《线性代数》第3章习题解答(rr)

线性代数第三章习题解答 已知向量： 1 1 2 5 , 1 , 3 , 2 , 4 , 3 4 3 , 7 , 1 7 , 2 , 8 , 求 1223 解 : 2 1 3 , 7 , 1 7 , 2 , 8 1 5 , 3 , 9 , 6 , 1 2 4 1 1 2 , 4 , 8 , 8 , 4 3 , 1 , 2 , 2 , 1 4 122 3 1 0 , 2 , 6 , 4 , 8 9 , 3 , 6 , 6 , 3 1 9 , 1 , 0 , 1 0 , 1 1 12 2 , 5 , 1 , 3 , 1 0 , 1 , 5 , 1 0 , 3 1 2 3 4 , 1 , 1 , 1 , 3 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 0T 并且求 解 : 1 2 36 3 2 5 6 , 1 5 , 3 , 9 2 0 , 2 , 1 0 , 2 0 2 0 , 5 , 5 , 5 6 , 1 2 , 1 8 , 2 4 ,T T 1, 2, 3, 4 什么？ (1)如果当 12 0mk k k 时，1 1 2 2 0k k 成立， 则向量组12,m 线性相关 解：不正确 121 , 2 , 3 , 4，虽然 120 0 0,但 12,线性无关。 (2) 如果存在 m 个不全为零的数12, , , ,mk k 1 1 2 2 0,k k 则向量组12, , , m 线性无关。 解： 不正确 . 如 1 1 1 21 , 2 , 2 , 4 , 1 , 2 ,TT k 存 在 k 使1 2 1 22 0 , , . 但 显 然 线 性 相 关 (3) 如果向量组12, , , m 线 性 无 关 , 则 其 中 任 何 一 个 向 量 都不能由其余向量线性表出 . 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12, , , m 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组1 2 3, 线性相关，则3一定可由 12,线性表示。 解：不正确。例如： 1 2 30 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ,T T T 向量组1 2 3, 线性相关，但3不能由 12,线性表示。 (5) 如果向量 可由向量1 2 3, 线性表示，即： 1 1 2 2 3 3 ,k k k 则表示系数1 2 3,k k 为零。 解：不正确。例如： 120 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ,T T T 3 1 2 30 , 0 , 1 , 0 0 0T ，表示系数全为 0。 (6) 若向量 12,线性相关， 12,线性无关，则 1 2 1 2, , , 线性相关 . 线性代数第三章习题解答 ：正确。因 12,线性相关，即存在不全为零的数 12, 1 1 2 2 1 1 2 2 1 20 , 0 0 0k k k 2, ,0,0全为零，所以 1 2 1 2, , , 线性相关。 能否由向量组1 2 3 4, , , 线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) 121 , 1 , 2 , 2 , 1 , 1 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 0 ,T T T 3 0, 0,1,1 T ， 4 0 , 0 , 1, 1 T 解：显然 1 3 1 3 42 (2) 121 , 2 , 5 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 ,T T T 3 2, 1,1 T ， 4 0, 0 0 解： 设1 1 2 2 3 3 , 得到方程组1 2 32 2 33 2 3212535x x xx x xx x x 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 2 1 1 23 1 3 21 1 2 1 1 1 2 1 1 0 5 41 2 1 2 0 1 3 3 0 1 3 321 3 1 5 0 2 1 4 0 0 5 1 0r r r r r r 2313 2351 0 5 4 1 0 0 650 1 3 3 0 1 0 330 0 1 2 0 0 1 2 故 1 2 36 , 3 , 2 ,x x x 1 2 3 46 3 2 0 . (3) 121 , 2 , 3 , 4 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 0 , 0 , 0 ,T T T 341 , 2 , 2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0 解 : 设1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到： 1232421 1 1 2 1 0 1 1 2 11 0 2 0 2 1 0 2 0 222 0 2 0 3 0 0 2 0 122 0 2 0 4 0 0 2 0 0r 430 1 2 11 0 2 0 20 0 2 0 10 0 0 0 1r r B因阶梯形矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1 2 3 4, , , . 