2015-2016学年辽宁省大连市高新区八年级上期末数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学 试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，4cm B 4cm，6cm，8cm C5cm，6cm，12cm D2cm，3cm，5cm 2下列计算正确的是（ ） Aa 3a3=2a3 B （a 2） 3=a5 Ca 3a=a3 D （ a2b） 2=a4b2 3点（3，2）关于 x 轴的对称点是（ ） A （3， 2） B （3，2） C （ 3，2） D （3， 2） 4如图，ABC DEF，则下列判断错误的是（ ） AAB=DE B BE=CF CACDF DACB=DEF 5若多项式 x2+ax+b 分解因式的结果为 a（x2） （x+3） ，则 a，b 的值分别是（ ） Aa=1，b= 6 B a=5，b=6 Ca=1，b=6 Da=5，b= 6 6当分式 的值为零时，x 的值为（ ） A0 B 2 C 2 D2 7如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，1） ，点 P 在坐标轴上，若以 P、O、A 为顶点的 三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（ ）个 A5 B 6 C8 D9 8如图，AOBADC，点 B 和点 C 是对应顶点，O= D=90，记 OAD=，ABO= ，当 BCOA 时， 与 之间的数量关系为（ ） A= B =2 C+=90 D+2=180 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9计算： = 10分解因式：ax 29a= 11y 28y+m 是完全平方式，则 m= 12等腰三角形一边等于 4，另一边等于 6，则这个等腰三角形的周长为 13若正 n 边形的每个内角都等于 150，则 n= ，其内角和为 14一件工作，甲独做 a 小时完成，乙独做 b 小时完成，若甲，乙两人合作完成，需要 小时 15已知 a+ =5，则 a2+ 的值是 16如图，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC ，A=40，折叠该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则CBE= 三、解答题（共 10 小题，满分 102 分） 17 （1）计算：（ ） 1 +（2016） 0 （2）分解因式：3x 26x+3 18 （1）解方程： （2）先化简，再求值：1 ，其中 a=3，b= 1 19如图，已知 ACBC，BD AD，AC 与 BD 交于点 O，AC=BD ，求证：BC=AD 20如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为 （2，4） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1； （2）写出点 A1 的坐标； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PB+PC 的和最小 （标出点 P 即可，不用求点 P 的坐标） 21甲乙两人分别从距目的地 6 千米和 10 千米的两地同时出发，甲乙的速度比是 3：4， 结果甲比乙提前 20 分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度 22已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，A=45，点 D 在 AC 上，DE AB 于 E，且 DE=DC，连结 EC请写出图中所有等腰三角形（ ABC 除外） ，并说明理由 23已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，连接 AC，BD 交于点 O，设AOD， AOB，BOC， COD 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4 （1）求证：S 2=S4； （2）设 AD=m，BC=n， ， = ，根据上述条件，判断 S1+S3 与 S2+S4 的大小关 系，并说明理由 24某商场有甲、乙两箱不同价格的糖果，甲糖果为 mkg，单价为 a 元/kg；乙糖果为 nkg，单价为 b 元/kg商场决定对两种糖果混合出售，混合单价为 元/kg （混合单 价= ） （1）若 a=30，m=30 ，b=25，n=20，则混合后的糖果单价为 元/kg； （2）若 a=30，商场现在有单价为 24 元/kg 的这种混合糖果 100kg，商场想通过增加甲种糖 果，把混合后的单价提高 15%，问应加入甲种糖果多少千克？ （3）若 m=40， n=60，从甲、乙两箱取出相同质量的糖果，将甲箱取出的糖果与乙箱剩余 的糖果混合：将乙箱取出的糖果与甲箱剩余的混合，两种混合糖果的混合单价相同，求甲、 乙两箱取出多少糖果 25在 RtABC 中， ACB=90， A=30，BD 是ABC 的角平分线，DE AB 于 E （1）如图 1，连接 CE，求证： BCE 是等边三角形； （2）如图 2，点 M 为 CE 上一点，连结 BM，作等边 BMN，连接 EN，求证：ENBC； （3）如图 3，点 P 为线段 AD 上一点，连结 BP，作BPQ=60，PQ 交 DE 延长线于 Q， 探究线段 PD，DQ 与 AD 之间的数量关系，并证明 26在等腰 RtABC 中， BAC=90，AB=AC，在 ABC 外作ACM= ABC，点 D 为直 线 BC 上的动点，过点 D 作直线 CM 的垂线，垂足为 E，交直线 AC 于 F （1）当点 D 在线段 BC 上时，如图 1 所示，EDC= ； 