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数学分析(1) 试卷(A)参考答案 一、叙述题(每题 5 分共 30 分) 1叙述函数 在区间 上无界的定义和 的定义.()fxI AxfI)(sup 2叙述极限 存在的归结原则.lim0x 3叙述极限 存在的 Cauchy 准则,据此再叙述 不存在的充要)(f )(limxfx 条件. 4分别叙述 在区间 上连续和一致连续的定义.)(xfI 5叙述函数 在点 可微的定义,并说明函数在一点连续、可导、可微的0 关系. 6叙述 是区间 上凸函数的定义,并给出可导凸函数的一个充要条件.)(xfI 二、计算题(每题 6 分共 30 分) 1求 .)1ln(lim2In 解 由归结原则得 3 )1ln(lim)1l(li 202 ttxxIt 32)1(lili)ln(im0020 ttt ttt 2. 求 .4 20coslixeIx 解 由麦克劳林公式得 ,2)(241cos5xo ,2)(852ex 2 .)(12cos542xoex 所以求得 .212 )(limcosli 450420 xxeIxx 3设 ,且 ,求 . (),1,gf()1,()gg()f 解 因为 , 22()()1fxx 所以由洛必达法则得 2211()()()limlixxggf .21li()1x 4. 设 ,求eyxarcsin51cot2d.y 解 2 ct )(tl2 xx 421arcsinxee21cot 21d(5lnt()xyx 2ri)dx x 2 5求 在 上的最大值与最小值.5345x, 解 )3(11202 xy 令 得驻点 . 计算 3, , , , ,)(y)0(y)(7)2(y 3 所以最大值 ,最小值 . 32)1(y10)(y 三、(10 分)设 ( 为有限数), 在点 连续,证明:axgxlim)(xfa)(ligfx 证 因 在点 连续,故 , ,当 时,有)(f 0x 3)(af 又因 ,对上面 , ,当 时,有 ,从而axgx)(limMaxg)( 4)(fxgf 综上, , ,当 时,有 ,这就证明了0)(fxf 3)(limafx 四 (10 分)设 在 上连续,且 存在.证明 在 上一致连f,)alixff,)a 续. 证 因为 存在,由 Cauchy 准则知: , ,只要 ,li()xf 0X,xX 就有 . 3 又因为 在 上连续,所以 在 上连续,进而在 上一致连f,)af,1a,1a 续.即对上述 , ,对任何 ,只要 就有1(,xx . )(xf 4 综上,可知 ,任何 ,只要 就有0),axx .即 在 上一致连续. 3)(xff) 五、(10 分)、设 在 连续,在 可导,证明:如果(0U)(0 存在,则 也存在,且 .并由此结论证明,如果)0(f )0f )(0xff 在区间 上可导,则 不存在第一类间断点.xI(x 4 【证】 )(lim)(lim)( 000 fxfxf xxCauchy中 值 定 理 (其中 ).当 时,有 ,由假设条件 存在,即0 00 存在.说明 存在且 .同理可证,如果)()li00ffx )(f )()(ff 存在,则 也存在,且 .(x 00x 6 分 下证导函数不存在第一类间断点. 对 ,如果 和 都存在,I0)(0f)0(xf 由上述结论和 存在,知必有 ,这说明 在)(0xf )(0xfxf f 点连续.0x 4 分 六(10 分)设 在 上二阶可导.若有)(xf,ba ,则存在 ,使得 .0,0)(bfa ),(ba0)(f 证 不妨假设 ,则由导数定义和极限保号性可知,存在)(f ,使得2121),(,xx . 30)(,0)21bfxfaf 而 在 上连续,故由介值定理可知存在 ,使得f,ba ,21xc 2)(cf 在
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