不 能 由 线 性 表 示(4) 125 , 2 , 2 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 ,T T T 341 , 1 , 1 , 2 , 1 , 4 , 5 , 1 1 解： 设1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 1 1 1 1 5 1 0 0 0 11 2 1 4 2 0 1 0 0 22 3 1 5 2 0 0 1 0 33 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1A 线性代数第三章习题解答 2 3 4 1 2 3 41 , 2 , 3 , 1 , 2 3x x x x 5. 证明： 如果 n 维单位坐标向量组12, , , n 可由 n 维向量组12, , , n 线性表示，则向量组12, , , n 线性相关。 证：1 2 1 2, , , , , , 向 量 组 也 可 由 线 性 表 示, 向量组 12, , , n 与向量组 12, , , n 等价，所以向量组 12, , , n 的秩为 n，所以线性无关。 6. 若向量组1 2 3, 线性无关，证明：向量组1 1 2 1 2 3, 也线性无关。 证： 设有常数 1 2 3, , ,k k 1 1 2 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 2 3 31 2 3 1 2 3233( ) ( ) 0( ) ( ) 0, , 0 ,0,0,1 1 10 1 1 1 0 , 1k k kk k k k k kk k 即线性无关，系数行列式上 方 程 组 只 有 零 解1 2 3 1 1 2 1 2 30 , , ,k k k 从 而 向 量 组 线 性 无 关 判断下列向量组是否线性相 关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) 121 , 2 , 4 , 8 , 1 , 3 , 9 , 2 7 , 341 , 4 , 1 6 , 6 4 , 1 , 1 , 1 , 1 . 解：以1 2 3 4, , , 为列向量作矩阵 1 2 3 4, , , ,A 作初等行变换得到： 2 1 1 23 1 3 24 1 4 21 1 1 1 1 1 1 1 0 5 6 12 3 4 1 1 4 5 0 1 4 5 034 9 1 6 1 3 8 1 5 0 0 2 0 3 0 078 2 7 6 4 1 7 2 8 6 5 0 0 0 3 0 0r r r rA r r r rr r r r 显然1 2 3 4( ) 4 , , , , 向 量 线 性 无 关 .(2) 122 , 1 , 0 , 3 , 1 , 3 , 2 , 4 , 343 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , 4 , 6 . 解：令 1 2 3 4, , , ,A 对 A 作初等行变换，得到： 34124 2 1 32 1 3 2 0 5 3 2 0 3 4 0 3 4221 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 20 2 2 4 3 0 2 2 4 3 0 2 8 0 2 83 4 1 6 0 1 3 1 1 2 0 1 3 1 1 2r r r 线性代数第三章习题解答 1310 1 0 1 0 1 0 131 3 0 2 1 0 0 1130 1 3 1 1 2 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 故 R(A)=R(B)=3. 1 2 3 4, , , 线性相关。 且由4 1 2 3 . B 可 知 ，(3) 1 2 33 , 1 , 2 , 1 , 5 , 7 , 7 , 1 3 , 2 0 T 解： 令 1 2 3, , ,A 解方程组 ，其中 X= 1 2 3,T ,对系数矩阵 A 作初等行变换得到： 13212 11163223 1 7 0 1 6 3 2 0 1 231 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 322 7 2 0 0 3 6 0 1 21 21310 1 251 0 30 0 0 由 B 得同解方程组 1 3 3 2 33 , 1 , 3 , 2 , 1 , 2 取得1 2 3 3 1 23 0 , 3 2 , 1 2 3 4, , , 线性相关。 (4) 1 2 31 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 4 , 5 , 1 T 解：令 1 2 3, , ,A 对 A 作初等行变换得到： 21323142411 1 3 1 1 3 1 1 322 1 4 0 1 2 0 1 21 2 5 0 1 2 0 0 021 1 1 0 2 2 0 0 2r r R(A)=R(B)=3 , 1 2 3, 线性无关。 