《高数》下册第十一章练习题

第 11 章 曲线积分与曲面积分 习题 11-1 1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 L，在点（x,y）处它的线密度为 （x,y） 。用对xOy 弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对 x 轴,对 y 轴的转动惯量 ,xIy （2）这曲线弧的质心坐标 , 2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质 3 3.计算下列对弧长的曲线积分： （1） ，其中 L 为圆周 2(xy)nLds?xcost,yin(0t2)a （2） ，其中 L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段 （3） ，其中 L 为由直线 y=x 及抛物线 所围成的区域的整个边界Ls 2yx （4） ，其中 L 为圆周 ，直线 y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的 2xyed2xa 扇形的整个边界 （5） ，其中 为曲线 上相应于 t 从 0 变到22 1sxyzcos,in,ttteyze 2 的这段弧 （6） ，其中 为折线 ABCD，这里 A,B,C,D 依次为点（0,0,0） ， （0,0,2） ， 2ds （1,0,2） ， （1,3,2） （7） ， ，其中 L 为摆线的一拱 2Ly(tsin),y(1cos)(0t2)xaa （8） ，其中 L 为曲线(x)ds cointt 4.求半径为，中心角为 的均匀圆弧（线密度 ）的质心2 5.设螺旋形弹簧一圈的方程为 ，其中 ，它的线密度cs,in,xatytzk02t 求： 22(x,yz)z （） 它关于轴的转动惯量 zI （）它的质心。 习题 11-2 1.设 L 为 面内直线 上的一段，证明：xOyxa (,y)dx0LP 2.设 L 为 面内 x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：y (,)(,)dx bLa 3.计算下列对坐标的积分： （1） ，其中 L 是抛物线 上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧 2(xy)Ld 2y （2） ，其中 L 为圆周 及 x 轴所围成的在第一象限内的区?(x)aa（ 0） 域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3） ，其中 L 为圆周 上对应 t 从 0 到 的一段弧Lydx cos,inRtyt2 （4） ，其中 L 为圆周 （按逆时针方向绕行）2 ()(y)d22+xa （5） ，其中 为曲线 上对应 从 0 到xdzcos,inkyz 的一段弧 （6） ，其中 是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线(y1)dz （7） ，其中 为有向闭折线 ABCD，这里的 A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),+dxz? (0,0,1) （8） ，其中 L 是抛物线 上从点（-1,1）到点（1,1） 22(y)(xy)dL2yx 的一段弧 4.计算 ，其中 L 是：(x)d()L （1） 抛物线 上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 2y （2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段 （3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2） ，然后再沿直线到点（4,2）的折线 （4）曲线 上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 221,xtyt 5.一力场由沿横轴正方向的恒力 F 所构成，试求当一质量为 m 的质点沿圆周 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功 22yR 6.设 z 轴与动力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重 力所做的功 7.把对坐标的曲线积分 化成对弧长的积分曲线，其中 L 为：(x,y)dQ(,)yLP （1） 在 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）xOy （2）沿抛物线 从点（0,0）到点（1,1） 2 （3）沿上半圆周 从点（0,0）到点（1,1）xy 8.设 为曲线 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 23,tzt 化成对弧长的曲线积分PdxQyR 习题 11-3 1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1） ，其中 L是由抛物线 和 所围成的区域的 22(xy)d(y)L?2yx 正向边界曲线 （2） ，其中 L 是四个顶点分别为（0,0） ， （2,0） ， （2,2） ， 22()(x)dL （0,2）的正方形区域的正想边界 2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1） 星形线 33cos,inxatyt （2）椭圆 29+164 （3） 圆 xyx 3.