大学数学不定积分必看习题

72 第四章 不定积分 习题 习题 习题 习题 A 一、选择题 1 、 设 )( xf 的导函数是 xs i n , 则 )( xf 的一个原函数是（ ） ； （ A ） 1+ xs in （ B ） 1- xs in （ C ） 1+c o s x （ D ） 1- c o s x 2 、设函数 )( xf 在 ( )+ , 上连续 , 则 ( ) dxxfd = （ ） ； （ A ） )( xf ) （ B ） ( )f x dx （ C ） ( )f x c+ （ D ） dxxf )( 3 、如果 =+= dxxx fCxdxxf )1(,)( 22 则 ( ) ； （ A ） cxx + 22 )(2 （ B ） cx + 22 )1(2 （ C ） cx + 22 )1(21 （ D ） cx + 22 )1(21 4 、 =+= )(,2s i n2)( xfcxdxxf 则若 ( ) ； （ A ） cx +2cos （ B ） 2cos x （ C ） cx +2cos2 （ D ） 2cos2 x 5 、 = )() ,()( xdFxfxF 则若 ( ) ； （ A ） )( xf （ B ） )( xF （ C ） cxf +)( （ D ） cxF +)( 6 、 = )()( xdgxdf若 , 则下列结论错误的是（ ） ； （ A ） )()( xgxf = （ B ） )()( xdgxdf = （ C ） )()( xgxf = （ D ） dxxgddxxfd = )()( 7 、 函数 x2cos 一个原函数是（ ） ； （ A ） 2s i n2 x （ B ） 2s i n2 x （ C ） 2s i n2 x （ D ） 2s i n2 x 8 、 下列等式中正确的是（ ） ； （ A ） )()( xfdxxf = （ B ） )()( xfxdf = 73 （ C ） dxxfdxdxf )()( = （ D ） )()( xfdxxfd = 9 、若 )( xf 在 ( , )a b 内连续，则在 ( , )a b 内 )( xf ( ) ； （ A ）必有导函数 （ B ） 必有原函数 （ C ） 必有界 （ D ） 必有极限 10、 设 )( xf 的一个原函数是 l n(2 )x , 则 = )( xf ( ) ； （ A ） 21x （ B ） x1 （ C ） )2l n( x （ D ） )2l n( xx 11、下列各对函数中 , 是同一个函数的原函数是（ ） ； （ A ） xarcx cota r c t a n 和 （ B ） 2l nl n)2l n( + xx 和 （ C ） 2l n22l n2 +xx 和 （ D ） xxxx eeee 222)( + 和 12、若 2 1( ) ( 0),f x xx = 则 ( )f x = ( ) ； （ A ） cx +2 （ B ） cx +l n （ C ） cx +2 （ D ） cx +1 13、 若 xexf 2)( = , 则 = dxx xf )( l n （ ） ； （ A ） cx +21 B cx + 21 （ C ） cx + l n （ D ） cx +l n 1 4 、 dxx x2l n =( ) ； （ A ） cxx + )1( l n1 （ B ） cxx + )1( l n1 （ C ） cxx + )1( l n1 （ D ） cxx + )1( l n1 15、 如果 =+= dxefeCxFdxxf xx )(,)()( 则 ( ) ； （ A ） ceF x +)( （ B ） ceF x + )( C. cxeF x + )( （ D ） ceF x + )( 16、设 )( xf 的一个原函数是 s i n x , 则 =dxxx f )( ( ) ； （ A ） cxxx + c oss in （ B ） cxxx + c oss in （ C ） cxxx + s inc os （ D ） cxxx + s inc os 17、 dxax 22 1 = （ ） ； （ A ） cax axa +l n21 （ B ） cax + 22l n （ C ） cax axa +l n21 （ D ） caxa +a r c t a n1 74 18、 dxxx + )1( 1 =( ) ； （ A ） cx +a r c t a n2 （ B ） cx +a r c t a n （ C ） cx +a r c t a n21 （ D ） cxarc +cot2 二、填空题 1 、 = x dxdxd s ec ； 2 、 dxxd a r c t a n = ； 3 、 )1l