新世纪分类讨论

H F E D A CBG F E D A B C F E D A B C F E D A B C 分类讨论 1 已知：在等边ABC 中，点 D、分别为边 AB、BC 、AC 的中点，点 G 为直线 BC 上一动点，当点 G 在 CB 延长线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得 DGH 是等边三角形”成立（如图 ） ，且当点 G 与点 B、E、C 重合时，该结论也一定成立 问题：当点 G 在直线 BC 的其它位置时，该结论是否仍 然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证 明相关结论 解： 图 图 2 2 已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC=3AD （1）如图，连接 AC，如果三角形 ADC 的面积为 6，求梯形 ABCD 的面积； （2）如图，E 是腰 AB 上一点，连结 CE，设 BCE 和四边形 AECD 的面积分别为 和1S ，S 且 ，求 的值；213SBEA （3）如图，AB=CD，如果 CEAB 于点 E，且 BE=3AE， 求B 的度数 解：（1） （2） （3） 3 3 如图，AOC 在平面直角坐标系中，AOC=90 ，且 O 为坐标原点，点 A、C 分别在 坐标轴上，AO=4，OC=3，将AOC 绕点 C 按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为 CAO (1) 当 CA 边落在 y 轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过 A、C 两点且与直线 AA 相交于 x 轴下方一点 D，如果 =9，求这条抛物线的解析式；AODS (2) 继续旋转CAO，当以 CA为直径的P 与（1）中抛物线的对称轴相切时，圆心 P 是 否在抛物线上，请说明理由 解：（1） 4 如图，已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴3492xy 交于点 C。 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求直线 BC 的函数解析式； 4 （3）点 P 是直线 BC 上的动点，若POB 为等腰三角形，请写出此时点 P 的坐标。 （可直 接写出结果） 5.已知点 H（-1，2）在二次函数 y= x2-2x+m 的图象 C1 上. （1）求 m 的值； （2）若抛物线 C2：y = ax2bxc 与抛物线 C1 关于 y 轴对称，且 Q1（-2，q 1） 、Q 2（- 3，q 2）在抛物线 C2 上，则 q1 q2（用“=” 、 “” 、 “” 、 “” 、 “”填空 ） （3）设抛物线 C2 的顶点为 M，抛物线 C1 的顶点为 N，请问在抛物线 C1 或 C2 上是否存在 点 P，使以点 P、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 6如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 经过点 A(-2,0)和原点 O，cxay32 顶点是 D. (1)求抛物线 的解析式;cxay32 A B O C x y 5 y xO A B (2)在 x 轴的上方的抛物线上有点 M,连接 DM 与线段 OA 交于 N 点,若 =2:1,ODNMS: 求点 M 的坐标; (3)若点 H 是 x 轴上的一点,以 H、A、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点 F 在 y 轴上，写出 H 点的坐标。 （直接写出答案，不要求计算过程）. 7 如图，在直角坐标系中，O 为原点点 A 在 x 轴的正半轴上， 点 B 在 y 轴的正半轴上，tan OAB=2二次函数 的2ymx 图象经过点 A、B，顶点为 D （1）求这个二次函数的解析式； （2）将OAB 绕点 A 顺时针旋转 900 后，点 B 落到点 C 的位置将上述二次函数图象沿 y 轴向上或向下平移后经过点 C请直接写出点 C 的坐标和平移后所得图象的函数解析式； （3）设（2）中平移后所得二次函数图象与 y 轴的交点为 B1， 顶点为 D1点 P 在平移后的二次函数图象上，且满足 PBB1 的面积是PDD 1 面积的 2 倍，求点 P 的坐标 x y A -1 1 -1 1 O 6 8 某服装店老板到厂家选购 A、B 两种品牌的服装，若购进 A 品牌的服装 5 套，B 品牌的 服装 6 套，需要 950 元；若购进 A 品牌的服装 3 套，B 品牌的服装 2 套，需要 450 元. （1） 求 A、B 两种品牌的服装每套进价分别为多少元？ （2） 若销售 1 套 A 品牌的服装可获利 30 元，销售 1 套 B 品牌的服装可获利 20 元，根 据市场需求，服装店老板决定，购进 B 品牌服装的数量比购进 A 品牌服装数量的 2 倍还多 4 套，且 B 品牌服装最多可购进 40 套，这样服装全部售出后，可使总的 获利不小于 1200 元，问有几种进货方案？如何进货？ 9 如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点 P 为 x 轴上的个动点，但是点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP， D 点是线 段 AB 上一点，连 PD. (1)求点 B 的坐标； (2)当点 P 运动到什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标； (3)当CPD=OAB，且 = ，求这时点 P 的坐标.AD85 7 23 （本小题满分 7 分） 解：（1）在梯形 ABCD 中， ADBC， 又 ADC 与ABC 等高，且 BC=3AD， ， ，ADCBS36ADC . 