2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|3x 0， B=x|4，则 A B=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 3） C（ 0， 2） D（ 2， 3） 2复数 z 满足：（ 3 4i） z=1+2i，则 z=（ ） A B C D 3设命题 p： x 0， x 0，则 p 为（ ） A x 0， x 0 B x 0， x 0 C 0， 0 D 0， 0 4已知 2+ + ）的值为（ ） A 3 B 3 C 3 或 3 D 1 或 3 5函数 f（ x+1）是偶函数，则函数 y=f（ x）的图象关于（ ） A直线 x=1 对称 B直线 x= 1 对称 C点（ 1， 0）对称 D点（ 1， 0）对称 6函数 f（ x） =32x ）的图象可以由 y=3图象（ ） A向右平移 个单位长度得到 B向左平移 个单位长度得到 C向右平移 个单位长 度得到 D向左平移 个单位长度得到 7已知长方体 ， C， E 为 点，则异面直线 形成角的余弦值为（ ） A B C D 8设数列 前 n 项和为 ， 成等差数列，且 2，则 ） A 16 B 32 C 64 D 128 9九章算术第三章 “衰分 ”介绍比例分配问题： “衰分 ”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为 “衰分比 ”如：甲、乙、丙、丁衰分得 100，60， 36， 单位，递减的比例为 40%，今共有粮 m（ m 0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行 “衰分 ”，已知丙衰分得 80 石，乙、丁衰分所得的和为 164 石，则 “衰分比 ”与 m 的值分别为（ ） A 20% 369 B 80% 369 C 40% 360 D 60% 365 10定义 x表示不超过 x 的最大整数，例如 2， 2，执行如下图所示的程序框图，则输出 m 的值为 （ ） A B C D 11如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为 （ ） A 36 B C 8 D 12已知 三个顶点均在抛物线 x2=y 上，边 中线 y 轴， |2，则 面积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 8 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知双曲线 =1（ a 0）的离心率为 2，则 a= 14已知实数 x， y 满足 ，若 x y 的最大值为 6，则实数 m= 15 ， C=90，且 ，点 M 满足 =2 ，则 = 16设函数 f（ x） = （ x 0） ，观察： x） =f（ x） = ， x） =f（ x） = ； x） =f（ x） = x） =f（ x） = 根据以上事实，当 n N*时，由归纳推理可得： 1） = 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，交 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 c= ）求 A； （ ）若 a=2 ，求 面积的最值 18如图，三角形 梯形 在的平面互相垂直， F 2G 是线段 一点， F= ）若 平面 的值； （ ）是否在线段 存在点 G 满足 平面 说明理由 19自贡某工厂于 2016 年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从 2016 年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本，用茎叶图表示（如图）已知每个生产周期内与其中位数误差在 5 范围内（含 5）的产品为优质品，与中位数误差在 15 范围内（含 15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过 15 的产品为次品企业生产一件优质品可获利润 20 元，生产 一件合格品可获利润 10 元，生产一件次品要亏损 10 元 （ ）求该企业 2016 年一年生产一件产品的利润为 10 的概率； （ ）是否有 95%的把握认为 “优质品与生产工艺改造有关 ” 附： P（ k） k 2= 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率是 ，过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A、 B 两点， |2 （ ）求椭圆方程； （ ）过点 P（ 0， ）的动直线 l 与椭圆 E 交于的两点 M， N（不是的椭圆顶 点）求证： 7 是定值，并求出这个定值 21已知曲线 f（ x） =x+b 在 x=1 处的切线方程为 y=（ e 1） x 1 （ ）求 f（ x）的极值； （ ）证明： x 0 时， （ e 为自然对数的底数） 选修 4标系与参数方程 22已知在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 ，直线 l 的方程为 ） =2 （ ）求曲线 C 在极坐标系中的方程； （ ）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x |+|x+2a|（ a R，且 a 0） （ ）当 a= 1 时，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ ）证明： f（ x） 2 2017 年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|3x 0， B=x|4，则 A B=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 3） C（ 0， 2） D（ 2， 3） 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别求出关于 A、 B 的不等式，求出 A、 B 的交集即可 【解答】 解： A=x|3x 0=x|0 x 3， B=x|4=x|x 2 或 x 2， 则 A B=x|2 x 3， 故选： D 2复数 z 满足：（ 3 4i） z=1+2i，则 z=（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： （ 3 4i） z=1+2i， （ 3+4i）（ 3 4i） z=（ 3+4i）（ 1+2i）， 25z= 5+10i， 则 z= + i 故选： A 3设命题 p： x 0， x 0，则 p 为（ ） A x 0， x 0 B x 0， x 0 C 0， 0 D 0， 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 “ x 0， x 0”的否定是 x 0， x 0 故选： D 4已知 2+ + ）的值为（ ） A 3 B 3 C 3 或 3 D 1 或 3 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 由倍角公式求得 数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可 【解答】 解： 2+ 4+21， 即 2 当 时， ，此时 ， 当 0 时， ，此时 ， 综上所述， + ）的值为 1 或 3 故选： D 5函数 f（ x+1） 是偶函数，则函数 y=f（ x）的图象关于（ ） A直线 x=1 对称 B直线 x= 1 对称 C点（ 1， 0）对称 D点（ 1， 0）对称 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由偶函数的性质可知 y=f（ x+1）的图象关于 y 轴对称，根据平移变换可得 y=f（ x+1）与 y=f（ x）的图象关系，从而可得答案 【解答】 解：因为 y=f（ x+1）是偶函数， 所以 y=f（ x+1）的图象关于 y 轴对称， 而把 y=f（ x+1）右移 1 个单位可得 y=f（ x）的图象， 故 y=f（ x）的图象关于 x=1 对称， 故选 A 6函数 f（ x） =32x ）的图象可以由 y=3图象（ ） A向右平移 个单位长度得到 B向左平移 个单位长度得到 C向右平移 个单位长度得到 D向左平移 个单位长度得到 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：把 y=3图象向右平移 个单位长度，可得 f（ x） 3x ） =32x ）的图象， 故选： C 7已知长方体 ， C， E 为 点，则异面直线 形成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 形成角的余弦值 【解答】 解：以 D 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ， 则 B（ 1， 1， 0）， E（ 1， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， 0， 0， 2）， =（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 2）， 设异面直线 形成角为 ， 则 = = 异面直线 形成角的余弦值为 故选： C 8设数列 前 n 项和为 ， 成等差数列，且 2，则 ） A 16 B 32 C 64 D 128 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由题意得 +=2 = 2，从而得到 第二项起是公比为 2 的等比数列，由此能求出结果 【解答】 解： 数列 前 n 项和为 ， 成等差数列，且 2， 由题意得 +=2 +=0，即 = 2， 第二项起是公比为 2 的等比数列， 故选： C 9九章算术第三章 “衰分 ”介绍比例分配问题： “衰分 ”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为 “衰分比 ”如：甲、乙、丙、丁衰分得 100，60， 36， 单位，递减的比例为 40%，今共有粮 m（ m 0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行 “衰分 ”，已知丙衰分得 80 石，乙、丁衰分所得的和为 164 石，则 “衰分比 ”与 m 的值分别为（ ） A 20% 369 B 80% 369 C 40% 360 D 60% 365 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设 “衰分比 ”为 a，甲衰分得 b 石，由题意列出方程组，由此能求出结果 【解答】 解：设 “衰分比 ”为 a，甲衰分得 b 石， 由题意得 ， 解得 b=125， a=20%， m=369 故选： A 10定义 x表示不超过 x 的最大整数，例如 2， 2，执行如下图所示的程序框图，则输出 m 的值为 （ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件 n 7？