基于MATLAB的不同曲线拟合方式的比较研究 毕业论文.doc

本 科 生 毕 业 论 文 基于 matlab 的不同曲线拟合方式的比较研究 院 系： 电子信息工程学系 专 业： 测控技术与仪器 班 级： 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 2011 年 5 月 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计） ，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 年 月 日 指导声明 本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难 度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过 程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计） 内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。 指导教师签名： 年 月 日 目 录 1 引言 .2 2 软件介绍 .2 2.1 matlab 简介 .2 2.2 matlab 曲线拟合工具箱简介 .2 3 曲线拟合 .4 3.1 曲线拟合理论 4 3.2 最小二乘法拟合 .4 4 基于 matlab 的曲线拟合 5 4.1 曲线拟合数据来源 .5 4.2 指数函数曲线拟合 .6 4.3 最小二乘法多项式曲线拟合 .7 4.4 内插式曲线拟合 .8 4.5 平滑样条曲线拟合 .9 5 曲线拟合结果的比较 .11 6 结论 .12 致谢 .13 参考文献 .13 1 基于 matlab 的不同曲线拟合方式的比较研究 摘要：随着现代计算机技术的快速发展，计算机软件的应用范围越来越广泛。基于 matlab 软件曲线拟合的方法也越来越广泛地应用到工程分析和科学研究中。采用 matlab 曲线拟 合工具箱对数据集进行拟合处理，可以快速地在简单易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。 文章对曲线拟合进行理论分析和数学描述，引入可视化高性能的工具软件 matlab 对曲线 进行最小二乘法拟合、指数函数拟合、内插式曲线拟合和平滑样条式曲线拟合。最后结合具 体问题和曲线拟合各个要素从中选择最优拟合方式。 关键词：matlab; 曲线拟合; 最小二乘法; 曲线拟合工具箱 abstract: with the rapid development of modern computer technology, the computer software is widely used. based on the matlab software curve fitting method is also more and more widely applied to engineering analysis and scientific research. using matlab toolbox of curf fitting to deal with data sets can quickly in easy-to-use environment to realize many basic curve fitting. in the paper curve fitting is theoretically analyzed and mathematical described, and adopts the matlab to the curve for the least square fitting,exponential function fitting, interpolant curve fitting, and smoothing spline curve fitting. finally, the optimal way is to be selected from every elements of the curve fitting considering the specific problems of various factors. keywords: matlab; curve fitting; least square method; curve fitting toolbox 2 1 引言 在应用领域中，经常面对大量的数据，我们总希望能找到一个解析函数用它来描述这些点的变化 规律且可以用来预测，这就要用到曲线拟合 1。曲线拟合的目的是找到一条光滑的曲线使它能够最佳 的拟合数据，但不要求该曲线一定要经过每一点。曲线拟合应用非常广泛，在计算科学领域中占有非 常重要地位。人们对某一未知领域的研究，为了探索其内在的规律，建立了相应的数学模型，而模型 中往往含有某些待定的参数，要确定这些参数，就要用到数据拟合 2。可见曲线拟合方式的全面研究 对科学计算具有重大的现实意义。 matlab 作为一种用于数值计算和可视化图形的高级计算软件。它有着开放式可扩充体系结构， 又可以灵活修改、补充和扩展 matlab 能力 3。matlab 提供了两种曲线拟合方法：一种是采用函 数形式，使用编程对数据进行拟合，使用这种方法对拟合函数要有较好的了解；还有一种是用图形窗 口进行操作，具有简便、快速，可操作性强的优点 4。 