拉格朗日中值定理论文.doc

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肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀羅腿芈葿蚅羂膄蒈螇膈肀蒇衿羀荿蒇蕿膆芅薆蚁罿膁薅螄膄肇薄袆羇蒆薃蚆螀莂薂螈肅芈薁袀袈膄薁薀肄肀薀蚂袆莈虿螅肂芄蚈袇袅膀蚇薇肀膆蚆蝿袃蒅蚅袁膈莁蚅羄羁芇蚄蚃膇膃芀螅羀聿荿袈膅莇莈薇羈芃莈蚀膃艿莇袂羆膅莆羄衿蒄莅蚄肄莀莄螆袇芆莃衿肃膂蒃薈袆肈蒂蚁肁莆蒁螃袄莂蒀 摘要本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的存在 性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.关键词: 关键词拉格朗日中值定理 可导 连续lagrange mean value theorem and some applicationsabstractthis paper mainly discusses the lagrange mean value theorem in computing function limit, the inequality proof as well as the root of existence theorem for several aspects of this application and gives examples to illustrate.key words: lagrange mean value theorem can be mediated by continuous1 引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟 通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用 微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方 面的应用. 一预备知识 1. 定理：若函数 f (x) 满足如下条件： （1） 在闭区间 a, b 上连续, （2） 在开区间 (a, b) 上可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f ( x) = 也可变形为f (b) f (a ) 成立.定理的结论 baf (b) f (a ) = f (a + (b a ) (0 1) . ba2. 拉格朗日中值定理的几何意义： 若闭区间 a, b 内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少存在一点 m (c, f (c) , 过点 m 的切线平 行于过点 a(a, f (a ).b (b, f (b) 的直线 ab .3. 拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数 ( x) = f ( x) f (a) f (a ) f (b) ( x a) . ba已知函数 (x) 在 a, b 上连续,在开区间 (a, b) 上可导.又 (a ) = (b) = 0 .根据 罗尔定理.在 (a, b) 内至少存在一点 c .使得 (c) = 0 .而f (b) f (a ) f (b) f (a ) 于是 (c) = f (c) = 0 ,即 ba ba f (b) f (a ) f (c ) = . ba 4. 拉格朗日中值定理和洛尔定理： ( x) = f ( x) 洛尔定理：若函数 f (x) 满足如下条件： （1） 在闭区间 a, b 上连续, （2） 在开区间 (a, b) 上可导, （3） f (a ) = f (b) 则在 (a, b) 内至少存在一点 c ,使得 f (c) = 0 . 通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当 f (a ) = f (b) 时的特殊形式.5.拉格朗日中值定理和可惜中值定理 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中 g ( x ) = x 时的特殊情况. 可惜中值定理：若函数 f (x) 与 g (x) 满足下列条件:(1) 在闭区间 a, b 上连续, (2) 在开区间 (a, b) 上可导,且对 x (a, b) ,有 g ( x) = 0 ,则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使得f (c) f (b) f (a) = g (c) g (b) g (a )二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 若计算函数极限时,题目中出现有 f (b) f (a ) ” “ f (a) f (b) ” “ 型或 型的式子 ,并且 函数 f (x ) 在 a, b 连续 , 在 (a, b) 上可导 , 满足拉格朗日中值定理的条件 , 此时可构造“ ( a b)f ( a ) f (b ) a b”型或“ (b a )f (b) f (a) ba”型,利用拉格朗日中值定理转变为导f (a ) f (b) a b数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“ 型或“f (a ) f (b) ba”型或“f (b ) f ( a ) ba”型或“f (b ) f ( a ) a b”型,并且 f (x) 在 a, b 上满足拉格朗日中值定理条件,则可直接利用拉格朗日中值定理进行转换计算极限. 例 1.求 lim e sin x e tan x x 0 sin x tan x0 ”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求 0 f (a ) f (b) ”型,只