2017年四川省高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知 i 为虚数单位，则复数 =（ ） A + i B i C + i D i 2已知集合 A=x| 5x， x R， B=y|y 2，则 A B=（ ） A（ 2， + ） B（ 4， + ） C（ 2， 4 D 2， 4 3从某高中女学生中选取 10 名学生，根据其身高（ 体重（ 据，得到体重关于身高的回归方程 =85，用来 刻画回归效果的相关指数 下列说法正确的是（ ） A这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系 B这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C身高为 170学生体重一定为 这些女学生的身高每增加 体重约增加 1已知等差数列 前 n 项和为 5，则 a3+ ） A 5 B C 10 D 11 5设 a=（ ） ， b=（ ） ， c=则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C b c a D a c b 6执行如图所示的程序框图，则输出 b 的值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7将函数 f（ x） = 图象向右平移 后得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的图象的一条对称轴方程是（ ） A x= B x= C x= D x= 8若圆 C： x2+2x+4y=0 上存在两点 A， B 关于直线 l： y=1 对称，则 ） A 1 B C D 3 9已知直角梯形 ， ， ， ，点 么 钝角的概率为（ ） A B C D 10某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位： m），经了解，建造该类椅子的平均成本为 240 元 /么该椅子的建造成本约为（ ） A B C D 11某工厂拟生产甲、乙两种实销产品已知每件甲产品的利润为 元，每件乙产品的利润为 元，两种产品都需要在 A， B 两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在 A， B 设备上所需工时（单位： h）分别如表所示 甲产品所需工时 乙产品所需工时 A 设备 2 3 B 设备 4 1 若 A 设备每月的工时限额为 400h， B 设备每月的工时限额为 300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（ ） A 40 万元 B 45 万元 C 50 万元 D 55 万元 12若函数 g（ x）满足 g（ g（ x） =n（ n N）有 n+3 个解，则称函数 g（ x）为“复合 n+3 解 ”函数已知函数 f（ x） = （其中 e 是自然对数的底数，e=， k R），且函数 f（ x）为 “复合 5 解 ”函数，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ e， e） C（ 1， 1） D（ 0， + ） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在 ， D 是斜边 中点，若 ， ，则 = 14若等比数列 公比为 2，且 ，则 + + + = 15有下列四个命题： 垂直于同一条直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一平面的两个平面平行； 垂 直于同一平面的两条直线平行 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 16设抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A 在 C 上，若 | ，以线段 直径的圆经过点 B（ 0， m），则 m= 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 A ）A+ ） = （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a= ， ，求 b， c 18某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表： 甲图书馆 借书 等待时间 1 2 3 4 5 钟） 频数 1500 1000 500 500 1500 乙图书馆 借书等待时间 钟） 1 2 3 4 5 频数 1000 500 2000 1250 250 （ 1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间； （ 2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过 3 分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？ 19如图所示，在 ， 点 C 的直线 直于平面 、 E 分别为线段 异于端点的点 （ 1）当 平面 ，判断直线 平面 位置关系，并说明理由； （ 2）当 D、 E 分别为线段 的中点，且 ， ， 时，求三棱锥 A 体积 20已知椭圆 + =1（ a b 0）过点 P（ 2， 1），且离心率为 （ ）求椭圆的方程； （ ）设直线 l 与 x 轴不垂直，与椭圆相交于不同于 P 的两点 A， B，直线 B 分别交 y 轴于 M， N，若 = （其中 O 为坐标原点），直线 l 是否过定点？若不过定点，说明理由，若过定点，求出定点的坐标 21已知函数 f（ x） =2中 a R） （ ）若函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线平行于直线 x+y 2=0，求函数 f（ x）的最大值； （ ）设 g（ x） =f（ x） + 函数 g（ x）有极大值点 证： +1+0 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，双曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），设 ，经过第一象限的渐进线为 l以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系 （ 1）求直线 l 的极坐标方程； （ 2）设过 F 与 l 垂直的直线与 y 轴相交于点 A， P 是 l 上异于原点 O 的点，当 A，O， F， P 四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点 P 的极坐标 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a| 