本文研究的内容是利用matlab 对曲线进行最小二乘法拟合，指数函数拟合，内插式曲线拟合和 平滑样条式曲线拟合，相互比较得到最优的拟合方式。 2 软件介绍 2.1 matlab 简介 matlab 的名字是由 matrix 和 laboratory 两个词的前三个字母组成的 5。matlab 作为一种科 学计算软件，它主要用于矩阵的运算及控制和信息处理领域分析及设计。以模块化的计算方法、丰富 的矩阵运算、可视化与智能化的人机互换功能、图形绘制和数据处理函数，成为系统设计和仿真领域 中最受欢迎的软件系统。 matlab 是“矩阵实验室” （ matrix laboratoy）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交换式程 序语言，专门针对科学、工程计算机绘图的需求 6。matlab 的主要特点是简洁和智能化，它适应科 技人员的思维方式和书写习惯，使编程和调试效率大大提高。它采用解释方式工作，输入程序马上得 出结果，人机交互性能好，因此深得科技人员的喜爱，尤其是它可以适应多种平台，随计算机软硬件 的更新及时的升级。matlab 语言在国外的大学，特别是用数值计算频繁的电子信息类学科中，它已 成为每个学生的工具了。据调查在工业部门和设计研究单位，matlab 已被认为是高效研究和开发的 首选工具。学习掌握 matlab 软件，可以说在科学计算软件工具上与国际相接轨。 2.2 matlab 曲线拟合工具箱简介 采用 matlab 做曲线拟合可以内建函数或曲线拟合工具箱(curve fitting toolbox)。这个工具箱 集成了用 matlab 建立的图形用户界面 guis 和 m 文件函数 7。guis 界面是一个可视化的图形界面， 具有较强的图形拟合功能：用散点图来表示数据集；用残差和置信区间可视化地估计拟合结果的 好坏 8； 采用多种拟合方式对数据拟合。利用 guis 界面，可以快速地实现许多基本的曲线拟合。 访问曲线拟合工具箱之前，输入一份供分析的数据；打开曲线拟合工具箱，请输入 cftool。该命 令可以打开 curve fitting tool 窗口(见图 1)。然后选择 data 按钮，打开 data 窗口可以访问工作区中的 数据并从下拉表中选择变量 x、y （见图 2） 。在 data set name 位置指定一个数据集名称，否则 matlab 将默认一个数据集名称。这时关闭 data 窗口。回到 curve fitting tool 窗口，选择 fitting 按 3 钮，打开的窗口中可以选择拟合方法。这时单击 new fit 按钮，并从 type of fit 的下拉列表中选择一种 拟合方式。 可以试用多种拟合方式，以找出最佳图形。以直线拟合为例，选择一种插值方式，使曲线进过所 有的数据点。曲线拟合结果如图 3 所示。 例：x=0:6; y=0 10 30 55 67 89 120; cftool 图 1 curve fitting tool 窗口 4 图 2 data 窗口 图 3 直线拟合 3 曲线拟合 3.1 曲线拟合理论 曲线拟合就是拟合测量数据的曲线。在寻找自变量和因变量关系的过程中，由于观察数据 n),0,1(i),iyx 来源于实验，往往不精确，因此不要求函数关系 )(xfy经过所有的观测点， 而是只要求在观测点上的误差 ),0,12(i)nxfyi 按某种给定的标准最小 9。如果记),(10n ，研究中就是要寻找使范数 最小的函数关系式。这就是我们通常说的曲线逼近或 曲线拟合。拟合的标准通常随着范数的不同而不同，范数越大计算就越难，所以经常使用的拟合方式 是最小二乘拟合。 3.2 最小二乘法拟合 在工作中,通常情况是要找出两个量之间的关系。这时需要对两个量的多组对应数据采用经验公式 表示，因为经验公式形式较紧凑，便于从理论知识上进一步分析。 曲线拟合的最小二乘法可以描述为：根据已知的数据组 n),1,2(i),iyx，选一个近似函数)(x ，使得 niii122)( 最小。这种近似函数的方法称为曲线拟合（curve fitting）的最小二乘法，函数 )(x称为这组数据的 5 最小二乘函数（method of least squares） 10。 用最小二乘法做曲线拟合首先要确定拟合模型 )(xf，通常根据各科的知识来大致确定函数的所属 类，倘若不具备这些知识，则从问题的运动规律以及给定数据的散点图来确定拟合方式。 4 基于 matlab 的曲线拟合 4.1 曲线拟合数据来源 霍尔式传感器是由两个环形磁钢组成梯度磁场和位于梯度磁场中的霍尔元件组成 11。当通过电流 恒定时，霍尔元件则在梯度磁场中上下移动，其输出的霍尔电势 v 值取决于其在磁场中位移量 x 值。 下面就通过霍尔式传感器的特性试验所获取的数据集，来看一下曲线拟合工具箱在数据处理方面的应 用。相关数据如表 1。 表 1 采样点 x v x v 7.37 0 9.87 -0.36 7.87 -0.07 10.37 -0.40 8.37 -0.15 10.87 -0.44 8.87 -0.22 11.37 -0.46 9.37 -0.29 11.87 -0.48 打开 matlab 软件，在主窗口输入，如下： x=7.37:0.5:11.87; v=0 -0.07 -0.15 -0.22 -0.29 -0.36 -0.40 -0.44 -0.46 -0.48; cftool 按回车键打开曲线拟合工具箱，选取相应的变量可获得散点图如图 4。 