探究线段 DF 与 EC 的数量关系，并证明； （2）当点 D 运动到 CB 延长线上时，请你画出图形，并证明此时 DF 与 EC 的数量关系 2015-2016 学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，4cm B 4cm，6cm，8cm C5cm，6cm，12cm D2cm，3cm，5cm 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”， 进行分析即可 【解答】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+24，不能组成三角形； B、4+6 8，能够组成三角形； C、5+6 12，不能组成三角形； D、2+3=5 ，不能组成三角形 故选 B 【点评】此题考查了三角形的三边关系判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个 数的和是否大于第三个数 2下列计算正确的是（ ） Aa 3a3=2a3 B （a 2） 3=a5 Ca 3a=a3 D （ a2b） 2=a4b2 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方，即可解答 【解答】解：A、a 3a3=a6，故错误； B、 （a 2） 3=a6，故错误； C、a 3a=a2，故错误； D、 （a 2b） 2=a4b2，正确； 故选：D 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是熟 记同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方 3点（3，2）关于 x 轴的对称点是（ ） A （3， 2） B （3，2） C （ 3，2） D （3， 2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 x 轴的对称点的坐标是 （x，y ） 【解答】解：根据轴对称的性质，得点（3，2）关于 x 轴的对称点是（3，2） 故选 B 【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的 关系是需要识记的内容记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法 是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数 4如图，ABC DEF，则下列判断错误的是（ ） AAB=DE B BE=CF CACDF DACB=DEF 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质对各个选项进行判断即可 【解答】解：ABCDEF， AB=DE，A 正确； BE=CF，B 正确； ACDF，C 正确， ACB=DFE，D 判断错误， 故选：D 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的 对应角相等是解题的关键 5若多项式 x2+ax+b 分解因式的结果为 a（x2） （x+3） ，则 a，b 的值分别是（ ） Aa=1，b= 6 B a=5，b=6 Ca=1，b=6 Da=5，b= 6 【考点】因式分解的意义 【分析】根据 x2+ax+b 分解因式的结果为 a（x2） （x+3） ，可得公因式是 a，常数项的积是 b 【解答】解：x 2+ax+b=a（x 2） （x+3） ， a=1， b=23=6， 故选：A 【点评】本题考查了因式分解的意义，注意 b 是两个常数项的积 6当分式 的值为零时，x 的值为（ ） A0 B 2 C 2 D2 【考点】分式的值为零的条件 【专题】计算题 【分析】要使分式的值为 0，必须使分式分子的值为 0，并且分母的值不为 0 【解答】解：|x|2=0 ， x=2， 而 x=2 时，分母 x2=22=40； x=2 时分母 x2=0，分式没有意义 故选 C 【点评】要注意分母的值一定不能为 0，分母的值是 0 时分式没有意义 7如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，1） ，点 P 在坐标轴上，若以 P、O、A 为顶点的 三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有（ ）个 A5 B 6 C8 D9 【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质 【分析】分别以点 O、A 为圆心，以 OA 的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的 点 P 的位置 【解答】解：如图，以点 O、 A 为圆心，以 OA 的长度为半径画弧，OA 的垂直平分线与 坐标轴的交点有 2 个 综上所述，满足条件的点 P 有 8 个 故选 C 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简 便 8如图，AOBADC，点 B 和点 C 是对应顶点，O= D=90，记 OAD=，ABO= ，当 BCOA 时， 与 之间的数量关系为（ ） A= B =2 C+=90 D+2=180 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形对应边相等可得 AB=AC，全等三角形对应角相等可得 BAO=CAD，然后求出 BAC=，再根据等腰三角形两底角相等求出 ABC，然后根据 两直线平行，同旁内角互补表示出OBC ，整理即可 【解答】解：AOB ADC， AB=AC，BAO=CAD， BAC=OAD=， 在ABC 中，ABC= （180 ） ， BCOA， OBC=180O=18090=90， + （180 ）=90 ， 整理得，=2 故选 B 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质， 熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9计算： = 1 【考点】分式的加减法 【分析】根据同分母的分式进行加减计算即可 【解答】解：原式= =1 故答案为1 【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易，注意分式的加减运算中，如果是同 分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分， 把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减 10分解因式：ax 29a= a（x+3） （x3） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：ax 29a =a（x 29） ， =a（x+3） （x 3） 故答案为：a（x+3） （x3） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取 公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 11y 28y+m 是完全平方式，则 m= 16 【考点】完全平方式 【分析】利用完全平方公式的结构特征求出 m 的值即可 【解答】解：y 28y+m 是完全平方式， m=16 故答案为：16 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 12等腰三角形一边等于 4，另一边等于 6，则这个等腰三角形的周长为 14 或 16 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 6，而没有明确腰、底分别是多少，所以 要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：（1）当三角形的三边是 4，4，6 时，则周长是 14； （2）当三角形的三边是 4，6，6 时，则三角形的周长是 16； 故它的周长是 14 或 16 故答案为：14 或 16 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题 目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键 13若正 n 边形的每个内角都等于 150，则 n= 12 ，其内角和为 1800 【考点】多边形内角与外角 【分析】先根据多边形的内角和定理求出 n，再根据多边形的内角和求出多边形的内角和 即可 【解答】解：正 n 边形的每个内角都等于 150， =150， 解得，n=12， 其内角和为（122）180=1800 故答案为：12；1800 【点评】本题考查的是多边形内角与外角的知识，掌握多边形内角和定理：n 边形的内角 和为：（n2） 180是解题的关键 14一件工作，甲独做 a 小时完成，乙独做 b 小时完成，若甲，乙两人合作完成，需要 小时 【考点】列代数式（分式） 【专题】工程问题 【分析】把工作总量看作单位 1，根据：工作时间=工作总量工作效率，甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，从而求得二人合作完成需要的时间 【解答】解：设作总量看作单位 1，根据：工作时间=工作总量工作效率，甲的工作效率 是 ，乙的工作效率是 ， 则两人合作需要的时间为 = 【点评】工程问题要有“工作效率”， “工作时间”， “工作总量”三个要素，数量关系为：工作 效率工作时间= 工作总量注意公式的灵活变形 15已知 a+ =5，则 a2+ 的值是 23 【考点】完全平方公式 【分析】根据完全平分公式，即可解答 【解答】解：a 2+ = 故答案为：23 【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式 16如图，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC ，A=40，折叠该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则CBE= 30 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】首先运用等腰三角形的性质求出ABC 的大小；借助翻折变换的性质求出 ABE 的大小问题即可解决 【解答】解：AB=AC，且A=40， ABC=C= ； 由题意得： AE=BE， A=ABE=40， CBE=7040=30， 故答案为：30 【点评】该命题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的 性质找出图中相等的边或角，利用等腰三角形的性质等几何知识来分析、判断、解答 三、解答题（共 10 小题，满分 102 分） 17 （1）计算：（ ） 1 +（2016） 0 （2）分解因式：3x 26x+3 【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】 （1）首先把 化成 4，然后根据负整数指数幂、零指数幂的运算方法，分别求 出 、 （2016） 0 的值各是多少；最后根据实数的运算顺序，从左向右依次计算， 求出算式的值是多少即可 （2）首先提取公因式 3，然后把余下的多项式应用完全平方公式分解即可 【解答】解：（1） （ ） 1 +（2016） 0 =34+1 =1+1 =0 （2）3x 26x+3 =3（x 22x+1） =3（x1 ） 2 【点评】 （1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进 行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有 理数的运算律在实数范围内仍然适用 （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a0=1（a0） ；0 01 （3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a p= （a0，p 为正整数） ；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算； 当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数 （4）此题还考查了提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，要熟练掌握 18 （1）解方程： （2）先化简，再求值：1 ，其中 a=3，b= 1 【考点】分式的化简求值；解分式方程 【分析】 （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再求解即可，注意检验； （2）先通分，再化简，最后把 a=3，b=1 代入求值即可 【解答】解：（1）方程两边同乘以 3（x+1） 3x=2x+3x+3 2x=3 x= 检验：当 x= 时，3（x+1 ） 0， 原方程的解为 x= ； （2）原式=1 =1 = = ， 当 a=3，b= 1 时， 原式= = = 【点评】本题考查了分式的化简求值以及解分式方程，注意解分式方程一定要验根 19如图，已知 ACBC，BD AD，AC 与 BD 交于点 O，AC=BD ，求证：BC=AD 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】利用 HL 进行ABC 和BAD 全等的判定即可得出结论 【解答】证明：AC BC，BD AD， ABC、BAD 都是直角三角形， 在 RtABC 和 RtBAD 中， ， ABCBAD（HL） ， BC=AD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练全等三角形的判定 定理 20如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为 （2，4） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1； （2）写出点 A1 的坐标； （3）在 x 轴上找一点 P，使 PB+PC 的和最小 （标出点 P 即可，不用求点 P 的坐标） 【考点】作图-轴对称变换；轴对称 -最短路线问题 【分析】 （1）作出各点关于 y 轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据点 A1 在坐标系中的位置即可得出结论； （3）作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 BC 交 x 轴于点 P，则点 P 即为所求 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图可知，A 1（2，4） ； （3）如图所示，点 P 即为所求 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于 y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的 关键 21甲乙两人分别从距目的地 6 千米和 10 千米的两地同时出发，甲乙的速度比是 3：4， 结果甲比乙提前 20 分钟到达目的地，求甲、乙两人的速度 【考点】分式方程的应用 【专题】应用题 【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是： 甲比乙提前 20 分钟到达目的地等量关系为：甲走 6 千米用的时间+ =乙走 10 千米用的 时间 【解答】解：设甲的速度为 3x 千米/时，则乙的速度为 4x 千米/ 时 根据题意，得 ， 解得 x=1.5 经检验，x=1.5 是原方程的根 所以甲的速度为 3x=4.5 千米/时，乙的速度为 4x=6 千米/时 答：甲的速度为 4.5 千米/时，乙的速度为 6 千米/ 时 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键当题中出现比值问题时，应设比中的每一份为 x 22已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，A=45，点 D 在 AC 上，DE AB 于 E，且 DE=DC，连结 EC请写出图中所有等腰三角形（ ABC 除外） ，并说明理由 【考点】等腰三角形的判定与性质 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ADE=45，推出A=ADE ，得到 AED 为等腰 直角三角形，由 DE=DC，得到DEC 为等腰三角形，根据BEC=180 9022.567.5，证 得B=67.5，得到 B=BEC，得到 BEC 为等腰三角形 【解答】解：等腰三角形AED， DEC，BEC， 证明：A=45 ，DE AB 于 E， AED=90， ADE=45， A=ADE， AE=DE， AED 为等腰直角三角形， DE=DC， DEC 为等腰三角形， BEC=1809022.5=67.5， 又A=45，AE=AC， B=67.5， B=BEC， BC=EC， BEC 为等腰三角形 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和，垂直的定义熟练 掌握等腰三角形的判定是解题的关键 