1 分24SB形 (2) 方法 1：连接 AC，如图, 设AEC 的面积为 ，则 ACD 的面积为 S2-S3，3 由（1）和已知可得 1233S;(). 解得：S 1=4S3 14 AEC 与BEC 等高， 4 分AE1B 方法 2：延长 BA、CD 相交于点 F，如图 ADBC，FADFBC， ， 91)CD(S2BA 设 =a，则 =9a， =8a，3FADSFD21 8 又 ， a， a ， =a.213S54116S3 EFC 与CEB 等高， . 87EBF123C 设 FE=7k，则 BE=8k，FB=15k ， FA= FB=5k. AE=7k-5k=2k31 . 4 分AEB4 （3）延长 BA、CD 相交于点 M. 如图， ADBC，MADMBC， .31BACD MB=3MA. 设 MA=2x，则 MB=6x . AB=4x. BE=3AE， BE=3x，AE=x. BE=EM=3x，E 为 MB 的中点 . 又 CEAB ， CB=MC. 又 MB=MC， MBC 为等边三角形. 图 B=60. 7 分 24 （本小题满分 7 分） 证明：连接 DE、EF、DF. （1）当点 G 在线段 BE 上时，如图， 在 EF 上截取 EH 使 EH=BG D、 E、F 是等边ABC 三边中点， DEF、 DBE 也是等边三角形且 DE= AB=BD.21 在DBG 和 DEH 中，EHBG60M DBG DEH. DG=DH. BDG= EDH. BDE=GDE+ BDG=60， GDH=GDE+EDH=60 在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形. .3 分 （2）当点 G 在射线 EC 上时，如图， 在 EF 上截取 EH 使 EH=BG 由（1）可证DBGDEH. DG=DH，BDG= EDH. BDE=BDG-EDG=60， GDH=EDH-EDG=60. F E C A D B H F E D A CB G H F E D A CB G 9 在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形. 6 分 （3）当点 G 在 BC 延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立. 7 分 综上所述，点 G 在直线 BC 上的任意位置时，该结论成立. .解：（1）在 RtAOC 中，AO=4，OC=3，AC=5. 由旋转可知 . .5AC 2OCA A（-4，0） ，C（0，3） ， （0，-2）. 可求得直线 的解析式为 .x1y 抛物线与直线 交于点 D，设点 D（x，y） ，9SAOD . 解得 .)y(21 29y 将 代入 ，得 x=5. x1 D（5， ）.9 抛物线过 A、C、D 三点， 可求得抛物线的解析式为 3 分3x41y2 （2）由 得对称轴为 .3x41y2 P 与抛物线的对称轴相切，可有两种情况： 情况 1：如图，过点 P 向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点 E，交 y 轴于点 F， 点 P 到对称轴的距离 PE 等于P 的半径， 即 PE= ，PF=2. CF= .2523FC2 FO=CO-CF= . P (2， ) . 3 点 P 的坐标满足 ，3x41y2 点 P 在抛物线上. 6 分 情况 2：如图，过点 P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点 ，交轴于点 .EF 同理可求得点 .)9,( 点 坐标不满足抛物线 ， 3x41y2 此点 P不在抛物线上. 10 （说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分） (本小题满分 7 分) 解：（1）当 y=0 时，得方程 ，解得 x= 1 或 x = 4,-2 分34902x 所以点 A、B 的坐标分别为(1 ,0 ) ，( 4, 0)-4 分 当 x =0 时，y=3，所以点 C 的坐标为 (0, 3)-5 分 （2）设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b -6 分 由（1）可得 ，解得 -2 分bk340 34bk 所以直线 BC 的函数解析式为 y= x + 3-4 分 （3）P 1（2， ） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） ，P 4（ ， ） -7 分56151258296 1）点 H（ ，2）在抛物线 上，2yxm 2=（ ） .(1)m . 1 分m （2）q 1q 2. 2 分 由（1）知，C 1： yx()x .2) C 1 的对称轴为：直线 ，顶点坐标为：（1， ）.x2 抛物线 C2： 与 C1： 关于 y 轴对称，2ybc21yx C 2 的解析式为： 2() . 3 分x 又Q 1( ,q1), Q2( ,q2)在抛物线 C2 上，且在对称轴 的左侧，3x q 1q 2. 11 F A B C DE P （3）存在这样的点 P，使以 P，M，N 为顶点的三角形是直角三角形. 由上述可知：M（ ， ） ，N （1， ）.122 当 M 为直角顶点时，点 P 在 C1 上. 当 时， .1xy P（ ，2）. 