计算曲线积分 ，其中 L 为圆周 ，L 的方向为逆时针方向2 d()Ly?2(x1)y 4.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值xO （1） (2,3)1xyd()y （2） (,4)2322663)dx （3） (2,1)40)(4 5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1） ，其中 L 为三顶点分别为（0,0） ， （3,0）和(2xy4)d(53x6)dyL?（3,2）的三角形正向边界； （2） ，其中 L 为正向星形线 222(cosin)(sinxye)dxxL e33a0)xy （3） ，其中 L 为在抛物线 上由 2 2(csx(1ysi3)Ld 2xy 点（0,0）到（ ，1 ）的一段弧 （4） ，其中 L 是在圆周 上由点（0,0）到点 22(xy)d(siny)dL 2yx （1,1）的一段弧 6.验证下列 在整个 平面内是某一函数 u(x,y)的全微分，并求这(,)(x,)PQxO 样的一个 u(x,y)： （1） (2)()xydy （2） （3） 4sin3coss3co2xyxyxd （4） 222(8)(81)de （5） 2cssinixyxyxy 7.设有一变力在坐标轴上的投影为 ，这变力确定了一个力场。证明,8XYx 质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。 .判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。8 （1） 22(36)(xy4)d0xyd （2） 2a(a)为 常 数 （3） (e) yyx （4） cossinxy0 （5） 2(y)d （6） 2y(x)d0y （7） 21ee （8） () 9.确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 为某 4242(x,y)(y)(xy)Aij 二元函数 u（x,y）的梯度，并求 u(x,y) 习题 11-4 1.设有一分布着质量的曲面 ，在点（x,y,z）处它的面密度为 （x,y,z）,用对面积的曲 面积分表示这曲面对于 x 轴的转动惯量 2.按对面积的曲面积分的定义证明公式 12(,yz)ds(x,yz)ds(x,yz)dsfff 其中 是由 和 组成的12 3. 当 是 面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？ xOy (,z)Sf 4.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分，(,z)dSf 2xyO 分别如下：(x,yz)f （1） ,1 （2） 2(,z)xyf （3） 3 5. 2计 算 （ +） dS,其 中 是 ： （1） 2zz1xy锥 面 及 平 面 所 围 成 的 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 （2） 3()03锥 面 被 平 面 和 所 截 得 的 部 分 6.计算下列对面积的曲面积分： （1） 4xz, 13234yzds（ +2xy） 其 中 为 平 面 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 （2） （ -） ,其 中 为 平 面 +=6在 第 一 卦 限 中 的 部 分 （3） 22(xyz)dsxz(0ha)ya 其 中 为 球 面 上 的 部 分 （4） 22zxyx（ +） ,其 中 为 锥 面 被 柱 面 所 截 得 的 有 限 部 分 7. 21z(xy)01) =z求 抛 物 面 壳 的 质 量 ， 此 壳 的 面 密 度 为 8. 220+z=a(0)z求 面 密 度 为 的 均 匀 半 球 壳 对 于 轴 的 转 动 惯 量 习题 11-5 1.按对坐标的曲线面积的定义证明公式 1212P(x,yz)(,)dyz(x,yz)d(x,yz)dPP 2. OR当 为 面 内 的 一 个 闭 区 域 时 ， 曲 面 面 积 （ ,） 与 二 重 积 分 有 什 么 关 系 ？ 3.计算下列对坐标的曲面积分： （1） 2 22,xyzxyzd其 中 是 球 面 的 下 半 部 分 的 下 侧 （2） 2z,x1z03dxyzdxys其 中 是 柱 面 被 平 面 及 所 截 得 的在 第 一 卦 限 内 的 部 分 的 前 侧 （3） (,z)y2(,z)d(x,z)dy,(x,z)x1fff f 其 中 为连 续 函 数 ， 是 平 面 在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧 （4） 区域的 xz,x0,yz,xyz1dyz?