n( xd = ； dxx xs i n = ； 4 、 dxxf )32( = ; dxx xf )( l n = ； 5 、已知 ,1 1)( 2xxf += 且 ,2)1( =f 则 ( )f x = ； 6 、如果 =+= dxxx fCxFdxxf )2(,)()( 2则 ； 7 、如果 =+= dxx xfCxFdxxf )( l n,)()( 则 ； 8 、如果 =+= dxxx fCxxdxxf )( coss i n,1)( 2 则 ； 9 、设 ( )f x 的一个原函数是 x xcos , 则 = dxxfx )( ； 10、设 ( )f x 的一个原函数是 2xe , 则 =x dxxf 2s ec)( t a n 。 三、求下列不定积分 1 、 dxxx 43 1 2 、 + dxxx e x4a r c t a n1 2 3 、 + dxx xx 334 12 4 、 + dx x xx 10 52 11 5 、 + dxxx )1( 1 22 6 、 dxxx cos2s i n 1 7 、 + dxxxx cos1 s i n 8 、 dxx xxx 2 s i ncos 9 、 dxx x )s i n(l n 10、 dxxx + t a n1s ec2 75 11、 dxxx )21( 1 12、 dxxx + )2( 2 13、 dxee e xx x + 222 14、 dxxx 2cos1 2s i n 15、 + dxxx x2)l n( l n1 16、 dxxx x + )1(a r c t a n 17、 + dxxx )1( 1 3 18、 dxxf xf )( )( 19、 dxxs i n1 1 20、 + dxee xx 1 21、 dxxx + )4( 1 2 2 、 dxxx xs i ncos t a nl n 23、 x dx4cos 24、 + dxxx6411 25、 311 dxx+ 26、 + + dxxx x 32 522 27、 dxxx 21 28、 + dxxx 244 1 29、 dxxxx +11 30、 2 2 l n( 1 ) 1 x x dx x + + + 31、 dxxxx l nl nl n 1 32、 + dxee xx 21 33、 + dxx x2s i nt a n1 3 4 、 + dxxt a n1 1 3 5 、 dxxx x)1(a r c s in 3 6 、 dxx xa 2 22 （ 0a ） 37、 dxx x + 2cos t a n23 38、 dxxa xa 22 39、 dxx 29 40、 dxxx 221 41、 + dxxx 22 11 42、 dxxx 92 76 43、 dxx + 31 1 44、 dxx + 321 1 45、 dxx 232 )1( 1 46、 + dxxa 2322 )( 1 47、 + dxe x1 1 48、 + dxe x1 1 49、 dxxx + 3 33 1 50、 dxxx 3 21 四、解答题 1 、已知 xxf += 1)( s i n ，求： )( xf 。 2 、已知 )( xf 的一个原函数为 s i n x , 求 : dxxfx )( 。 3 、已知 )( xf 的一个原函数为 xe , 求 : dxxfx )( 。 4 、已知 )( xf 二阶连续可导 , 求 : dxxfx )12( 。 5 、设 ( )f x = + 22 1)1l n( axdxbax , 问 ba , 分别取何值时， 4)0( =f 。 6 、设 ( ) ar cs i nx f x dx x C= + ，求 1( ) dxf x 。 77 习题 B 一、选择题 1 、 + dxee xx 11 =( ) ； （ A ） ce x + 1l n （ B ） ce x + 1l n （ C ） cex x + 1l n2 （ D ） cxe x + 1l n2 2 、 + dxxxt a n1 t a n1 =( ) ； （ A ） cx + 12s i nl n （ B ） cxx + s i ncosl n （ C ） cxxx + 2cosl n2t a n2s ecl n （ D ） cxx + s ecl n22t a n1l n 3 、 2xx dx =( ) ； （ A ） 2 2x xx c + （ B ） 212 2l n 2 ( l n 2)x xx c + （ C ） 22 l n 2 ( l n 2)x xx x c + （ D ） 21 22 xx c + 4 、设 )( xf 的一个原函数是 2xe , 则 = dxxfx )( ( ) ； （ A ） cex x + 222 （ B ） cex x + 222 （ C ） cxe x + )12( 22 （ D ） dxxfxx f )()( 5 、 =dxxcos ( ) ； （ A ） 2 s i n cos x x x c+ + （ B ） cx +s i n （ C ） cxxx + coss i n21 （ D ） 2 s i n cos x x x c + 6 、 若 xexf =)( , 则 = dxx xf )( l n （ ） ； （ A ） cx +1 （ B ） cx + 1 （ C ） cx + l n （ D ） cx +l n 7 、 如果 3 3( ) , ( )f x dx x C f x = + = 则 ( ) ； （ A ） cx +3 5 5 6 （ B ） cx +35 5 9 （ C ） cx +3 （ D ） cx + 78 8 、 dxxx )1( 1 =( ) ； （ A ） cx + )12a r c s in(2 （ B ） cx + )12a r c s in( （ C ） cx +a r c s in21 （ D ） cx +a r c s in 9 、设 )( xf 的一个原函数是 l nx x , 则 =dxxx f )( ( ) 。 （ A ） cxx + )l n4121(2 （ B ） cxx + )l n2141(2 （ C ） cxx + )l n2141(2 （ D ） cxx + )l n4121(2 二、填空题 1 、设 ( )f x 的一个原函数是 xx e , 则 = dxxfx )( ； 2 、 cxdxx xf += 2)( l n , 则 =)( xf ； 3 、若 221)( xxf = ，则 = dxxf )( 2 ； 4 、若 53)1( 2 +=+ xxxf ，则 =dxxf )( ； 5 、如果 =+= dxeefCxdxxf x x )(,1)( 2 则 ； 6 、 dxx 13 1 = ； 7 、 + dxx249 1 = ； 8 、 dxxx + )1( 1 = ； 9 、 + dxxx x 83 322 = ； 10、 + dxxx2cos1 cos1 2 = ； 11、 dxxx cost a n = ； 12、 ( )x f x dx = ； 79 13、在积分曲线族 xxdx 中，过（ 1,1）点的积分曲线是 ； 14、已知曲线上任一点的切线斜率为 x+2，且曲线过点 (2,5)，则曲线方程为 ； 15、已知动点在时刻 t 的速度为 v=3t-2,且 t=0时 s=5，则此动点运动方程为 。 三、求下列不定积分 1 、 dxxx 22 2 、 + dxxx x 542 3 、 + dxex x)2( 4 、 dxxx 2cos 5 、 dxex x 2 6 、 dxex x 23 7 、 x dxl n 8 、 dxx )s i n(l n 9 、 x dxx a r c t a n 10、 x dxe x s i n 11、 dxxx )ln(t a ns i n 12、 dxxs i n 13、 dxe x 14、 dxxx 3 32 1 + 15、 2l n s i ns i n x dxx 16、 + dxxx )11l n( 17、 + dxxx )1( 1 18、 dxx 4cos1 19、 + dxxx xl n1 )2l n( 20、 + dxx x3)1(a r c t a n 21、 dxx x 6 32 )9( 22、 dxxxx 32 t a ncos 23、 + dxx x3 41 24、 0,0,coss i n s i n + badxxbxa x 25、 + dxxx )1( 1 3 26、 dxxx 24 s i ncos 1 27、 dxex ex x 1 28、 dxx x l nl n 80 29、 dxxx 2t a n 30、 dxx x 13 31、 + dxxxx 421 )1( 32、 + dxxxcos1 cos1 33、 dxee x x 23 2 34、 + dxx xx 232 )1( l n 35、 dxx x 232 )1( ar ccos 36、 dx xx x 4l n 2l n 37、 211 xdxxx + 38、 + dxxx x 422 2 39、 dxx x )( l ncos2 40、 dxxbax ) ( 1 （ ba0） 41、 + dxx ex x 22 )2( 42、 dxx xxxe x 23s i n cos s i ncos 43、 + dxxe x 232 a r c t a n )1( 44、 x dx 3s ec 45、 dxx x 2)l n( 46、 + dxe ex x )1l n( 47、 