的特征值 我们可以找到它的特征向量，通过求解方程，也就是 yx6314 该矩阵方程相当于两个线性方程组的 也就是6y3x402-x 两个方程减少到单一的线性方程 .因此，任何载体的形式，任何非零实数，是一个y2 特征值与特征向量相匹配。 上述矩阵 a 有另一个特征值。类似的计算表明，对应的特征向量是非零的解决方案， 那就是，任何载体的形式，任何非零实数 b。 某些数字的方法，计算的矩阵的特征值也确定一组对应的特征向量作为副产物的计 算。 里昂，线性代数（第一版） 【m】.北京：机械工业出版社， 2011. the eigenvalues of a matrix can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree is 4 or less. according to the abelruffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more. it turns out that any polynomial with degree is the characteristic polynomial of some companion matrix of order . therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an explicit algebraic formula, and must therefore be 29 computed by approximate numerical methods. in theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.10 however, this approach is not viable in pra