北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)文科数学试卷

北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二） 数学文试题 2013.3 命题学校：北京五十五中学 学校： 班级： 姓名： 成绩： 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项。 1.设集合 1xP， 02xQ，则下列结论中正确的是 A. B. RPC. QPD. P 2.若复数 z满足 ii（ 为虚数单位） ，则 z等于 A. 1B.1C. i31D. i21 3.“ m”是“直线 0yx和直线 0myx互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱 柱的体积为 A. 4B. 29 C. 5D. 1 5.在 ABC中，内角 ,所对边的长分别为cba, ，若 CcBbsinisin，则 AB的形状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 6.若定义域为 R的函数 xf不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是 A. ffx, B. xffx,R C. 000xD. 000 2 7.已知不等式组 1,0xy 表示的平面区域为 ，不等式组 0,1yx 表示的平面区域 为 M.若在区域 内随机取一点 P，则点 在区域 M内的概率为 A. 2B. 3C. 41D. 32 8.如图，矩形 nnDCBA的一边 nBA在 x轴上，另外两个顶点 nDC,在函数)0(1xf 的图象上.若点 n的坐标为,20,Nn ，记矩形 CBA的周长 为 na，则 103a A.208 B.212 C.216 D.220 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.已知 32sin，则 2cos的值等于_. 10.已知 ,1ba，且 ba与 垂直，则向量 a与 b的夹角大小是_. 11.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 n的值是 _ 12.设函数 ,1,342xxf 则函数 xfxg4log 的零点个数为_. 13.若抛物线 2y上的一点 M到坐标原点 O的距离为 3，则点M 到该抛物线焦点的距离为_. 14.对于函数 xf，若存在区间 )(,ba，使得 y, ，则称区间 为函数 xf的一个“稳定区间”.给出下列三 个函数： 3xf ； xfcos ； xef . A n Dn BnO x y Cn 3 其中存在稳定区间的函数有_.（写出所有正确的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题共 13 分） 已知函数 )2,0(sinAxxf 的图象的一部分如图所示 （）求函数 的解析式； （）求函数 )4co(2fy )3,6(x的最大值和最小值 16.（本小题共 13 分） 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们 的候车时间（单位：分钟）作为样本分成 5 组，如下表所示： 组别 候车时间 人数 一 0,) 2 二 516 三 ,)4 四 202 五 ,51 （）求这 15 名乘客的平均候车时间； （）估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数； 4 （）若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰 好来自不同组的概率 17.（本小题共 13 分） 如图，四边形 ABCD为矩形， 平面 ABE， 2， AB. （）求证： E； （）设 M是线段 的中点，试在线段 CE 上 确定一点 N，使得 /平面 AE. 18.（本小题共 13 分） 已知函数 )(ln)(2Raxxf . （）当 1a时，求 )(f的极值； （）求 )(xf的单调区间. 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，一个顶点为 )1,0(B，且其右焦点到直线02yx 的距离等于 3 ()求椭圆 的方程； ()是否存在经过点 )2,(Q，斜率为 k的直线 l，使得直线 l与椭圆 C交于两个不同的点NM, ，并且 BN？若存在，求出直线 的方程；若不存在,请说明理由 20.（本小题共 14 分） 已知函数 xf 2 ，当 )(1,Nn时， xf的值中所有整数值的个数 记为 ng. M C A B E D 5 （）求 2g的值，并求 ng的表达式； （）设 )(32Nan ，求数列 na 1)( 的前 项和 nT； （）设 ngb2 ， )(21bbSn ，若对任意的 N，都有)(ZLSn 成立，求 L的最小值. 东城区普通高中示范校高三综合练习（二） 高三数学参考答案及评分标准 （文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （2）B （3）C （4）A （5）B （6）D （7）A （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （10） 32 （11）4 （12）3 （13） （14） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15.（共 13 分） 解：（）由图可知： 2A，-1 分 最小正周期 8T，所以 4 .-2 分2)1(f ，即 1)4sin(，又 ，所以 4.-5 分 所以 xx.-6 分 （） )cos(2)sin(2)cos()(xxfyx4cs2 .-9 分 由 36得 642x，-11 分 所以，当 x，即 时， y取最小值 2；-12 分 6 当 64x，即 32x时， y取最大值 6.-13 分 16.（共 13 分） 解：（）由图表得： 15.25.174.215.75.2 5.10 ，所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟.-3 分 （）由图表得：这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8，所以，这 60 名乘客中 候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 3860.-6 分 （）设第三组的乘客为 dcba,，第四组的乘客为 fe,， “抽到的两个人恰好来自不同 的组”为事件 A.-7 分 所得基本事件共有 15 种，即 ),(,)(,),(),( dbcfa),(),( fedfcedcfbe ，-10 分 其中事件 A包含基本事件 8 种，由古典概型可得 158)(AP，即所求概率等于 158.- -13 分 17.（共 13 分） 证明：（） 2,ABE， 22BAE， .-2 分 D平面 ， ，又 DC/， ，-4 分 又 ， AE平面 B， .-6 分 （）设 的中点为 F， E的中点为 N，连 接NM, ，-7 分 又 是 的中点， AEF/， ADBC/. 平面 ， 平面 E， 平面 .-9 分 同理可证 /N平面 ， 又 ， 平面 M平面 A， /平面 DE.-12 分 所以，当 为 C中点时， /N平面 ADE.-13 分 N F M C A B E D 7 18.（共 13 分） 解：（）当 1a时， )0(ln)(2xxf ，xf2)( .-2 分 由 0得 （舍）或 1x.-3 分 当 1x时， 0)(xf，当 时， 0)(xf， 所以，当 时， 取极大值 ， 无极小值.-6 分 （） )(1)2() xaxf ，-8 分 当 0a时，在区间 ,0上 0f，所以 )(xf的增区间是 ),0(； -9 分 当 时，由 )(xf得 a21或 . 当 0a时，在区间 ,0上 0)(xf，在区间 ),1(上 0(xf， 所以 )(xf的增区间是 (，减区间是 ,；-11 分 当 时，在区间 )21,a上 (xf，在区间 ),2(a上 (xf， 所以 )(xf的增区间是 0(，减区间是 ,1.-13 分 19.（共 14 分） 解：（）设椭圆 C的方程为 )0(12bayx，其右焦点的坐标为 )0(,c. 由已知得 1b.由 32 c 得 c，所以 322c.-4 分 所以，椭圆 C的方程为 1yx.-5 分 （）假设存在满足条件的直线 l，设 ),(),(23: 21yxNMkx，MN 的中点为 P.-6 分 由 13,2yxk 得 04159)3(2kxk，-8 分 8 则 139221kx，且由 0得 125k.-10 分 由 BNM得 P，所以 BP，-11 分 即 121 2kxy ， 所以， 521kx ，将 139221kx代入解得32k ， 所以 6.-13 分 故存在满足条件的直线，其方程为 236xy.-14 分 【注】其它解法酌情给分. 20.（共 14 分） 解：（）当 2n时， )(xf在 3,2上递增， 所以， 1)(6xf， 7g.-2 分 因为 在 ),N上单调递增， 所以， 23)1()222 nnxfn ， 从而 3()g .-4 分 （）因为 2 32)(nngan ，-5 分 所以 nn aT14321 )( 22 n .-6 分 当 是偶数时， )1