图 4 变量可获得散点图 6 4.2 指数函数曲线拟合 在曲线拟合工具箱界面单机 fitting 按钮，在 type of fit 选项框中选取拟合方式 exponential(指数)， 指数拟合有两种函数 )*exp(ba和 )*exp()*exp(dcba。拟合效果图如图 5。 图 5 指数函数拟合 曲线 fit1 的指数拟合公式 )*exp(ba，曲线 fit2 的指数拟合公式 )*exp()*exp(dcba， 从图形上看，曲线 fit1 指数拟合曲线不适合本文的数据集，所以我们选取曲线 fit2 的指数拟合方式。 fit2 指数曲线拟合并没有通过每一个数据点遗漏的数据点较多，只是近似的经过数据点。 拟合参数结果如下： general model exp2: f(x) = a*exp(b*x) + c*exp(d*x) coefficients (with 95% confidence bounds): a =-11.61 (-4075, 4052) b =-0.1021 (-5.312, 5.107) c =15.01 (-4037, 4067) 7 d =-0.1368 (-5.735, 5.462) goodness of fit: sse（误差平方和）: 0.0009876 r-square（相关指数 r）: 0.9962 adjusted r-square（调整自由度以后的相关指数 r）: 0.9943 rmse（ 根的均方误差）: 0.01283 4.3 最小二乘法多项式曲线拟合 在曲线拟合工具箱界面单机 fitting 按钮，在 type of fit 选项框中选取拟合方式为 polynomial（多项 式）多项式拟合可以从一阶到九阶，在拟合结果界面中有误差平方和 sse 的值，从 sse 值的大小比较 中选出最优的最小二乘法多项式曲线拟合。本文直接采用 matalb 曲线拟合工具想对其进行曲线拟 合并截取最小二乘法中二次多项式曲线拟合和四次多项式曲线拟合效果图，拟合效果如图 6。 图 6 最小二乘法曲线拟合 从图形上看红色曲线明显遗漏多个数据点，蓝色曲线经过每个数据点，说明最小二乘法四次多项 8 式比二次多项式拟合效果好。下面从参数结果图上对两种拟合方式进一步比较。 最小二乘法二次多项式曲线拟合结果如下： linear model poly2: f(x) = p1*x2 + p2*x + p3 coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =0.01682 (0.01306, 0.02058) p2 =-0.434 (-0.5065, -0.3615) p3 =2.297 (1.953, 2.641) goodness of fit: sse: 0.0005847 r-square: 0.9978 adjusted r-square: 0.9971 rmse: 0.009139 最小二乘法四次多项式曲线拟合如下： linear model poly4: f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5 coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =-0.001189 (-0.002519, 0.0001416) p2 =0.04865 (-0.002567, 0.09987) p3 =-0.7211 (-1.454, 0.01222) p4 =4.478 (-0.1476, 9.104) p5 =-9.809 (-20.66, 1.04) goodness of fit: sse: 8.619e-005 r-square: 0.9997 adjusted r-square: 0.9994 rmse: 0.004152 最小二乘法二次多项式曲线拟合的 sse（误差平方和）为 0.0005847，最小二乘法四次多项式曲线 拟合的 sse=8.619e-0005，显然最小二乘法中四次多项式的误差平方和比二次的更接近于 0，误差平方 和 sse 越接近于零曲线拟合效果越好。不管从图形还是参数的比较都可以得出，最小二乘法中四次多 项式曲线拟合的效果比二次多项式拟合好。 4.4 内插式曲线拟合 如果不考虑曲线拟合参数只想得到一条光滑且通过各个数据点的曲线，可以采用内插式曲线拟合， 这种拟合方式也成为非参数拟合。内插式法有 linear(线性内插) 、nearest neighbor（最近邻内插） 、 cubic spline（三次样条内插）和 shape-preserving（分段三次艾米尔内插） 。内插式曲线拟合效果如图 7。 9 图 7 内插式曲线拟合 红色曲线是用最近邻内插法 nearest neighbor 得到的曲线，蓝色曲线是用三次样条内插拟合法得到 的拟合曲线。这两种内插法拟合效果差别较大，具有不同的用途。最邻近内插法的内插点在最相邻两 个数据点之间，最后得到一个锯齿的图形。倘若不考虑曲线的物理意义，则可以考虑三次样条内插法 拟合。 4.5 平滑样条曲线拟合 本文用默认的平滑参数、平滑参数为 0.5 和平滑参数为 1 分别对数据集进行平滑内插拟合，图中 fit6 为默认平滑参数的拟合结果，fit7 为给定参数 0.5 时的拟合曲线，fit8 为给定平滑参数为 1 的拟合 曲线。平滑样条曲线拟合效果如图 8。 