8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (1) 1 2 34 , 1 , 5 , 6 , 1 , 3 , 4 , 7 , 1 , 2 , 1 , 3 ,T T T 4 2 ,1, 1, 0 T 解： 令 1 2 3 4, , , ,A 对 A 作 初 等 行 变 换 ， 得 到 ：12324 1 1 2 6 7 3 0 6 7 3 021 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 15 4 1 1 6 7 3 0 0 0 0 06 7 3 0 6 7 3 0 0 0 0 0 R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为 2, 12,是一个极大无关组。 (2) 1 2 31 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ,T T T 线性代数第三章习题解答 4 0 , 0 ,1,1 解： 12, 线性相关，1 2 3 4, , , 线性相关。而1 3 4, 线性无关。 向量组的秩是 3。1 3 4, 是一个极大无关组。 (3) 1 2 3 41 , 0 , 1 , 2 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1T T T T 解：令 1 2 3 4, , , ,A 对 A 作初等行变换，得到： 311 2 0 1 1 2 0 10 1 1 1 0 1 1 11 0 1 1 0 2 1 0A r r B 显然 R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是 3,并且1 2 3, 是向量组的一个极大 无关组。 (3) 1 2 31 , 2 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,T T T 4 4 , 5, 6 , 7 解： 令 1 2 3 4, , , ,A 对 A 作 初 等 行 变 换 ， 得 到 ： 2131411 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 422 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 333 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 044 5 6 7 0 3 6 9 0 0 0 0r r 显然 R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是 2 , 并且 12, 是一个极大无关组。 9. 设向量组1 2 3, 线性无关，1 1 2 2 3 3 ，证明： (1) 当3 0时， 12, 线性相关； (2) 当3 0时， 12, 线性无关 证明： (1)当3 0时， 1 1 2 2 ， 12, 线性相关。 (3) 当3 0时，设有常数1 2 3,x x x，使 1 1 2 2 3 0,x x x 1 1 3 1 2 2 3 2 3 3 3) ( ) 0 .x x x x x 即(1 2 3, 线性无关， 1 1 32 2 3330,0, 3 3 1 2 1 20 , 0 , 0 , , , .x x x 进 而 线 性 无 关10. 设 1 1 2 , 2 1 2 1 2 33 1 2, , ,2, 证 明 ： 向 量 组 线 性 相 关 . 证： (i) 若 12,线性无关，设有常数1 2 3, , ,x x 2 2 3 3 0,x x x 使即1 2 3 1 1 2 3 2( 2 ) ( ) 0 ,x x x x x x 因 12,线性无关， 1 2 31 2 3200x x xx x x 因方程组一定有非零 解，1 2 3, 线性相关。 线性代数第三章习题解答 若 12,线性相关，不妨设 21k ，于是： 112131(1 ) ,(1 ) ,( 2 ) , 由此可知，1 2 3, 线性相关。 11 n 个 n+1 维向量 11221 , 0 , , 0 , ,0 , 1 , , 0 , ,0 , 0 , , 1 , , 是否线性相关？ 解： n 维单位坐标向量组12, , , n 线性无关，而无关组增添分量 仍无关， 向量组12, , , n 线性无关。 12. 设12, , , n 是一组 n 维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 件是：任一 n 维向量都可由它们线性表示。 证：必要性：若向量组12, , , n 线性无关，则对任一 n 维向量 ， 向量组 12, , , ,n 线性相关，故 一定可由 12, , , n 线性表示。 