立足数学本质深化函数意识提升思维能力

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 立足数学本质深化函数意识提升思 维能力 【摘要】在初中数学阶段， “函数” 对学生而言是抽象的，通过经历探索实 际问题中的数量关系和变化规律，由常 量数学向变量数学过渡，体会函数是刻 画现实世界中变化规律的重要数学模型. 中国论文网 /9/view-13002722.htm 【关键词】函数；有效性；数学 思维 一、初中函数教学的重要意义 （一）初中函数在数学课程中的 地位 函数是数学最重要的基本概念之 一.它揭示了现实世界中数量之间相互依 存变化对应的过程，是刻画和研究客观 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 世界变化规律的重要模型.它研究变量， 反映一个变化过程，由常量数学到变量 数学是数学思维上的一次飞跃. （二）初中函数的教学建议 1.立足函数概念核心，强化概念 形成的生成过程 初中阶段的函数概念是从运动变 化的观点引入，紧扣“ 变量 ”来描述函数， 主要明确两层含义：第一，两个变量是 互相联系的，一个变量变化时，另一个 变量也发生化；第二，函数与自变量 之间是单值对应关系，自变量的值确定 后，函数的值是唯一确定的. 2.加强研究函数一般方法的指导 研究函数概念可以从五方面逐步 渗透： 概念的引入（从数学概念体 系的发展过程或解决实际问题的需要引 入） ； 概念的形成（提供典型丰富的 具体例证，概括其本质属性） ； 概念 的明确（准确的数学语言描述概念的内 涵与外延） ； 概念的表示（用数学符 号表示，这是数学概念的特色） ； 概 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 念的巩固和应用以实例（正反例）为 载体分析关键词的含义，应用概念作判 断. 因此，在教学过程中可以进行问 题导向，用类比的方法研究几个函数概 念（一次函数、正比例函数、反比例函 数、二次函数） ，同时加强研究方法的 引导，对于学生理解相关概念可以起到 事半功倍的效果. 3.渗透函数思想，用函数观点上 串下联知识体系 由于函数具有多样性的表现和变 化性的过程等特点，所以结合函数观点 可以开拓研究方程和不等式的思路.这对 理解他们的本质内涵和解决有关问题都 是有益的，还可以使学生重新组合已有 的认知结构，优化知识系统从而进一步 加深对函数的认识. 二、苏科版八（上）第六章第一 课时“函数（ 1） ”的教学案例探究 （一）教材分析 在此之前，学生已经初步学习了 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 变量之间的关系，这个基础为过渡到本 节的学习起着铺垫作用.本节课内容主要 是进一步认识常量、变量，理解函数的 概念，是认识函数的开始，为接下来学 习一次函数和其他学科用图像或者表格 等内容打好基础. （二）学情分析 为了更深刻地认识千变万化的世 界，人们归纳总结出一个重要的数学工 具函数，用它描述变化中的数量关 系.函数在现实生活中应用广泛，学习掌 握它很有必要.从本节课开始学习内容都 是综合运用函数知识来解决问题，因此， 这个学习过程有难度.所以笔者认为要设 计一些问题进行铺垫，降低难度，引导 学生先易后难逐步深化，让基础薄弱一 些的学生也能有所收获. （三） “6.1 函数（1 ） ”具体教学设 计 【教学目标】 1.知识与能力 （1）通过简单实例，了解常量 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 与变量的意义； （2）通过实例让学生多角度认 识和理解函数的意义，感受函数的多种 表示形式； （3）能说出一些函数的实例， 并能判断两个变量间的关系是否是函数 关系. 2.过程与方法 经历具体实例的抽象过程，进一 步发展学生的抽象思维能力. 3.情感、态度与价值观 学生从现实生活的体验出发，激 发学生对数学问题的兴趣，使学生了解 数学知识的功能与价值，形成主动学习 的意识. 【教学重点】函数概念的建立， 判断两个变量间的关系是否是函数关系. 【教学难点】函数概念中常量、 变量的理解及其对应关系探索. 【教学过程】 1.问题情境与思考 情境一：汽车加油视频 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 问题 1：同学们，有没有看过在 加油站给汽车加油的过程？