dxxx 2)( a r c t a n 48、 + dxxxx 11l n2 49、 + dxexx xx 1)11( 50、 + dxxx 41 51、 dxxcos45 1 52、 + dxxt a n21 1 53、 cos 21 s i n cosx dxx x+ 54、 4t an x dx 55、 2l n(1 )x x dxx+ 56、 2l n( 2)x dxx 57、 2 2 1 1 x x e dx e + 58、 ar ct an x x e dx e 59、 2 2ar ct an(1 )x dxx x+ 60、 1( 2 ) 1 dxx x 81 四、解答题 1 、已知 2 2( cos ) cos 2 t an ( 0)f x x x x = + ，试求 ( )f x 。 2 、设 22 2( 1) l n 2 xf x x = ，且 ( ( ) ) l nf x x = ，求 ( )x dx 。 3 、已知 1 0 1( l n ) ,1 xf x x x ，试求 ( )f x 82 习题 A 答案 一、选择题 （ 1 ） B ； （ 2 ） B ； （ 3 ） C ； （ 4 ） B ； （ 5 ） D ； （ 6 ） C ； （ 7 ） A ； （ 8 ） C ； （ 9 ） B ； （ 10） A ； （ 11） D ； （ 12） C ； （ 13） A ； （ 14） A ； (15） D ； (16） B ； (17） C ； (18） A ； 二、填空题 (1） s e c x ； (2） ar ct an x dx ； 3 ） s i nl n(1 ) , xx C x + ； (4） 3 2( )2 3f x C+ ； ( l n )f x C+ (5） ar ct an 4x + ； (6） 21 ( 2 )2 F x C + ； (7） (l n )F x C+ ； (8） 2cos1 cosx Cx + ； (9） 2s i n cosx x Cx + ； (10） 2t a n xe C + . 三、求不定积分 1 ） 3 3 2 22 2( 3 4 ) ( 3) ( 4)3 3x x dx x x C + = + + ； 2 ） 2a r c t a n12 xe C+ ； 3 ） 11 1 64 24 12 2x x x C + + ； 4 ） 1 1 2 1( ) ( )5 l n 2 2 l n 5 5x x C + 5 ） 1 ar ct an x Cx + ； 6 ） 1 1 l n cs c cot2 cos 2 x x Cx + + 7 ） t an 2xx C+ ； 8 ） s i n x Cx + ； 9 ） c o s l n x C + ； 10） l n 1 t an x C+ + 11） l n 2 1x Cx + ； 12） l n 2x Cx + ； 13） 2l n 2 2 1x x xe e e C+ + + + + ； 14） 2 s i n x C+ ； 15） 1l n Cx x + ； 16） 2( ar ct an )x C+ ； 17） 31l n l n 13x x C + + 18） 2 ( )f x C+ ； 19） 2 t an 12 Cx + ； 20） arct an xe C+ ； 21） ar ct an 2x C+ ； 83 22） 21 ( l n t an )2 x C+ ； 23） 1 1( 3 2 s i n 2 s i n 4 )8 4x x x C+ + + ； 24） 31ar ct an ar ct an3x x C+ + ； 25） 21 1 1 2 1l n 1 l n 1 ar ct an3 6 3 3xx x x C+ + + + ； 26） 2 3 1l n 2 3 l n4 3xx x Cx + + + ； 27） ar cs i n(2 1)x C + ； 28） 21 l n 2 1 4 42 x x x C+ + + + ； 29） 2 2 11 1 ar cs i n2 2x x x x C + ； 30） 3 2 22 l n 1 3 x x C+ + + ； 31） l n l n l n x C+ ； 32） l n 1x xe e C + + + ； 33） 1 ( l n t an t an )2 x x C+ + ； 34） 1 ( l n s i n cos )2 x x x C+ + + ； 35） 2( ar cs i n )x C+ ； 36） 2 2 2 ar cs i n a x x C x a + （令 s i nx a t= ） ； 37） 3 21 ( 3 2 t an )3 x