充分性：若任一 n 维向量均可由向量组12, , , n 线性表示，则 n 维单位坐标向量组12, , , n 可由12, , , n 线性表示，又12, , , n 可由12, , , n 线性表示， 向量组12, , , n 与向量组12, , , n 等价， 向量组12, , , n 的秩是 n， 12, , , n 线性无关。 13. 试证：若向量组 12, , , r 与向量组 12, , , ,r 有相同的秩， 则 可由 12, , , r 线性表示。 证： 设向量组 12, , , r 的秩为 r，不失一般性，设112, , , r (r)为向量组 12, , , r 的极大无关组，则112, , , r 与 12, , , r 等价，依题设向量组 12, , , ,r 的秩也为 1r ,故112, , , r 也是 12, , , ,r 的极大无关组， 可由112, , , r 线性表示，进而，可由 12, , , r 线性表示。 14. 设 12, , , rt t t 是互不相同的 r 个非零实数， ，证明： (1) 向量组 21 1 1 1, , , ,t t 22 2 2 22, , , , , , ,r r rt t tt t t 线性无关 . (2) 任一 r 维向量都可由 12, , , r 线性表示 . 证： 令 12, , , , 则 A 的前 r 行元素组成的 r 阶子式 线性代数第三章习题解答 22 2 21212121 1 112121 1 1r rr r t tt t tt t tt t tt t tt t t 12 1 ( ) 0r i jj i rt t t t t 故 R(A)=r, 12, , , r 线性无关 . (2) 对任一 r 维向量 ，向量组 12, , , ,r 线性相关 2, , , r 线性无关， 可由12, , , r 线性表示 . 15. 设 A 为 n 阶方阵， 12, , , r 为 n 维列向量， (1) 证明： 若 12, , , r 线性相关，则 12, , , A 也线性相关； (2) 问：若 12, , , r 线性无关， 12, , , A 是否也线性无关，为什么 ？。 (1) 证 明 ： 若 12, , , r 线 性 相 关 ， 即 存 在 不 全 为 零 的 常 数 12, , , rk k k ，使1 1 2 2 k k 从而有： 1 1 2 2 1 1 2 2 0.r r r rA k k k k A k A k A 12, , , rk k k 不全为零，12, , , A 线性相关。 (2) 12, , , A 不一定线性无关。如当 A=E，则 12, , , A 线性无关，若 A=0，则 12, , , A 线性相关。 16. 试证： 设 A 是 n 阶方阵 ( 2)n ，则 , ( ) ,( ) 1 , ( ) 1 ,0 , ( ) 1 A R A n 证： (i) 若 R(A)=n，则 0A ，由 A A A E ，得到 A ， 1 0 ， ()R A n. (如果 R(A)= A 的列向量组12, , , n 线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设： 1 2 2 3 3 k k 据行列式的性质可知， A 的第 2 列至第 n 列元素的代数余子式全为0， R(A) = A 的第 1 列元素的代数余子式中至少有一个不为 A 的第 1 行元素不全为零，而第 2 行至第 n 行元素全为 0， ( ) (若 R(A) A 的 子式全为零， 0A， ( ) (17) 设有线性方程组： 1 1 1 2 1 3 12 1 2 2 2 3 2,a x b x c x da x b x c x d 若 11220，问： (1) 系数矩阵 A 秩是多少？ (2) 增广矩阵 A 的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？ (4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少 个解向量？ 解： (1) R(A)=2. (2) ( ) (3) 方程组有解，有无穷多解 . (4) 方程组的导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空 线性代数第三章习题解答 1) 设 A 是 n 阶 方 阵 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 则 方 程 组 0 . (c) a . 只有零解 b .