请同学们观 看给汽车加油的视频. 问题 2：这个加油过程中共涉及 几个量？ 生：金额、油量、单价. 问题 3：给汽车加油的过程中， 对于这几个量，你有什么发现？ 生：单价不变，金额和油量在不 断变化. 引出常量、变量的概念：在一个 变化过程中，数值保持不变的量叫作常 量；可以取不同数值的量叫作变量. 【设计意图】从生活实例出发结 合加油视频，展现几个量的变化情况， 设计明确的问题导向引发学生的不断思 考，激发学生的兴趣，加深学生对这几 个量的认识.通过这个问题情境，一方面， 引出常量与变量概念，另一方面，有意 识渗透“在某一变化过程中” 这个建立函 数概念的前提条件，为分析变量之间的 一种对应关系做准备. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 问题 4：在给汽车加油的过程中， 有哪些变量？ 生：金额和油量. 问题 5：观察一下：这两个变量 是如何变化的？ 生：单价不变，油量变多，金额 也变多了. 问题 6：你能用一段话来描述这 两个变量之间的关系吗？ 总结出两个变量之间的关系：油 量在变化、金额也在变化；油量确定时， 金额有唯一值与它对应. 【设计意图】通过明确的多个问 题引导学生认识和理解加油过程中两个 变量之间的一定关系.问题 4 让学生认识 到我们研究的两个对象是某一变化过程 中两个变量；通过小组讨论问题 5 引导 学生理解两个变量之间的关系；问题 6 引导学生用自己的话来总结描述两个变 量之间的关系，三个问题的环环相扣给 学生研究变量间的对应关系有了一个初 步的感受和体验. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 情境二：苏州某日气温变化图 问题 1：在苏州某日气温变化图 中，有哪两个变量？ 生：时间和气温. 问题 2：请描述在气温变化过程中，时间和 气温这两个变量之间的关系. 生：时间在变化、气温也在变化； 时间确定时，气温有唯一值与它对应. 【设计意图】通过观察气温变化 图，再一次明确变化过程中的两个变量， 并能仿照加油过程两个变量的变化过程 自己准确描述天气变化过程中两个变量 之间的对应关系，同时启发学生感受图 像能清晰地刻画两个变量之间的关系， 为后续函数三种表现形式的学习打下基 础. 情境三：观察水库的水位变化与 水库蓄水量变化图 问题 1：在水库蓄水量变化过程 中，有哪两个变量？ 生：水位和蓄水量. 问题 2：请描述在水库蓄水量变 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 化过程中，水位和蓄水量这两个变量之 间的关系. 生：水位在变化、蓄水量也在变 化；水位确定时，蓄水量有唯一值与它 对应. 问题 3：表格中未出现 125 h/m 的水位，那它有对应的蓄水量吗？ 生：有. 问题 4：对应的蓄水量唯一吗？ 生：唯一. 【设计意图】通过观察水库蓄水 量变化过程，认识蓄水量变化过程中的 两个变量，并描述这一变化过程中两个 变量之间的关系，理解和感受变化过程 中两个变量之间的对应关系，同时引导 学生感受表格清晰地揭示了两个变量之 间的关系，为后续函数三种表现形式的 学习打下基础.显然，学生表述的时候越 来越整齐，也越来越自信. 情境四：搭小鱼的游戏 问题 1：在搭小鱼的游戏过程中， 有哪两个变量？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 生：小鱼的条数和火柴根数. 问题 2：请描述在搭小鱼的游戏 过程中，小鱼的条数和火柴根数这两个 变量之间的关系. 生：小鱼条数在变化、火柴根数 也在变化；小鱼条数确定时，火柴根数 有唯一值与它对应. 【设计意图】通过观察搭小鱼的 游戏过程，认识小鱼的条数和火柴根数 这两个变量，并描述这一变化过程中两 个变量之间的关系，理解和感受变化过 程中两个变量之间的对应关系，同时引 导学生感受函数表达式清晰地刻画了两 个变量之间的关系，为后续函数三种表 现形式的学习打下基础. 2.建立数学模型 问题 1：对于四个生活情境，你 发现有哪些共同点？ 生：在变化过程中都有两个变量， 这两个变量之间有对应的关系. 问题 2：那么同一情境中的两个 变量之间有什么联系？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 生：一个变量在变化、另一个变 量也随之在变化；当一个变量确定时， 另一个变量有唯一值与它对应. 