数学运算之牛吃草问题专题

数学运算之牛吃草问题专题 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿 提出来的。典型牛吃草问题 的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛 吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断 地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草 是不变的，新长的草虽然在 变化，但由于是匀速生 长 ，所以每天新 长出的草量应 该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较 少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）； （2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； （3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）； （4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为 “1“，解 题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量， 再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）天数 基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程 每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1” 单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x” 【例 1】一片牧草，可供 16 头牛吃 20 天，也可以供 20 头牛吃 12 天，那么 25 头牛 几天可以吃完？ 解法 1：原的生长速度=（16 20-2012）（20-12）=10 牛/天 原有草量=16 20-1020=120 牛 吃的天数=120 （25-10）=8 天 解法 2：设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃 n 天。 根据核心公式：(16-x)20（20x）12（25x）n （16x）20（20x）12 ，得 x10，代入得 n8 【例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天， 则它可供多少头牛 吃 4 天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】C 【解析】设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 n 头牛吃 4 天 根据核心公式：（10x）20（15x）10 （nx）4 （10x）20（15x）10 ，得 x5，代入得 n30 给人改变未来的力量 中公河南 给人改变未来的力量 中公教育接待群 249687731,加群请说明来自文库，方便管理通过！ 【例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天后可以吃尽，17 头牛吃 28 公亩牧 场的草，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少 头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【答案】D 【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供 x 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧 草量为 y，24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 n 头牛 根据核心公式：33y（2233x）54， 得 y（23x）183654x 28y（1728x）84，得 y（1728x）35184x 解方程，得 x1/2 ，y9， 因此，409（n20）24，得 n35，选择 D 【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 【例 4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。 已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可 供多少头牛吃 10 天？ 【解析】设该牧场每天减草量恰可供 X 头牛吃一天，这片牧场可攻 N 头牛吃 10 天。 根据核心公式：（20+X）*5=（15+X）*6=（N+X ）*10 得 X=10，N=5. 【例 5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了 一些水后，再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果 同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 【解析】假设晚开 N 分钟，则(2-X)*8=(3-X)*5=X*N 求得 X=1/3 N=40 分钟 【例 6】物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台 每小时能应付 80 名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开 始 4 小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就 没有顾客排队了【浙江 2006】 A.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6 小时 D.0.8 小时 【答案】D 【解析】设共需 n 小时就无人排队了，（8060）4（80260）x，解得 x0.8 【例 7】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开 始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票 给人改变未来的力量 中公河南 给人改变未来的力量 中公教育接待群 249687731,加群请说明来自文库，方便管理通过！ 口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 【解析】等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草” ，“检票口” 相当于“牛”， 可以用牛吃草问题的解法求解。 (4X)*30=(5-X)*20=（7-X）*n n=12 【例 7】有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一 样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二 块草地可供 12 头牛吃 14 天。 问：第 三块草地可供 19 头牛吃多少