守住数学素养的质把握课堂练习的度

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 守住数学素养的质把握课堂练习的 度 【摘要】课堂练习是学生在教师 的指导下，依靠自觉的控制和矫正，反 复地完成一定量的习题，借以巩固、复 习所学知识，形成技能、技巧，发展智 力、体力的课堂活动行为.而数学素养包 含数学知识和技能、数学意识和思维、 数学态度和价值观三个方面，所以，课 堂练习安排得好自然会有助于数学素养 的提高. 中国论文网 /9/view-13003129.htm 【关键词】课堂练习；数学素养； 教材例题 俗话说：“ 老师靠度，学生靠悟 .” 数学课堂练习是师生互动的重要环节， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 教师要细心准备、审题，把握好题量度、 难易度、综合度、阶梯度、时间长度.优 秀的课堂练习必当蕴含优秀的教学理念、 有效的课堂效率和新颖的形式.而相对来 说，适量适度是要狠下功夫的，具体做 法有： 一、改编教材例题，把阶梯搭出 来以“直线与圆的位置关系” 为例 教材例 1：求直线 4x+3y=40 和 圆 x2+y2=100 的公共点坐标，并判断它 们的位置关系.教材例 2：自点 A（- 1，4）作圆（x-2）2+ （y-3 ）2=1 的切 线 l，求切线 l 的方程.教材例 3：求直 线 x-3y+23=0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长. 三个例题一层一层递进，从代数 方法到几何方法，自然地使学生体会数 形结合、转化化归等数学思想.但是例 1 一个题目的训练对于学生来说有点偏少， 一方面，并不能训练学生对例题掌握的 熟练度，另一方面，对于判断直线与圆 位置关系的第二种常规几何方法即利用 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 圆心到直线的距离与半径进行比较没有 强调，因此，将例 1 进行扩充.例 2 和例 3 单独练习，学生只是思考了一个个点， 不能把问题串起来，要在深度和广度上 进行拓展，因此，将例 2 作为一个变式 题源进行拓展，并把例 3（求直线被圆 截得的弦长）融入例 2 的变式中，增强 了问题的连贯性.改编如下： 练习 1：判断下列各直线 l 与圆 C 的位置关系： （1） l：4x+3y=0，C：x2+y2=36； （2）l：y=- x+1，C：x2+y2=25； （3）l：4x-3y- 8=0，C：x2+y2+2y=0 ； （4）l：x-y-5=0 ，C ：x2+y2- 2x+4y+4=0. 练习 2：自点 A（-1，4）作圆 （x-2） 2+（ y-3）2=1 的切线 l，求切线 l 的方程. 变式一：若点 A 为（1，5）呢？ -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 变式二：自点 A（-1，4）发出 的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其 反射光线所在直线与圆（x-2）2+（y- 3）2=1 相切，求光线 l 所在直线的方程. 变式三：在变式二中，若反射光 线所在直线被圆（x-2）2+（y-3）2=1 截得的弦长为 2515，求光线 l 所在直线 的方程. 对于本题，点 A 在圆外，应该有 两条切线，在教材中，不论利用哪种解 法，都强调说明了当 lx 轴时的直线与 圆不相切，接着再求出的结果是两条切 线的斜率都存在.在变式一中，点 A（1，5）也在圆外，当 lx 轴时的直 线为 x=1 与圆相切，接下来再利用两种 解法去解，得到的切线只有一条，为 3x+4y-23=0.可见，如果不去考虑斜率不 存在的情况，就会出现漏解，通过实例 使学生更加明确为什么要进行分析讨论， 确保完善性.变式二对直线 l 进行了变化， 增加了对称的元素，这时可以作点 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 A（-1， 4）关于 x 轴的对称点（-1，- 4）转化为求过点（-1，-4）的切线方程， 但需要回过来求光线 l 的方程，因此， 可以把A 对称，而把圆对称的过程只 需要把圆心对称，即（2，-3） ，半径不 变，求过 A（-1，4）与对称后的圆相 切的切线方程即可，马上把题目提高了 一个层次，并且在变化的基础上增加点 训练量.变式三也就是把教材的例 3 进行 了融合. 