二00四年全国高中数学联合竞赛(天津初赛)(含答案)

二 00 四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛） （9 月 19 日上午 9：0011：00） 一、选择题（本题共 6 个小题，每小题 5 分满分 30 分） （1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 等于（ ）xxf 2sinco81)(aba1 （A） （B ） （C） （D）8 0 （2）若 ，且 ，则下列各式中最大的是（ ）ba0 （A） （B）1 1logl22ba （C） （D ）2log )(33 （3）已知数列 ， ， ， ， ，这个数列的特点是从第二项起，每0451045 一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 项之和 等于（ ）2204S （A） （B） （C ） （D）2521 （4）已知函数 的反函数是 ，且 ，则（ ）xexf)( )(xfkf|)6.0(|81 （A） （B） （C） （D）21,0k)1,2(k23,k)2,3( （5）正四棱锥 中，侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，侧面等腰ACDS 三角形的底角为 ，相邻两侧面所成的二面角为 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D ） （6）若对任意的长方体 ，都存在一个与 等高的长方体 ，使得 与 的侧面积之比和体AABA 积之比都等于 ，则 的取值范围是（ ）k （A） （B） （C） （D）010k1k1k 2 1P2P3AOBC456 二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分） （7）若关于 的方程 只有一个实数解，则 的值等于 xxalg12 a （8）在 中，若 ， ，且最长的边的长为 ，则最短的边的的长等于 ABCtn3tB1 （9）若正奇数 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的 的最大值为 n （10）设 、 、 是直角三角形的三条边长，且 ，其中abc )(2)( 2nn cbacba ， ，则 的值等于 *Nn2n （11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有 对 （12）如图，以 、 为顶点作正 ，再以 和 的中点 为顶点作正)0,(O),1(A1OAP1AB ，再以 和 的中点 为顶点作正21BP2BC ，如此继续下去有如下结论：3C 所作的正三角形的边长构成公比为 的等比21 数列； 每一个正三角形都有一个顶点在直线 （2AP ）上；1x 第六个正三角形的不在第五个正三角形边上 的顶点 的坐标是 ；6P)36421,( 第 个正三角形的不在第 个正三角2040 形边上的顶点 的横坐标是204 2041x 其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上） 第 3 页 共 8 页 三、解答题（本题共 3 小题，每小题 20 分，满分 60 分） （13）已知函数 （ ， ）的反函数是 ，而且函数axf)(01)(1xfy 的图象与函数 的图象关于点 对称)(gy)(1xfy),(a （）求函数 的解析式；)( （）若函数 在 上有意义，求 的取值范围)(1xgfxF 3,2a 4 （14）设边长为 的正 的边 上有 等分点，沿点 到点 的方向，依次为 ，1ABCnBC1P ， ，若 ，求证： 2P1n APAPSnn 121 nSn62 第 5 页 共 8 页 （15）已知 是等差数列， 为公差且不等于 ， 和 均为实数，它的前 项和记作 ，nad01adnnS 设集合 ， ，试问下列结论是否正|),(*NSAn ,4|),(2RyxxyB 确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 （）若以集合 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上； （） 至多有一个元素；B （）当 时，一定有 01aBA 6 )(0PBAC1k)(nP 二 00 四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛） 试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 6 个小题，每小题 5 分满分 30 分） （1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分） （7）100 （8） （9）17 （10）4 （11）174 （12） 三、解答题（本题共 3 小题，每小题 20 分，满分 60 分） （13） 【解】 （）由 （ ， ） ，得 5 分axf)(01)3(log)(1axf 又函数 的图象与函数 的图象关于点 对称，则 ，)(gy)(1xfy0,a)(1xf 于是， （ ）10 分log)21xfxa （）由（）的结论，有 )(log)3(log)(1 axxxfFa 要使 有意义，必须)(xF.0,3ax 又 ，故 15 分0a 由题设 在 上有意义，所以 ，即 )(,2a321 于是， 20 分1 14 【证明】如图，设 ， ， ，cABbCB 令 ，则pBCn （ ， ， ， ）pkcPAkk012n 其中， ， 0ACn )()(1 kckck （ ， ， ， ） 5 2211pk12n 分 第 7 页 共 8 页 又 ，ACPAPBSnn 121 2112 )()( pkpckcnn 10 分223(n 15 222 31)()( ancppnc 分 又 ， 与 的夹角为 ，1|baa60 20nnSn 232 分 15 【解】 （）正确 因为，在等差数列 中， ，所以， na2)(1nnaS21nnaS 这表明点 的坐标适合方程 ),(Sn )(1xy 所以，点 均在直线 上 5),(an )(21a 分 （）正确 设 ，则 坐标中的 、 应是方程组 的解BAyx),(),(yxxy14,2yxa 解这个方程组，消去 ，得 （）4221a 当 时，方程（）无解，此时， 10 分01a BA 当 时，方程（）只有一个解 ，112ax 8 此时方程组也只有一个解，即 .4,211ayx 故上述方程组至多有一解，所以 至多有一个元素 15BA 分 （）不正确 取 ， ，对一切 ，有 ， 1ad*Nn0)1(ndan Sn 这时集合 中