C+ + ； 38） 2 2ar cs i n xa a x Ca + + ； 39） 29 ar cs i n 92 3 2x x x C+ + （令 3 s i nx t= ） ； 40） 21 ar cs i n 12 2xx x C + （令 s i nx t= ） ； 41） 21 x C x + + （令 t anx t= ） 42） 2 9 33( ar cs i n )3x Cx + + （令 3 s ecx t= ） ； 43） 23 33 ( 1) 3 l n 12 x x C + + + （令 3x t= ） ； 44） 2 3 l n 1 2 3x x C+ + + + （令 2 3x t+ = ） ； 45） 21 x Cx + （令 s i nx t= ） ； 46） 2 2 2x Ca a x + （令 t anx a t= ） ； 47） 1 1l n 1 1xxe Ce+ + + （令 1 xe t+ = ） ； 48） l n( 1)xx e C + + （令 1xe t+ = ） 84 49） 3 6 62 3 3 3 6 3 6 l n 3 1x x x x C+ + + + + + + + + （令 33x t+ = ） ； 50） 26 63( 1) 6 l n 1x x C + + （令 6x t= ） 。 四、解答题 1 ）令 s i n , ar cs i nt x x t= = ，于是 ( ) 1 ar cs i nf t t = + ，即 ( ) 1 ar cs i nf x x = + ， 所以 ( ) 2( ) 1 ar cs i n (1 ar cs i n ) 1f x x dx x x x C= + = + + + 。 2 ） ( ) si n , ( ) cos ( )F x x F x x f x= = = ，于是 ( ) si nf x x = ，所以 ( ) ( ) ( ) cos s i nx f x dx x f x f x dx x x x C = = + 3 ）由于 ( ) xF x e= ，得 ( ) ( )xF x e f x = = ，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x f x dx x df x x f x f x dx x f x f x C = = = + x xx e e C= + 。 4 ） 1 1( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)2 2x f x dx x f x d x x df x = = 1 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 2x f x f x C= + 5 ） 2 2 2 22 2 22 2 2 4 2( ) , ( )1 (1 )ax b a a x a x abxf x f xax ax + + = =+ + ，于是 ( 0) 2 4 2,f a a b = = = 为任意实数。 6 ） 2 21 1( ) ( ar cs i n ) ( )1 1x f x x C f xx x x= + = = 于是 3 2 2 21 11 (1 ) ( ) 3dx x x dx x Cf x = = + 习题 B 答案 一、选择题 (1） D ； (2） B ； (3） B ； (4） C ； (5） A ； (6） B ； (7） B ； (8） B ； (9） B 。 二、填空题 (1） 2 xx e C + ； (2） 2 xe ； (3） 313 x C+ ； (4） 3 21 1 33 2x x x C+ + + ； (5） 2 xe C + ； (6） 2 3 13 x C + ； 85 (7） 1 2ar ct an6 3 x C+ ； (8） 2 ar ct an x C+ ； (9） 2l n 3 8x x C + + ； (10） 1 ( t an )2 x x C+ + ； (11） 2cos Cx + ； (12） ( ) ( )x f x f x C + ； (13） 23y x= ； (14） 21 2 12 x x+ ； (15） 23 2 52s t t= + 。 