评析：对教材例题作适当变式处 理成为课堂练习，既达到了及时巩固的 目的，又增强了问题之间的连贯性，使 教学过程过渡自然，层层深入. 二、先易后难排序，把知识点巩 固住以“ 辅助角公式”为例 在讲解辅助角公式后，安排练习： 请把下列各式化为 y=Asin（+） （A0 ）的形式. （1）y=22sin+22cos； （2）y=32sin-12cos； （3）y=sin-3cos； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 （4）y=sin+cos； （5）y=3sin+4cos； （6）y=2sin-3cos； （7）y=asin+bcos（a，b 都不 0）. 这个练习的要求非常明确，在我 们已经学习过的两角和与差的基础上， 把 y=asin+bcos（a ，b 都不 0）化为 y=Asin（+） （A0）的形式，得到辅 助角公式，关键是如何找到 A 和 角. （1） （2）中的数字是比较特殊的，同 学们看到 22，32，12 就会想到特殊角 4，6，这个 很容易找到，逆向运用 两角和与差的正弦公式，从而得到结论. （3） （4）在（1） （2）的基础上， 引导同学们往特殊角靠拢， （3）中提取 一个 2 即可， （4）中提取一个 2 即可， 这个 也能找到，逆向运用两角和与差 的正弦公式，从而得到结论. （5）中部分学生会出现思维困 惑，引导学生分析（3） （4）中的 A， ，而因为 3，4，5 是常见的勾股数， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 同学们可以理解应提取 5，其中的 cos=35，sin=45，即 y=3sin+4cos=535sin+45cos=5sin（ +） （其中 tan=43）. （6）中虽然不存在勾股数，但 在学生已经对三角函数定义理解的基础 上，也就自然能理解提取 22+32 即 13，从而得到 y=2sin-3cos=13213sin- 313cos=13sin（-）tan=32. 在上面的练习的一步步铺垫下， 辅助角公式就成了顺理成章的结论，同 学们就能自然地理解 A 和 的含义，从 而得到 y=asin+bcos=a2+b2sin（+） （其中 tan=ba）. 评析：这道 练习不仅培养了学生逆向思维的能力， 也渗透了从特殊到一般的数学思想，成 功地通过一个个台阶，把学生的思维带 到了知识的最高点. 三、穷尽变式类型，把规律找出 来以“解分式不等式 ”为例 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 练习：解分式不等式 x+2x-1x-1. 在学习完一元二次不等式后，紧 接着就要学习分式不等式的解法，解分 式不等式的关键是要将其转化为整式不 等式，题目本身很容易理解，只要转化 为（x+2） （x-1 ）0f（x） g（x） 0，f（ x）g（x）0f（x） g（x） 0，g（x）0. 诒涫剿模 在变式二的基础 上，学生很快就知道要移项，通分，转 化为整式不等式，但在这里增加了高次 不等式的元素，为下面学习高次不等式 埋下伏笔，起到承上启下的作用，也对 分式不等式进行了扩充. 评析：通过变式，对分式不等式 有了全面的认识. 四、腾出足够时间，解透一类问 题以“解绝对值不等式” 为例 练习：解绝对值不等式：x2-|x|- 60.这道题目学生一上手就会想到分类 讨论： 解法 1：当 x0 时，原不等式化 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 为 x2-x-60，解得 -2x3，取交集得 0x3；当 x0 时，原不等式化为 x2+x-60，解得，取交集得-3x0 ；对 两种情况求并集，得到原不等式的解集 为（-3 ，3）. 这样做是不是有点烦琐？有没有 其他的办法？引导学生将 x2 转化为 |x|2，得到了以下解法： 解法 2：将原不等式转化为|x|2- |x|-60，解得-2|x|3 ，因为 |x|0，所以 即为解不等式|x|3，得到原不等式的解 集为（-3 ，3）. 这时有同学又提出了新的思路， 说为什么不画图像呢？ 解法 3：画出函数 y=x2-|x|-6 的 图像，由图像得到原不等式的解集为 （-3， 3）. 评析：这道题目解法 1 是最常规 的思路，但是在解这道题目时明显比较 烦琐，而第 2 种解法直接把 x2 转化为 |x|2，只需解一个一元二次不等式后， 就转化为一个简单的绝对值不等式，第 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 3 种解法是有创造性的，利用了数形结 合的思