2a，其中 a R （ 1）当 a= 2 时，求不等式 f（ x） 2x+1 的解集； （ 2）若 x R，不等式 f（ x） |x+1|恒成立，求 a 的取值范围 2017 年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（ 共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知 i 为虚数单位，则复数 =（ ） A + i B i C + i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = 故选： B 2已知集合 A=x| 5x， x R， B=y|y 2，则 A B=（ ） A（ 2， + ） B（ 4， + ） C（ 2， 4 D 2， 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 通过二次不等式求出集合 A，然后求解交集 【解答】 解： 集合 A=x| 5x， x R=x|1 x 4， B=y|y 2， A B=x|2 x 4=（ 2， 4 故选 C 3从某高中女学生中选取 10 名学生，根据其身高（ 体重（ 据，得到体重关于身高的回归方程 =85，用来刻画回归效果的相关指数 下列说法正确的是（ ） A这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系 B这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C身高为 170学生体重一定为 这些女学生的身高每增加 体重约增加 1考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归方程 =85，且刻画回归效果的相关指数 判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系， 这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起， 计算 x=170 时 的即可预测结果， 计算身高每增加 体重约增加 【解答】 解：根据回归方程 =85，且刻画回归效果的相关指数 所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系， A 错误； 这些女学生的体重差异有 60%是由身高引 起， B 正确； x=170 时， =170 85= 预测身高为 170学生体重为 C 错误； 这些女学生的身高每增加 体重约增加 D 错误 故选： B 4已知等差数列 前 n 项和为 5，则 a3+ ） A 5 B C 10 D 11 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式得到 （ a3+由此能求出 a3+值 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 5， = =5（ a3+=55， 解得 a3+1 故选： D 5设 a=（ ） ， b=（ ） ， c=则 a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B b a c C b c a D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性求解 【解答】 解： 0 a=（ ） b=（ ） = ， c= ， b a c 故选： B 6执行如图所示的程序框图，则输出 b 的值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果 【解答】 解：第一次循环， a=1 3， b=2， a=2， 第二次循环， a=2 3， b=4， a=3， 第三次循环， a=3 3， b=16， a=4， 第四次循环， a=4 3，输出 b=16， 故选： D 7将函数 f（ x） = 图象向右平移 后得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的图象的一条对称轴方程是（ ） A x= B x= C x= D x= 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 将函数化简，通过向右平移 后得到函数 g（ x）的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解 【解答】 解：函数 f（ x） = x+ ），图象向右平移 后得： 2x + ） =2x ） =g（ x）， 由 x =k ， k Z， 可得： x=k ， 当 k= 1 时，可得一条对称轴方程为 x= 故选 D 8若圆 C： x2+2x+4y=0 上存在两点 A， B 关于直线 l： y=1 对称，则 ） A 1 B C D 3 【考点 】 直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程 【分析】 求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可 【解答】 解：圆 C： x2+2x+4y=0 的圆心（ 1， 2）， 若圆 C： x2+2x+4y=0 上存在两点 A， B 关于直线 l： y=1 对称，可知直线经过圆的圆心， 可得 2=k 1， 解得 k= 1 故选： A 9已知直角梯形 ， ， ， ，点 么 钝角的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【 分析】 本题为几何概型，由题意以 直径半圆内的区域为满足 钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可 【解答】 解：以 直径半圆内的区域为满足 钝角的区域， ，故半圆的面积是 2，梯形 面积是 25， 满足 钝角的概率为 p= 故选： A 10某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位： m），经了解，建造该类椅子的平均成本为 240 元 /么该椅子 的建造成本约为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为圆柱的 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为圆柱的 体积 V= 该椅子的建造成本约为 = 240 故选： C 11某工厂拟生产甲、乙两种实销产品已知每件甲产品的利润为 元，每件乙产品的利润为 元，两种产品都需要在 A， B 两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在 A， B 设备上所需工 时（单位： h）分别如表所示 