其 中 是 平 面 所 围 成 的 空 间 整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分 xP（ ,yz） d+Q(x,yz)d+R(x,yz)d 化成对面积的曲面积分其中 （1） 326z是 平 面 在 第 一 卦 限 的 部 分 的 上 侧 （2） 28(xy)Oz是 抛 物 面 在 面 上 方 的 部 分 的 上 侧 习题 11-6 1.利用高斯公式计算曲面积分： （1） ，其中 为平面 x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a 所围成的立222xdyzxzdy? 体的表面的外侧 （2） ，其中 为球面 的外侧333 22xyza （3） ，其中 为上半球体222(xyz)(yz)zddxd 的表面的外侧2220,aa （4） ，其中 是界于 z=0 和 z=3 之间的圆柱体 的zxyzxy?29xy 整个表面的外侧 （5） ，其中 是平面 x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1 所围成的2dd 立方体的全表面的外侧 2.求下列向量 A 穿过曲面 流向指定侧的通量： （1） ， 为圆柱 的全表面，流向外侧yzixjk22(0zh)xya （2） ， 为立方体 的全表面，2()yz,0xyaz 流向外侧 （3） ， 是以点（3，-1,2）为球心，半径 R=3 的2(2x3z)(y)(z)Aijk 球面，流向外侧 3.求下列向量场 A 的散度： （1） 222(z)(x)(z)yijyk （2） coss xe （3） 2zAyijk 4.设 u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续偏导数的函数， , 依次 unv 表示 u(x,y,z),v(x,y,z)沿 的外法线方向的方向导数。证明 ，(u)dxyz(u)ds vvn 其中 是空间闭区域 的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。 5.利用高斯公式推证阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力） 的方向沿铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力 习题 11-7 1. 2222z,1,QxRzxyPy试 对 曲 面 ： 验 证 斯 托 克 斯 公 式 2.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： （1） ，其中 为圆周 ，若从 x 轴的正向yd? 22=,0ay 看去，这圆周是取逆时针方向 （2） ，其中 为(z)x()dy(x)z 椭圆 ，若从 x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向,1a0,by （3） ，其中 为圆周 ，若从 z 轴的正向看去， 2dxzy?2,2yz 这圆周是取逆时针方向 （4） ，其中 为圆周 ，若从 x 轴的正向看 223yd229,0x 去，这圆周是取逆时针方向 3.求下列向量场 A 的旋度： （1） (2z3y)i(xz)j(y2x)k （2） sncos （3） 22ii(z)jin(csz)Axyxy 4.利用斯托克斯公式把曲面积分 化为曲线积分，并计算积分值，其中 A，rtAd 及 n 分别如下： （1） ，为上半球面 的上侧，n 是 的单位法向量 2Ayixjzk21zxy （2） ， 为立方体 的表面()(,)0,2,0yz 外侧去掉 面上的那个底面，n 是 的单位法向量xOy 5.求下列向量场 A 沿闭曲线 （从 z 轴正向看 依逆时针方向）的环流量 （1） （c 为常量） ， 为圆周ijk 21,0xyz （2） ，其中 为圆周 32(xz)+y)jxk2,xyz 6.证明 abrotrt 7.设 具有二阶连续偏导数，求(,z)urot(gadu) 总习题十一 1.填空 （1）第二类曲线积分 化成第一类曲线积分是，其中 ，PdxQyRz ， 为有向曲线弧 在点（x,y,z）处的的方向角 （2）第二类曲线积分 化成第一类曲线积分是，其中yzxdy ， ， 为有向曲面 在点（x,y,z）处的的方向角 2.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设曲面 是上半球面： ，曲面 是曲面 在第一卦限中的部分， 22x=R(z0)y1 则有。 （A） 14xds （B） 1y (C) 1zsx (D) 14ydzs 3.计算下列曲线积分： （1） ，其中 L 为圆周 2Lxyds?2xya （2） ，其中 为曲线 z 0cos,in,(t)ttz （3） ，其中 L 为摆线 上对应 t 从 0 到 (ay)dxL s,1cosxayat 的一段弧 （4） ，其中是曲线 上由 到 的 22(yz)dxydz 23,xtyzt12t 一段弧 （5） ，其中 L 为上半圆周 沿逆 (esiny2)(ecosy2)dxxLd 22(xa)+y,0 时针方向 （6） ，其中 是用平面 y=z 截球面 所得的截痕，从 z 轴的正向 xyzd?221xyz 看去，沿逆时针方向 4.计算下列曲面积分： （1） ，其中 是界于 z=0 及 z=H 之间的圆柱面 22dsxyz22xyR （2） ， 2()(x)dz