23已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，连接 AC，BD 交于点 O，设AOD， AOB，BOC， COD 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4 （1）求证：S 2=S4； （2）设 AD=m，BC=n， ， = ，根据上述条件，判断 S1+S3 与 S2+S4 的大小关 系，并说明理由 【考点】面积及等积变换 【分析】 （1）过 A、D 分别作 AEBC 于 E，DF BC 于 F，根据同底等高的两个三角形面 积相等得到 SABC=SDBC，证明结论； （2）根据题意用 S1 分别表示 S2、S 3，利用求差法和非负数的性质进行判断即可 【解答】证明：（1）过 A、 D 分别作 AEBC 于 E，DF BC 于 F， ADBC， AE=DF， SABC=SDBC， SABCSOBC=SDBCSOBC，即 SABO=SDCO， S2=S4； （2） ， S2= S1， = ， S3= S1， S3+S1= S1， S2=S4， S2+S4= S1， （ S1+S3）（S 2+S4）= S1 S1= S1， 当 m=n 时， =0， S1+S3=S2+S4， 当 mn 时， 0， （S 1+S3） （S 2+S4）0， （S 1+S3）（S 2+S4） 【点评】本题考查的是面积及等积变换，掌握等底等高的两个三角形面积相等、相似三角 形的面积比等于相似比的平方以及等量代换是解题的关键 24某商场有甲、乙两箱不同价格的糖果，甲糖果为 mkg，单价为 a 元/kg；乙糖果为 nkg，单价为 b 元/kg商场决定对两种糖果混合出售，混合单价为 元/kg （混合单 价= ） （1）若 a=30，m=30 ，b=25，n=20，则混合后的糖果单价为 28 元/kg； （2）若 a=30，商场现在有单价为 24 元/kg 的这种混合糖果 100kg，商场想通过增加甲种糖 果，把混合后的单价提高 15%，问应加入甲种糖果多少千克？ （3）若 m=40， n=60，从甲、乙两箱取出相同质量的糖果，将甲箱取出的糖果与乙箱剩余 的糖果混合：将乙箱取出的糖果与甲箱剩余的混合，两种混合糖果的混合单价相同，求甲、 乙两箱取出多少糖果 【考点】分式方程的应用 【分析】 （1）将 a=30，m=30，b=25，n=20 代入 ，计算即可； （2）设应加入甲种糖果 x 千克，根据混合后的单价提高 15%列出方程，求解即可； （3）设甲、乙两箱各取出 y 千克糖果，根据两种混合糖果的混合单价相同列出方程 = ，整理得出 5y（ba） =120（b a） ，进而求出 y 的值 【解答】解（1）若 a=30，m=30，b=25，n=20， 则混合后的糖果单价为 = =28 故答案为 28； （2）设应加入甲种糖果 x 千克，则 =24（1+15%） ， 解得：x=150， 经检验，x=150 是原方程的解，且符合题意 答：应加入甲种糖果 150 千克； （3）设甲、乙两箱各取出 y 千克糖果，由题意得 = ， 整理得 5y（ba）=120 （b a） ， 两种单价不同的糖果， ab， ba0， 5y=120， 解得 y=24， 答：甲、乙两箱糖果各取出 24 千克的糖果 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 25在 RtABC 中， ACB=90， A=30，BD 是ABC 的角平分线，DE AB 于 E （1）如图 1，连接 CE，求证： BCE 是等边三角形； （2）如图 2，点 M 为 CE 上一点，连结 BM，作等边 BMN，连接 EN，求证：ENBC； （3）如图 3，点 P 为线段 AD 上一点，连结 BP，作BPQ=60，PQ 交 DE 延长线于 Q， 探究线段 PD，DQ 与 AD 之间的数量关系，并证明 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）由直角三角形的性质得出ABC=60，由角平分线的定义得出A= DBA，证 出 AD=BD，由线段垂直平分线的性质得出 AE=BE，由直角三角形斜边上的中线性质得出 CE= AB=BE，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得出 BC=BE，BM=BN， EBC=MBN=60，证出 CBM=EBN，由 SAS 证明CBM EBN，得出 BEN=BCM=60，得出 BEN=EBC，即可得出结论； （3）延长 BD 至 F，使 DF=PD，连接 PF，证出 PDF 为等边三角形，得出 PF=PD=DF，F= PDQ=60，得到F=PDQ=60，证出Q= PBF，由 AAS 证明PFB PDQ，得出 DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出 AD=BD，即可得出结论 【解答】 （1）证明：ACB=90，A=30， ABC=60， BD 是ABC 的角平分线， DBA= ABC=30， A=DBA， AD=BD， DEAB， AE=BE， CE= AB=BE， BCE 是等边三角形； （2）证明：BCE 与MNB 都是等边三角形， BC=BE，BM=BN ，EBC= MBN=60， CBM=EBN， 在CBM 和EBN 中， ， CBMEBN（SAS） ， BEN=BCM=60， BEN=EBC， ENBC； （3）解：DQ=AD+DP；理由如下： 延长 BD 至 F，使 DF=PD，连接 PF，如图所示： PDF=BDC=A+DBA=30+30=60， PDF 为等边三角形， PF=PD=DF， F=60， PDQ=90A=60， F=PDQ=60， BDQ=180BDCPDQ=60， BPQ=BDQ=60， Q=PBF， 在PFB 和 PDQ 中， ， PFBPDQ， DQ=BF=BD+DF=BD+DP， A=ABD， AD=BD， DQ