三、求不定积分 1 ） 7 5 3 2 2 22 8 8( 2) ( 2) ( 2)7 5 3x x x C + + + ； 2 ） 2 24 5 2 l n( 4 5 )x x x x x C+ + + + ； 3 ） ( 1) xx e C+ + ； 4 ） 1 1( s i n 2 cos 2 )2 2x x x C+ + ； 5 ） 2 2 2x x xx e x e e C + ； 6 ） 2 221 ( )2 x xx e e C + ； 7 ） l nx x x C + ； 8 ） 1 ( s i n l n cosl n )2 x x x C + ； 9 ） 21 ( ar ct an ar ct an )2 x x x x C + + ； 10） 1 ( s i n cos )2 xx x e C + 11） cos l n t an l n cs c cotx x x x C + + ； 12） 2 cos 2 s i nx x x C + + 13） 2( 1) xx e C + ； 14） 4 2 31 (1 ) 4 x C+ + ； 15） c o t l n s i n c o tx x x x C + ； 16） 1 1l n( 1 1 ) ar cs i n2 2x x x x x C+ + + + ； 17） 21l n 2x x x C+ + + + ； 18) 31 t an t an3 x x C+ + 19） 3 22 (1 l n ) 2(l n 2 1) 1 l n3 x x C+ + + + （令 1 l n x t+ = ） ； 20） 22ar ct an 1 1 1l n 1 l n(1 )2(1 ) 4(1 ) 4 8x x x Cx x + + + + + ； 21） 2 51 9( )45 x Cx + （令 3 s i nx t= ） ； 22） 21 ( cot )2 t anx x x Cx + + + ； 86 23） 7 4 4 43 312 (1 ) 3(1 )7 x x C+ + + ； （令 4 x t= ） 24） 2 21 ( l n s i n cos )ax b a x b x Ca b + + ； 25） 31l n l n 13x x C + + （令 1x t= ） ； 26） 31cot 2 t an t an3x x x C + + + ； 27） 2 1 4 1 4 ar ct an 1x x xx e e e C + + ( 令 1xe t = ) ； 28） l n (l n l n 1)x x C + ； 29） 2t an l n cos 2xx x x C+ + ； 30） 21 1 1 2 1l n 1 l n 1 ar ct an3 6 3 3xx x x C+ + + + + ； 31） 2 41 1ar ct an l n(1 )2 4x x C + + ； 32） 2 t an 2x x C + ； 33） 2 3 2 ( 3 4)27 x xe e C + + （令 3 2xe t = 或凑微分 ） ； 34） 22l n 1 1l n 1 ( )1 x Cx xx + + + ； 35） 22 1ar ccos l n 121 x x x Cx + （令 ar ccos cosx t x t= = ） ； 36） l n 4 l n 2 l n l n 4x x C + ； 37） 21 1ar ccos x Cx x + （令 s ecx t= ） 38） 2 2 1l n 2 4 ar ct an3 3xx x x C+ + + ； 39） 1 1( l n s i n(2 l n ) )2 2x x C+ + ； 40） 2 ar cs i n x a Cb a + ； 41） 2 2 x x xx e x e e C x + + + ； 42） s i ns i n cos xx ex e C x + ； 43） a r c t a n21 12 1 xx e Cx+ + ； 44） 1 ( s ec t an l n s ec t an )2 x x x x C+ + + ； 45） 2l n 2 l n 2x x C x x x + ； 46） l n(1 ) l n(1 ) x x xe e x e C + + + + ； 87 47） 2 2 21 1(1 ) ( ar ct an ) ar ct an l n(1 )2 2x x x x x C+ + + + ； 48） 3 2 21 1 1l n l n 1 3 1 3 3 x x x x C x + + ； 49） 1x xx e C+ + 50） 21 ar ct an2 x C+ ； 51） 2 ar ct an(3 t an )3 2x C+ ； 52） 2 l n cos 2 s i n )5 x x C+ + （令 t an x t= ） ； 53） l n 1 s i n cosx x C+ + ； 54） 31 t an t an3 x x x C + + ； 55） 1l n 1 (1 )x Cx + ； 56） 1 1 2l n