甲产品所需工时 乙产品所需工时 A 设备 2 3 B 设备 4 1 若 A 设备每月的工时限额为 400h， B 设备每月的工时限额为 300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（ ） A 40 万元 B 45 万元 C 50 万元 D 55 万元 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 先设甲、乙两种产品月产量分别为 x、 y 件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数 Z 与直线截距的关系，进而求出最优解 【解答】 C 解：设甲、乙两种产品月的产量分别为 x， y 件， 约束条件是 目标函数是 z=约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分 由 z=合图象可知， z= A 处取得最大值， 由 可得 A（ 50， 100）， 此时 z=50+100=50 万元， 故选： C 12若函数 g（ x）满足 g（ g（ x） =n（ n N）有 n+3 个解，则称函数 g（ x）为“复合 n+3 解 ”函数已知函数 f（ x） = （其中 e 是自然对数的底数，e=， k R），且函数 f（ x）为 “复合 5 解 ”函数，则 k 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ e， e） C（ 1， 1） D（ 0， + ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 由题意可得 f（ f（ x） =2，有 5 个解，设 t=f（ x）， f（ t） =2，当 x 0时，利用导数求出函数的最值，得到 f（ t） =2 在 1， + ）有 2 个解， ，当 x 0 时，根据函数恒过点（ 0， 3），分类讨论，即可求出当 k 0 时， f（ t）=2 时有 3 个解，问题得以解决 【解答】 解：函数 f（ x）为 “复合 5 解 “， f（ f（ x） =2，有 5 个解， 设 t=f（ x）， f（ t） =2， 当 x 0 时， f（ x） = = ， f（ x） = ， 当 0 x 1 时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减， 当 x 1 时， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增， f（ x） f（ 1） =1， t 1， f（ t） =2 在 1， + ）有 2 个解， 当 x 0 时， f（ x） =，函数 f（ x）恒过点（ 0， 3）， 当 k 0 时， f（ x） f（ 0） =3， t 3 f（ 3） = 2， f（ t） =2 在 3， + ）上无解， 当 k 0 时， f（ x） f（ 0） =3， f（ t） =2，在（ 0， 3上有 2 个解，在（ ， 0上有 1 个解， 综上所述 f（ f（ x） =2 在 k 0 时，有 5 个解， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在 ， D 是斜边 中点，若 ， ，则 = 32 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得 D=5，即0，再由勾股定理可得 由向量数量积的定义，计算即可得到所求值 【解答】 解：在 ， D 是斜边 中点，若 ， ， 可得 D=5，即 0， 由勾股定理可得 =8， 则 =| | | 8 =32 故答案为： 32 14若等比数列 公比为 2，且 ，则 + + + = 1 【考点】 数列的求和 【分析】 等比数列 公比为 2，且 ，可得 22 1） =6，解得 得 n再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：等比数列 公比为 2，且 ， 22 1） =6，解得 n 则 + + + = + + = =1 故答案为： 1 15有下列四个命题： 垂直于同一条直线的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一平面的两个平面平行； 垂直于同一平面的两条直线平行 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定， 【解答】 解：如图在正方体 ABCD中， 对于 ， 平行，故错； 对于 ，两底面垂直于同一条侧棱， 两个底面平面平行，故正确； 对于 ，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错； 对于 ，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确 故答案为： 16设抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A 在 C 上，若 | ，以线段 直径的圆经过点 B（ 0， m），则 m= 1 或 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的焦点弦公式，求得 A 点坐标，分类，分别求得线段 直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得 m 的值 【解答】 解：抛物线 C： x 的焦点为 F（ ， 0），设 A（ x， y）， 由抛物线的焦点弦公式可知： |x+ =x+ = ，则 x=2， 则 y= 2，则 A（ 2， 2）或 A（ 2， 2）， 当 A 点坐标（ 2， 2），以线段 直径的圆圆心 M（ ， 1），半径为 ， 经过点 B（ 0， m），则丨 = ， 即 = ，解得： m=1， 同理 A 点坐标（ 2， 2），以线段 直径的圆圆心 M（ ， 1），半径为 ， 经过点 B（ 0， m），则丨 = ， = ，解得： m= 1， 故 m 为 1 或 1， 故答案为： 1 或 1 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，设内角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，且 A ）A+ ） = （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a= ， ，求 b， c 【考点】 余弦定理 【分析】 （ 1）由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简已知的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角 A 的大小； （ 2）由二倍角余弦公式的变形化简 ，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出 b， c 的值 【解答】 解：（ 1）因为 A ） A+ ） = ， 所以 A ） A ） = ， 则 = ， 化简得 ， 又 0 A ，则 A= ； （ 2）因为 ，所以 2， 即 由正弦定理得， b= c， 又 a= ，由余弦定理得， a2=b2+2 则 5=2c2+2 ，解得 c=1， 则 b= c= 18某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表： 甲图书馆 借书等待时间 钟） 1 2 3 4 5 频数 1500 1000 500 500 1500 乙图书馆 借书等待时间 钟） 1 2 3 4 5 频数 1000 500 2000 1250 250 （ 1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间； （ 2）以表中等待时间的学生人数的频率为概率，若某同学希望借书等待时间不超过 3 分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？ 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 （ 1）分别求出 平均数，判断结论即可； （ 2）设事件 A 为： “在甲图书馆 借书的等待时间不超过 3 分钟 ”，设事件 B 为 “在乙图书馆借书的等待时间不超过 3 分钟 ”，分别求出 P（ A）和 P（ B），比较即可 【解答】 解：（ 1）由题意得： 平均数为： = = 同理，可得 平均数为： = = 故，甲图书馆借书的平均等待时间是 钟， 乙图书馆借书的平均等待时间是 钟； （ 2）设事件 A 为： “在甲图书馆借书的等待时间不超过 3 分钟 ”， 则 P（ A） =P（ 3） =P（ ） +P（ ） +P（ ） = + + = 设事件 B 为 “在乙图书馆借书的 等待时间不超过 3 分钟 ”， 则 P（ B） =P（ 3） =P（ ） +P（ ） +P（ ） = + + = 故 P（ B） P（ A）， 由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过 3 分钟的概率更高一些， 故在乙图书馆借更能满足该同学的要求 19如图所示，在 ， 点 C 的直线 直于平面 、 E 分别为线段 异于端点的点 （ 1）当 平面 ，判断直线 平面 位置关系，并说明理由； （ 2）当 D、 E 分别为线段 的中点，且 ， ， 时，求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）当 平面 ， 导出 而 此能证明直线 平面 （ 2）三棱锥 A 体积为 B 此能求出三棱锥 A 体积 【解答】 解：（ 1）直线 平面 证明如下： 面 当 平面 面 平面 面 面 面 直线 平面 （ 2） 平面 又 平面 ， ， 平面 三棱锥 A 体积为 B ， D， E 分别是 的中点， ， S = ， 三棱锥 A 体积 B = = 20已知椭圆 + =1（ a b 0）过点 P（ 2， 1），且离心率为 （ ）求椭圆的方程； （ ）设直线 l 与 x 轴不垂直，与椭圆相交于不同于 P 的两点 A， B，直线 B 分别交 y 轴于 M， N，若 = （其中 O 为坐标原点），直线 l 是否过定点？若不过定点，说明理由，若过定点，求出定点的坐标 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由已知可得 ，解得 （ ）设直线 方程： y=kx+t， A（ B（ 由 ，可得（ 4） 48） =0 =16（ 8） 0， 写出直线 方程 ，求出 M、 N 坐标，由 = 得（ 2 4k） 2 4k+2t）（ x1+8t=0 把 代入 化简得（ t+2）（ 2k+t 1） =0得 t 【解答】 解：（ ）由已知可得 ，解得 ， 椭圆的方程为： （ ）设直线 方程： y=kx+t， A（ B（ 由 ，可得（ 4） 48） =0 =16（ 8） 0， 直线 方程 ， M（ 0， ） 同理 N（ 0， ） 由 = 得 ， （ 2 4k） 2 4k+2t）（ x1+8t=0 把 代入 化简得（ t+2）（ 2k+t 1） =0 因为直线不过点 P， 2k+t 1 0， t= 2 故直线 l 是否过定点 Q（ 0， 2） 21已知函数 f（ x） =2中 a R） （ ）若函数 f（ x）的图象在 x=1 处的切线平行于直线 x+y 2=0，求函数 f（ x）的最大值； （ ）设 g（ x） =f（ x） + 函数 g（ x）有极大值点 证： +1+0 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ I）令 f（ 1） = 1 解出 a，得出 f（ x）的解析式，在利用导数判断 f（ x）的单调性，得出最值； （ g（ x） =0 有解且 g（ x）的极大值点可得出 a 与 关系和 范围，令 h（ x） =x） +1+断 h（ x）的单调性即可得出结论 【解答】 解：（ I） f（ x） = 2a， f（ x）的图象在 x=1 处的切线平行于直线 x+y 2=0， f（ 1） =1 2a= 1，即 a=1 f（ x） =2x， f（ x） = ， 令 f（ x） =0 得 x= ， 当 0 时， f（ x） 0， 当 x 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 上单调递增，在（ ， + ）上单调递减， f（ x）的最大值为 f（ ） = 1 （ g（ x） =2g（ x） =x+ 2a= ， 令 g（ x） =0 得 2=0， 当 =44 0 即 1 a 1 时， 2 0 恒成立，即 g（ x） 0， g（ x）在（ 0， + ）单调递增， g（ x）无极值点，不符合题意； 当 =44 0 时，方程 g（ x） =0 有两解 g（ x）的极大值点， 0 又 ， x1+a 0， a 1， 0 1 又 g（ = 2a=0， a= +1+， 设 h（ x） =，则 h（ x） = +h（ x） = 3x+ = ， 当 0 x 时， h（ x） 0，当 x 时， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ， + ）上单调递减， h（ x） h（ ） = 0， h（ x）在（ 0， 1）上单调递减， h（ h（ 1） =0，即 0， +1+0 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，双曲线 E 的参数方程为 （ 为参数），设 ，经过第一象限的渐进线为 l以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 l 的极坐标方程； （ 2）设过 F 与 l 垂直的直线与 y 轴相交于点