问题 3：谁能说一说函数的概念？ 引入函数概念：如果在一个变化 过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变 量 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它 对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量. 问题 4：我们对函数的概念有了 一定的认识，谁能说一说在我们的生活 中有关函数的例子？ 生：比如，买香蕉 【设计意图】本节课基于四个生 活情境，笔者通过问题导向引导学生不 断充分感受和理解一个变化过程中有两 个变量之间的对应关系，逐步让学生在 理解的基础上归纳出函数的概念.在实际 教学中，学生的回答往往不准确甚至错 误百出，经过不断地纠正，最终能形成 最准确的表述.学生只有经历了函数概念 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 的生成过程，有了一定的学习经验和体 会，这样的学习才会真正发生，才能激 发出学习的潜力.笔者对于本节课采用的 教学方法是实例引入、自主探究方式， 根据学生的理解能力和生理特征，一方 面，运用直观形象的实例引起学生的兴 趣，使他们的注意力能始终集中在课堂 中，另一方面，笔者通过问题串的形式 创造条件和机会，让学生小组交流合作， 最大限度发挥学生的主动性，锻炼学生 基本数学素养. 1.反馈运用 （1）用一根长 2 m 的铁丝围成 一个长方形. 当长方形的宽为 0.1 m 时，长 为多少？ 当长方形的宽为 0.2 m 时，长 为多少？ 当长方形的宽为 a cm 时，长 为多少？ 长方形的长是宽的函数吗？ 为什么？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 （2）下表中的 y 是 x 的函数吗？ 为什么？ x12345 y12345 【设计意图】这两题主要巩固学 生对函数概念的理解.对学生来说判断两 个量之间是否具有函数关系需要把握三 点：一个变化过程、两个变量、一种对 应关系. 4.课堂小结 通过本节课的学习，你的收获是 什么？你的疑惑是什么？ 【设计意图】在独立思考和合作 交流中引导学生梳理本节课在知识和数 学思想方法方面的收获，在总结的同时 让学生体验收获知识的快乐. 5.教学反思 新课程标准中强调了概念教学的 形成过程应由学生感悟自主生成，这就 必然要求教师在教学过程中体现数学概 念生成的合理性，在学习过程中突出学 生的主体地位，引导学生在活动中感悟 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 数学思想，不断积累内化数学活动经验. 笔者选择的四个问题情境都来源于生活， 方便学生抽象出常量和变量的概念，有 的情境以表格形式展现，有的情境以图 像形式展现，有的情境得出表达式，并 且四个情境的整个变化过程中只有两个 变量，通过两个变量的对应关系，学生 逐步归纳本节课的重点函数的概念.整堂 课下来笔者设计的每一个环节都体现了 突出学生主体地位的意识，进而帮助学 生学会用函数的思想认识事物运动变化 的过程.同时，教师在整个教学过程中注 意问题的导向性，及时纠错，及时提炼 与总结，在很大程度上发挥了学生的主 观能动性，有助于培养学生的思考能力 和问题意识.然而，在教学过程中也有一 些设计得不够合理的地方，如： （1）所提到的水位变化过程， 情境的创设不够直观，给学生形象感知 函数的变化关系增加了难度. （2）汽车加油情境中对于两个 变量（油量和金额）之间的对应关系， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 学生一开始无法表述清楚甚至于准确， 笔者应该再增加小组讨论的时间，让每 名学生都有自己的想法并且表达出来， 只有通过不断的磨合纠正，学生才能真 正理解为什么该这样表述“油量在 变化、金额也在变化；油量确定时，金 额有唯一值与它对应” ，尤其是为什么 能想到关键词“ 确定”“唯一”，最后慢慢 过渡到函数概念的关键词“每一个值” “唯一”. （3）在火柴棒搭小鱼的情境中 里面渗透已经学过的用字母表示数的知 识点，但是学生花费的时间偏长.随后学 生揭示出函数的概念，笔者要求学生再 举一些生活中的例子，可以把水波纹的 问题插入这个环节，加深对概念的理解， 使得教学环节更加紧凑丰满. （4）在