有 n 个解 c d (2) 设 A,B 均为 n 阶方阵，且 1，则方程组 与 的非零解的个数之和为 (0) (3) 设 a 为实数，如果齐次线性方程组 22 0122有非零解，则 a (1 或 3) (4) 设 A 为 n 阶方阵，如果方程组 AX=b 有唯一解，则 A 一定 (b， d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a， b 都有可能 d 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解 . (1) 1 2 3 45 0 ,x x x x 1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 0 ,3 8 0 ,9 3 7 0 ,x x x xx x x xx x x x 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 2131411 5 1 1 1 5 1 11 2 1 3 0 7 2 433 8 1 1 0 7 2 41 9 3 7 0 1 4 4 8r 3232 7 72 24 2 1 21221 5 1 1 1 0 10 1 2 0 1 220 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0r r 故 同解方程组： 31 2 42x x x 73 2 42 2x x x依 次 取 2410,01 得 基 础 解 系 321272101,210 . 方 程 组 的 通 解 ： 1 1 2 2X k k，其中 12, (2) 1 2 3 42 0 ,x x x x 1 2 3 41 3 41 2 42 2 0 ,0,3 3 0 ,x x x xx x xx x x 解 ：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到 线性代数第三章习题解答 1 1 23 1 3 24 1 4 21 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 122 1 1 2 0 1 3 0 0 1 3 01 0 1 1 0 1 3 0 0 0 0 033 1 0 3 0 2 6 0 0 0 0 0r r r rA r r r rr r r r 同解方程组1 3 4x x x， 233 依次取自由未知量的值 3410,01 得方程组的基础解系：121130,1001 ，方程组的通解为： 1 1 2 2X k k ，其中 12, (3)1 2 3 4 52 2 2 0 ,x x x x x 1 2 3 4 51 2 3 4 52 3 2 0 ,2 4 7 0 .x x x x xx x x x x 解：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 21311 2 2 2 1 1 2 2 2 11 2 1 3 2 0 0 1 1 122 4 7 1 1 0 0 3 3 3 故同解方程组：1 2 4 52 4 3 ,x x x x 223 4 54455,x 取 2 1 4 2 5 3, , ,x k x k x k 得到方程组的通解： 121 2 33452 4 31 0 00 1 10 1 00 0 1k 其中，1 2 3,k k 基础解系 1 2 32 4 31 0 0, , 10 1 00 0 1 12321 2 0 4 320 0 1 1 130 0 0 0 0线性代数第三章习题解答 4)1 2 3 4 52 3 6 0 ,x x x x x 1 2 3 4 51 2 3 4 52 4 2 5 0 ,2 4 2 4 2 0 ,x x x x xx x x x x 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到： 21311 2 1 3 6 1 2 1 3 622 4 2 1 5 0 0 0 7 1 722 4 2 4 2 0 0 0 2 1 0 23132131 2 1 3 6 1 2 1 0 970 0 0 7 1 7 0 0 0 0 1 830 0 0 1 5 0 0 0 1 5 1 218231 2 1 0 90 0 0 1 50 0 0 0 1 同解方程组 1 2 3 529x x x x 2233455,5,0取 2 1 3 2,x k x k，得到方程组的通解： 12123452110010000 ，基础解系： 122110, 20. 设 1 1 1 22 1 2 23 1 3 2a ，证明： A 的行向量组一定线性相关。 21. 设 A 是 矩阵， B 是 矩阵，其中 。若 ，证明： B 的列向量组线性无关。 22. 设 A 是 n 矩阵，且 0A ，证明： A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。 23. 设向量组 12, , , r 线性无关，1( 1 , 2 , , )ri i j i j ，证明：向量组 12, , , r 线性无关的充分必要条件是 : 线性代数第三章习题解答 1 1 2 12 1 2 2 2120r r ra a aa a aa a a 24. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 (1) 1 2 3 42 4 ,x x x x 1 2 3 41 2 3 43 6 3 8 ,5 1 0 5 1 6 ,x x x xx x x x 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到 21311 2 1 1 4 1 2 1 1 433 6 1 3 8 0 0 4 0 455 1 0 1 5 1 6 0 0 4 0 4 3211241241 2 0 1 30 0 1 0 10 0 0 0 0 ，所以原方程组的同解方程组为（取 24, 1 2 42 3 ,x x x 22344,1,取 2 1 4 2,x k x k，得到方程组的通解： 1212342 1 31 0 0,0 0 10 1 0 其中 12, (2) 1 3 4 3,x x x 1 2 3 41 2 31 3 42 4 3 4 ,3 1 ,7 7 3 3 .x x x xx x xx x x 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 2131411 0 1 1 3 1 0 1 1 322 1 4 3 4 0 1 2 1 233 1 1 0 1 0 1 2 3 1 027 0 7 3 3 0 0 0 4 2 4r 143224234144341 0 1 1 3 1 0 1 0 30 1 2 1 2 0 1 2 0 820 0 0 2 1 2 0 0 0 1 60 0 0 1 6 0 0 0 0 0 . 取 3原方程组的同解方程组： 线性代数第三章习题解答 3233343,2 8 , 取 3得到方程组的通解： 12341328,1006 其中 k 为任意实数 . (3) 1 2 3 45 4 1 3 3 ,x x x x 1 2 3 41 2 3 43 2 5 2 ,2 2 3 4 1 .x x x xx x x x 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 21311 5 4 1 3 3 1 5 4 1 3 333 1 2 5 2 0 1 6 1 0 4 4 722 2 3 4 1 0 8 5 2 2 5 23231 5 4 1 3 320 8 5 2 2 50 0 0 0 3 . ( ) 2 3 ( )R A R A 原方程组无解。 (4) 2 3 2 2 ,x y z w 2 5 8 6 5 ,3 4 5 2 4 .x y z wx y z w 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 21311 2 3 2 2 1 2 3 2 222 5 8 6 5 0 1 2 2 133 4 5 2 4 0 2 4 4 2 32321 0 1 2 020 1 2 2 120 0 0 0 0. 原方程组的同解方程组： 1 3 42 3 433442,2 2 1 ,.x x xx x 取 3 1 4 2,x k x k，得到方程组的通解： 线性代数第三章习题解答 212341 2 02 2 11 0 00 1 0 ， 其中 12, 25. 证明：线性方程组 AX b 有唯一解的充分必要条件是其导出 0只有零解。 证： 必要性： 若方程组 AX b 有唯一解，则 ( ) ( )R A R A n（未知量个数）， 导出组0只有零解。 充分性： 如果导出组 0只有零解，则 ()R A n （未知量个数），从而( ) ( )n R A R A n ，即 ( ) ( )R A R A n。 方程组 AX b 有唯一解。 26. 取何值时，下列非其次线性方程组 （ i）有唯一解；（ 解；（ 无穷多解；当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。 （ 1）1 2 3 1,x x x （ 2） 1 2 3 42 1 ,x x x x 1 2 321 2 3,.x x xx x x 1 2 3 41 2 3 42 4 2 ,7 4 1 1 .x x x xx x x x 解：计算系数行列式 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ( 2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1 11 1 1 1 1 1 1 2( 2 ) ( 1 ) （ i） 当 2, 1 时，方程组有唯一解（克莱姆法则） . （ 2 时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 12322 1 1 1 0 3 3 321 2 1 2 1 2 1 21 1 2 4 0 3 3 6 310 3 3 31 2 1 20 0 0 3 ( ) 2 ( ) 3R A R A 方程组无解。 （ 1 时，对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 21311 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 原方程组的同解方程组： 1 2 322331,.x x 取 2 1 3 2,x k x k，得到方程组的通解： 线性代数第三章习题解答 2 1 231 1 11 0 0 ,0 1 0xx k 其中 12, （ 2）对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 12322 1 1 1 1 0 5 3 7 321 2 1 4 2 1 2 1 4 21 7 4 1 1 0 5 3 7 2 310 5 3 7 31 2 1 4 20 0 0 0 5 . （ i） 5 ( ) 2 3 ( )R A R A ， 方程组无解。 （ 5 时， 3 7 35 5 51150