中南大学复变函数考试卷试题及答案

中南大学考试试卷(B) 2008-2009 学年第二学期 时间 110 分钟 复变函数与积分变换课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分 100 分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答 题纸上 一、单项选择题（15 分，每小题 3 分） 1 设 ，则 的连续点集合为（ ） 。 2,0zffz （A）单连通区域 （B）多连通区域 （C）开集非区域 （D）闭集非闭区域 2 设 ，那么 与 在点 可微是 在点(),)(,)fzuxyiv(,)uxy(,)v0,xyfz 可微的（ ） 。00i ABCD充 分 但 非 必 要 条 件 必 要 但 非 充 分 条 件充 分 必 要 条 件 既 非 充 分 也 非 必 要 条 件 3 下列命题中，不正确的是（ ） 。 0Res,0Im1.zfzfzBf fzDCeiDz如 果 无 穷 远 点 是 的 可 去 奇 点 ,那 么若 在 区 域 内 任 一 点 的 邻 域 内 展 开 成 泰 勒 级 数 则 在 内 解 析 .幂 级 数 的 和 函 数 在 收 敛 圆 内 是 解 析 函 数 .函 数 将 带 形 域 ()映 射 为 单 位 圆 4 设 c 是 ，t 从 1 到 2 的线段，则 （ ） 。zi argdcz 1144ABCiDi 5 设 在 内解析且 ，那么 （ ） 。fz00lizfRes,0fz 2 2211AiBiCD 二、填空题（15 分，每空 3 分） 1 的主值为 。Lni 2函数 仅在点 z= 处可导。ReImfz()=+ 3罗朗级数的 收敛域为 。11233 nnnnz 4 映射 ，将圆域 映射为 。wz 5 。1coszdA 三(10 分) 求解析函数 ，已知 。fzuiv()=+2,()1xyfii 四(20 分) 求下列积分的值 1 241 zzed 2 20sin0xa 五(15 分) 若函数 在点 解析，试分析在下列情形：z0 1 为函数 的 m 阶零点；0zf 2 为函数 的 m 阶极点；z 求 。0Res,f 六 （15 分）写出函数 的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。 2cosze 七 （10 分）求函数 傅氏变换。13sin2ftuttt 应用数理统计 试题 第 3 页 共 5 页 中南大学考试试卷答案(B) 2008-2009 学年第二学期 时间 110 分钟 复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 0701 总分 100 分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答 题纸上 三、单项选择题（15 分，每小题 3 分） 1A。2 B 。3 A。4 C。5C。 四、填空题（15 分，每空 3 分） 1 。2 。3 。4 半平面 R。50。lnii2z1e2w 三(10 分) 解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。,00222(,)1xyyvvuxxdyCxx则 四(20 分) 求下列积分的值 1 23ei 2这里 m=2， n=1，m-n=1， R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的s(,izRalmiza20ndI).ixe因 此 五(15 分) 4 0000 0 00 0!(1) ,nnmzzzzzfmzfz 解 :函 数 在 点 解 析 等 价 于 在 的 一 个 邻 域 内为 的 阶 零 点 等 价 于 在 的 一 个 邻 域 内其 中 在 点 解 析 ,于 是 在 的 去 心 领 域1010 0000!,Res,2, nnfzmzz zzffzz 由 此 可 知与 上 面 类 似 六 2 22 2 24224201 211,cos 1,. ,!cs!ocs ,z z nnzz neRezzzezzc 函 数 距 原 点 最 近 的 奇 点 其 距 离 就 是 函 数 在 幂 级 数 展 开 式 的 收 敛 半 径即 =收 敛 范 围 为 由 及 幂 级 数 的 除 法 ,可 设注 意 到 与 均 为 偶 函 数 ,其 展 开 式 中 不 含 项 可 知2 342 242020242 01! !391,39cos nnz zczzcez