10 图 8 平滑样条曲线拟合 平滑参数为 0.5 的平滑样条拟合结果如下： smoothing spline: f(x) = piecewise polynomial computed from p smoothing parameter: p = 0.5 goodness of fit: sse: 0.001125 r-square: 0.9957 adjusted r-square: 0.9944 rmse: 0.01274 默认平滑参数平滑样条拟合结果如下： smoothing spline: f(x) = piecewise polynomial computed from p smoothing parameter: 11 p = 0.98630137 goodness of fit: sse: 4.186e-005 r-square: 0.9998 adjusted r-square: 0.9996 rmse: 0.003551 平滑参数为 1 的平滑样条拟合结果如下： smoothing spline: f(x) = piecewise polynomial computed from p smoothing parameter: p = 1 goodness of fit: sse: 0 r-square: 1 adjusted r-square: nan rmse: nan 从图中兼数据结果可以看出fit6默认平滑值参数的曲线拟合效果最好，fit7给定平滑参数0.5的曲线 拟合效果最差，fit8给定平滑参数为1的拟合结果接近于三次样条，且经过每个参数点。 5 曲线拟合结果的比较 曲线拟合工具箱的 results 罗列了各种拟合参数，包括置信区间大于 95%的相关系数和显示拟合效 果好坏的参数。 测量时用 x 和 v 表示实验中得到的数据。根据测量值得到的曲线拟合函数表示成 )(xfv。假 设存在 n 组拟合数据集，根据曲线拟合函数分别代入 x 值，就可以得到相应的拟合值 v，从而得到对 应的残余误差 )(v。 (1) 误差平方和 sse(sum of squares due to error)，sse 值越接近于 0 曲线拟合效果就越好。sse 的数学表达式： niivvse12)( (2) 相关指数 r-square，是 ssr 与 sst 的比值，其中 ssr 和 sst 的定义为：niinii vvstersquarevstv1212)()( 12 r-square 的取值范围是0，1，r 2 越接近于“1” ，表示所拟合的曲线效果越好 12。 (3) 调整自由度以后的残差平方 adjusted r-square，自由度是响应数据个数 n 减去被拟合的相关 系 数 m。adjusted r-square 值越接近 1，曲线的拟合效果越好 13。 (4) 根的均方误差 rmse,数学表达式： nsem r rmse 的值越接近于 0，曲线拟合效果就越好。 表 2 是指数函数拟合、最小二乘法四次多项式拟合、三次样条内插式拟合和默认平滑参数的平滑 样条拟合的相关误差参数的结果。 表 2 拟合误差参数对照表 type sse r-square adjusted r-square rmse 指数函数拟合 0.0009876 0.9962 0.9943 0.01283 最小二乘法四次多项式拟合 8.619e-005 0.9997 0.9994 0.004152 三次样条内插式拟合 0 1 nan nan 平滑样条拟合 4.186e-005 0.9998 0.9996 0.003551 6 结论 指数函数拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：误差平方和 sse 值最大，相关指数 r2 同其它 三种拟合方式相比更远离 1，还有 adjusted r-square 和 rmse 指标也比较差，这个结果与曲线拟合图 形相吻合。这说明本文的数据集采用基于 matlab 曲线拟合的四种拟合方式中指数函数拟合效果最 差。 最小二乘法四次多项式拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：最小二乘法四次多项式拟合的各 项指标均比指数函数拟合好却不如三次样条内插式拟合和平滑样条拟合，但最小二乘法四次多项式拟 合可以写出相对应的曲线拟合方程式，而三次样条内插式拟合和平滑样条拟合两种拟合方式只能较好 的拟合出曲线却写不出对应的数学关系式。 三次样条内插式曲线拟合和其它三种曲线拟合相比可见：三次样条内插式曲线拟合的精度最高， 因为它不考虑拟合参数只要曲线经过每一个数据点，所以内插式曲线拟合能较佳的拟合出曲线。但三 次样条内插式曲线拟合与平滑样条曲线拟合一样不能写出曲线对应的数学表达式。 平滑曲线拟合同其它三种曲线拟合方式相比可见：平滑样条曲线拟合的误差平方和、相关指数 r2 、调整后的残余平方和 adjusted r-square 和根的均方误差 rmse 四项指标虽然比三次样条内插式曲线 拟合略逊一点，但与最小二乘法四次多项式拟合的结果相比好一点，所以精度相对较高，曲线也比较 光滑。平滑样条曲线拟合虽然给出了拟合的平滑程度值，却也写不出相应的数学表达式。 综合以上各种曲线拟合方式，如果已知数据集的数学方程可以直接选择相应函数的拟合方式；如 果不懂得曲线拟合函数模型的可以采用尝试法，一般最小二乘法的多项式就可以很好的拟合出曲线并 给出相应的函数关系式和误差参数；如果不考虑曲线拟合参数或物理意义，只要曲线经过每一个数据 13 点可以采用