调整运算的继续与结束，即可计算得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 m=3， n=1 3=3 为奇数， m= ， n=3 满足条件 n 7，执行循环体， =6 不为奇数， m= ， n=5 满足条件 n 7，执行循环体， =6 不为奇数， m= ， n=7 不满足条件 n 7，退出循环，输出 m 的值为 故选： B 11如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ） A 36 B C 8 D 【考 点】 由三视图求面积、体积 【分析】 如图所示，该几何体为四棱锥 P 面 底面 面正方形，其对角线 ，取 中点 E， 侧面 E=2， 则点 O 为其外接球的球心，半径 R=2 即可得出 【解答】 解：如图所示，该几何体为四棱锥 P 面 底面 面 正方形，其对角线 ，取 中点 E， 侧面 ， 则点 O 为其外接球的球心，半径 R=2 这个几何体外接 球的体积 V= = 故选： B 12已知 三个顶点均在抛物线 x2=y 上，边 中线 y 轴， |2，则 面积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 作 延长线于 H，求出 | |即可求得 【解答】 解：根据题意设 A（ a， B（ b， C（ c， 不妨设 a c， M 为边 中点， M（ ， ）， 又 y 轴，则 b= ， 故 | =2， （ a c） 2=8，即 a c=2 ， 作 延长线于 H 故 面积为 2S =2|a b|=a c=2 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知双曲线 =1（ a 0）的离心率为 2，则 a= 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 b，由 c= 和 e= ，解关于 a 的方程，即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1 的 b= ， c= = ， 可得 e= = =2， 解得 a=1 故答案为： 1 14已知实数 x， y 满足 ，若 x y 的 最大值为 6，则实数 m= 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 x y=6，结合图形可知，要使直线 x y=6 经过该平面区域内的点时，其在 线 x+y m=0 必经过直线 x y=6 与直线 y=1 的交点（ 7，1），于是有 7+1 m=0，即 m=8 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 图形可知，要使直线 x y=6 经过该平面区域内的点时，其在 x 轴上的截距达到最大， 直线 x+y m=0 必经过直线 x y=6 与直线 y=1 的交点 A（ 7， 1），于是有 7+1m=0，即 m=8 故答案为： 8 15 ， C=90，且 ，点 M 满足 =2 ，则 = 6 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先画出图形，结合条件及图形即可得出 ，然后进行数量积的运算即可求出 的值 【解答】 解：如图， = = = ； = =6 故答案为： 6 16设函数 f（ x） = （ x 0），观察： x） =f（ x） = ， x） =f（ x） = ； x） =f（ x） = x） =f（ x） = 根据以上事实，当 n N*时，由归纳推理可得： 1） = （ n N*） 【考点】 数列递推式 【分析】 根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案 【解答】 解：由已知中设函数 f（ x） = （ x 0），观察： x） =f（ x） = ， x） =f（ x） = ； x） =f（ x） = x） =f（ x） = 归纳可得： x） = ，（ n N*） 1） = = （ n N*）， 故答案为： （ n N*） 三、解 答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，交 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c，且 c= ）求 A； （ ）若 a=2 ，求 面积的最值 【考点】 正弦定理 【分析】 （ ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出 A； （ ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出 范围，代入三角形的面积公式求出 面积的最大值 【解答】 解：（ ）由题意知， c= 由正弦定理得， A+B） = C） = A+B） = 化简得， 0， ， 由 0 A 得 A= ； （ ） a=2 ， A= ， 由余弦定理得， a2=b2+2 ， 即 ，解得 ，当且仅当 b=c 时取等号， 面积 S= ， 面积的最大值是 18如图，三角形 梯形 在的平面互相 垂直， F 2G 是线段 一点， F= ）若 平面 的值； （ ）是否在线段 存在点 G 满足 平面 说明理由 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由线面平行的性质定理可得过 平面与平面 于 B 上，连接 得 据线面平行的判定定理和性质定理，证明 得四边形 平行四边形，进而得到 G 为 中点； （ ）根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判 定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，求出 F， B， C， E 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算 ，即可得到结论 【解答】 解：（ ） 平面 过 平面与平面 于 D 在 ， 连接 由线面平行的性质定理可得 又因为 面 平面 平面 平面 可得 则四边形 平行四边形， 即有 即 G 为 中点， 则 = ； （ ）因为平面 平 面 面 平面 C， 且 以 平面 所以 因为 以 平面 如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A 设 F=， 则 F（ 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， E（ 2， 2， 1）， 因为 =（ 2， 0， 2） （ 2， 2， 1） = 2 2+2=0 2+2 1= 2 0， 所以 垂直， 所以不存在点 G 满足 平面 19自贡某工厂于 2016 年下半年对生产工艺进行 了改造（每半年为一个生产周期），从 2016 年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本，用茎叶图表示（如图）已知每个生产周期内与其中位数误差在 5 范围内（含 5）的产品为优质品，与中位数误差在 15 范围内（含 15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过 15 的产品为次品企业生产一件优质品可获利润 20 元，生产一件合格品可获利润 10 元，生产一件次品要亏损 10 元 （ ）求该企业 2016 年一年生产一件产品的利润为 10 的概率； （ ）是否有 95%的把握认为 “优质品与生产工艺改造有关 ” 附： P（ k） k 2= 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ ）确定上、下半年的数据，可得 “中位数 ”，优质品，合格品，次品的个数，可得该企业 2016 年一年生产一件产品的利润为 10 的概率； （ ）求出 临界值比较，即可得出是否有 95%的把握认为 “优质品与生产工艺改造有关 ” 【解答】 解：（ ）上半年的中位数是 35，优质品有 6 个，合格品有 10 个，次品有 9 个；下半年的 “中位数 ”为 33，优质品有 10 个，合格品有 10 个， 次品有 5个， 该企业 2016 年一年生产一件产品的利润为 10 的概率为 = （ ）由题意得： 上半年 下半年 合计 优质品 6 10 16 非优质品 19 15 34 25 25 50 =于 以没有 95%的把握认为 “优质品与生产工艺改造有关 ” 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率是 ，过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A、 B 两点， |2 （ ）求椭圆方程； （ ）过点 P（ 0， ）的动直线 l 与椭圆 E 交于的两点 M， N（不是的椭圆顶点）求证： 7 是定值，并求出这个定值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A、 B 两点，得 | =2 由离心率是 ，得 由 得 a， b， c； （ ）设 M（ N（ 直线 l 的方程为： y=；联立整理得（ 1+2 =0， ， ，即可进行向量运算 【解答】 解：（ ） 过 E 的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于 A、 | =2 离心率是 ， 由 得 a=2， b= ， c= 椭圆方程： （ ）设 M（ N（ 直线 l 的方程为： y=， 联立 整理得（ 1+2 =0， ， ， ， ， 7 = 66 （ y1+ 21 =（ 6 6k（ x1+ 3= ： 7 是定值 15， 21已知曲线 f（ x） =x+b 在 x=1 处的切线方程为 y=（ e 1） x 1 （ ）求 f（ x）的极值； （ ）证明： x 0 时， （ e 为自然对数的底数） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出 a， b 的值，从而求出函数的极值即可； （ ）问题等价于 x x ，分别令 g（ x） =h（ x） =x ，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =1， f（ 1） =1+b， f（ 1） =1， 故切线方程是： y b=（ 1）（ x 1）， 即 y=（ 1） +b=（ e 1） x 1， 故 a=1， b= 1， 故 f（ x） =x 1， f（ x） =1， 令 f（ x） 0，解得： x 0，令 f（ x） 0，解得： x 0， 故 f（ x）在（ ， 0）递减，在（ 0， + ）递增， 故 f（ x） 极小值 =f（ 0） =0； （ ）证明：由（ ） f（ x 1） +x=1， 故问题等价于 x x 设函数 g（ x） =x， 则 g（ x） =1+ln x， 所以当 x （ 0， ）时， g（ x） 0； 当 x （ ， + ）时， g（ x） 0 故 g（ x）在（ 0， ）上单 调递减，在（ ， + ）上单调递增， 从而 g（ x）在（ 0， + ）上的最小值为 g（ ） = ， 设函数 h（ x） =x ，则 h（ x） =e x（ 1 x） 所以当 x （ 0， 1）时，