4 分 当 N 为直角顶点时， 点 P 在 C2 上. 当 时， .1xy P（1，2）. 5 分 当 P 为直角顶点时， P（0， ）. 6 分 综上可知：点 P 的坐标为（ ，2）或（1，2）或（0， ）. 1 .解: (1)作 DF BC,F 为垂足. 当 PC=6 时, 由已知可得,四边形 ABFD 是矩形, FC=6, 点 P 与点 F 重合,又 ,DB 此时点 E 与点 B 重合.-2 分. (2)当点 P 在 BF 上( 即 )时,246x. ,90,90DPEBFB ,即EPtantaDFBPmxy624 .-4 分.)1430(12 当点 P 在 CF 上(即 )时,同理可得 .-5 分.6x )1430(12xmy BC A B C 12 综合以上知: .6014301242 ） （ 其 中（ ） ，） （ 其 中（ xxmy (3)能找到这样的 P 点.-6 分. 当点 E 与点 A 重合时, ,此时点 P 在线段 BF 上,EB 有 ,)1430(12x 整理得, . 2mx 假设在线段 BC 上能找到两个不同的点 满足条件 ,即方程有两个不相等的正根,21P与 首先要 ,然后应有 0.22(30)4(1)02815mx 由 解得: ,由于 .又 , -7 分.8m80.9 (3)解法二: 能找到这样的 P 点.-6 分. 当点 E 与点 A 重合时, ,90PD 点 P 在以 AD 为直径的圆上,设圆心为 Q,则 Q 为 AD 的中点. 要使在线段 BC 上能找到两个不同的点 满足条件,21P与 只要使线段 BC 与Q 相交,即:圆心 Q 到 BC 的距离 d 满足 ,20AD ,BCAD/.md , -7 分 92180 如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60，点 P 为 x 轴上的个动点，但是点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP， D 点是线 段 AB 上一点，连 PD. (1)求点 B 的坐标； (2)当点 P 运动到什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标； 13 QP F E D CB A (3)当CPD=OAB，且 = ，求这时点 P 的坐标.ABD85 九解答题（本题满分 8 分） 25设点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， 、F 是 BC 边上一点，线段 DE 和 AF 相 交于点 P，点 Q 在线段 DE 上，且 AQ/PC. （1） 证明：PC=2AQ； （2） 当点 F 为 BC 的中点时，试比较 和梯形 APCQ 面积的大小关系，并对你的PC 结论加以证明。 14 x y y x y x H A A A FD AH FD F D O O OH 24.解: (1)由于抛物线 经过点 A 和点 O,所以有cxay32 解出.0,34Ca.0,C 解出抛物线的解析式是 .-2 分.xy32 (2)由抛物线 知其顶点 D 的坐标是( ).x32 3,1 设点 M 的坐标是( ),且 0.0,y 由于 =2:1,即ODNS: 2121DMy 所以 .-3 分.:My： 由于 所以 .,3D3M 将 代入 中,得 ,2Myxy231 所以满足条件的点 M 有两个,即 .-5 分.)2,()(21M (3)满足条件的 H 点有 3 个,它们分别是 .-8 分.01,03HH 15 25解: (1)延长 DE,CB 相交于点 R,作 BM/PC.-1 分. AQ/PC, BM/PC, .AQMB/ .E 是 AB 的中点,D、E、R 三点共线, .BM, .AQ .-3 分 . 同理 .EDRB .C,/PM 相似比是 .，21 .-4 分.AQB2 另解:连结 AC 交 PQ 于点 K,- 1 分. 易证 KE，CD -2 分. .21PAQ/ .-3 分. .21KC ,即 PC=2AQ-4 分.PA (2)作 BN/AF,交 RD 于点 N.-5 分. .RBNF KAB C DE FP Q M R QP F E D CB A 16 是 BC 的中点,RB=BC,F .RB32 .PN 易证 .EA . .-6 分.FB32 因 PFC(视 PC 为底)与梯形 APCQ 的高的比等于 中 PC 边高的比易知即等于PQCF与 PF 与 AP 的比,于是设 PFC 中 PC 边的高 =3k,梯形 APCQ 的高 =2k.再设 AQ=a, 则 PC=2a.1h2h =3ka, = . 12ahSPFC ）（梯 形 ASAPCQ22kaa3)(1 因此 .-7 分.梯 形 22 （本题满分 5 分） 解：（1）设 A 种品牌的服装每套进价为 x 元，B 种品牌的服装每套进价为 y 元， 由题意得： 2 分4502396yx 解得 7510yx 答：A、B 两种品牌的服装每套进价分别为 100 元、75 元. 3 分 （2）设 A 种品牌的服装购进 m 套，则 B 种品牌的服装购进（ 2m+4）套. 根据题意得： 120)4(20 N R QP F E D CB A 17 解得 16m184 分 m 为正整数，m=16、17、18 2m +4=36、38、40 答：有三种进货方案 A 种品牌的服装购进 16 套，B 种品牌的服装购进 36 套. A 种品牌的服装购进 17 套， B 种品牌的服装购进 38 套. A 种品牌的服装购进 18 套， B 种品牌的服装购进 40 套. 5 分 七、解答题（本题满分 7 分） 23解：（1）作 BQx 轴于 Q. 四边形 OABC 是等腰梯形， BAQ=COA=60 在 RtBQA 中，BA=4， BQ=ABsinBAO=4s