宇宙学中的基本常数

邹振隆 （中科院国家天文台） 2013年 11月 6日 用数学方法可以定义和计算 （独立于物理测量） 的不变数值 ,例如： 圆周率 （圆周长与直径之 比） 实测法：有效数字 2位（阿基米德以前） 几何法：刘徽， 3.1416（ 263年） 分析法：莱布尼兹公式， 13位（ 1400年） 计算机时代：近藤茂， 10万亿位（ 2011年） 重要性：几乎渗透数学、物理学、工程科学的一 切领域。 数学常数 在任何地点和时间具有不变数值的物理量，例如： 真空中光速 c=2.9979245810 8m/s（定义量） 一般需用仪器进行物理测量，带有不确定度，如： 牛顿引力常数 G=6.67384（ 80） 10 -11m3kg-1s-2 标准不确定度 u=0.00080,相对误差 ur=1.2 10 -4 普朗克常数 h=6.62606957（ 29） 10 -34Js 标准不确定度 u=0.00000029,相对误差 ur=4.4 10 -8 现代宇宙学是物理学与天文学共同发展的结果，宇宙学 中的基本常数实质上是物理常数，要用物理方法测定。 这些常数决定着宇宙的年龄、几何、演化和命运，地位 十分重要，但相比其他物理常数，测量值不确定性很大 。 当前的测量结果是： 哈勃常数 H0 （ 70.84.0 ） km s-1Mpc-1 曲率常数 K 0 宇宙学常数 = (1.2 0.2) x 10-55 cm-2 1905年 爱因斯坦建立狭义相对论 1915年 爱因斯坦建立广义相对论 1917年 爱因斯坦提出静态宇宙模型 1922年 弗里德曼得到爱因斯坦方程膨胀解 斯莱弗测得 41个旋涡星云视向速度 1927年 勒梅特提出 试探性的 星系退行速度和 距离关系 v = H0d 1929年哈勃以更精确的距离测定提供了最好的 观测证明。史称哈勃定律， H0称哈勃常数。 现代宇宙学早期历史 爱因斯坦 狭义相对论的四维表述：闵可夫斯基时空（ 1907） 爱因斯坦的推广： “ 时空因应物质而弯曲，物质因 应时空而运动 ” 时空的性质： 引力场方程：牛顿引力理论的泊松方程（物质密度 决定引力势 ）： 爱因斯坦建立广义相对论 （ 1915） 受此启发，爱因斯坦将其推广为： 爱因斯坦建立静态宇宙模型 1917 宇宙学原理：宇宙从大尺度上看是均匀、各向同性的 （没有优越的位置和方向 ）。 南天 200万个星系的分布 微波背景辐射的分布 WMAP Robertson-Walker度规 R（ t)为标度因子，描述曲率半径随时间的演化， R（ t0)=Rc,0 k=1 正曲率， k= -1 负曲率， k=0 平直几何 从数学上可以证明，满足宇宙学原理的时空一定是 RW度规 弗里德曼方程 1922 设宇宙物质由理想流体描述，将其能量动量 张量（ c2,-p,-p,-p)和 R-W度规代入场方程 得弗里德曼方程 a(t)=R(t)/R(t0) 弗里德曼 将以上两方程联立可得 再加上物态方程 得密度的演化： w=0 W=1/3 W= -1 =常数 基本宇宙学参数 哈勃参数： H（ t）是用物理距离 x(t)=a(t)r 定义的（ r为共动距离， a(t)为标度因子） 哈勃参数今天的值 H0称为哈勃常数 密度参数：物质或能量密度与临界密度之比 物质和能量密度决定空间几何 将哈勃参数代入第二个弗里德曼方程得： 于是有： 负曲率，开宇宙 正曲率，闭宇宙 零曲率，平宇宙 open flat close开 开 平 闭 减速参数：由标度因子对时间的二阶导数定义 对于压强为零的情形，由弗里德曼方程可得： 由观测可得： 所以有： 加速膨胀 哈勃常数与宇宙年龄 以爱因斯坦 -德西特模型为例 （ ） 弗里德曼方程的解为 宇宙年龄 宇宙学常数主导的宇宙 忽略物质密度： 0，弗里德曼方程变为 其解为 指数膨胀 随着时间的增长，曲率项可以忽略，方程变为 这意味着空间渐近于平直（欧几里得） 弗里德曼方程的解描述宇宙的动力学演化 宇宙学红移 取以观测者为原点的 R-W坐标系，考虑沿径向到达的一 条光线（类光测地线 ds2=0）。不难证明，光的波长 与标度因子成正比 : 若 a(t)随时间增加，则 z大于 0，观测波长大于 发射波长，称为宇宙学红移。对于近邻天体，可将 a(t) 展开成幂级数 a(t0)1+ (t-t0) H0+. 于是有： cz =c / = H0(t 0-t 1)c+=H0d+ （ 从光子观点： =n h a-4,n a-3,所以 a- 1, a) 膨胀 波长变长 多普勒效应 宇宙学红移显示标度因子随时间增加，即宇宙的普 遍膨胀，在共动坐标中相对静止的光源和观察者的 退行速度随距离而增大。此外由于小尺度上物质分 布不均匀使得光源产生额外速度（例如地球公转 30 km/s，太阳绕银心转动 200 km/s，银河系在室女座 星系团中的运动 330 km/s ），按照狭义相对论， 这种 “本动 ”的视向速度分量会产生多普勒频移 /= v/c。实际观测到的频移是宇宙学红移与本动的多普 勒频移之和 。 星系红移（视向速度）的观测 斯莱弗 旋涡星云（星系）的视向速度 （引自爱丁顿 相对论的数学理论 ， 1923） 哈勃常数的初次测量 比利时神甫和宇宙学家乔治 勒梅特 1927年用法文发 表了一篇文章，题为 “ 质量恒定和半径增加的均匀 宇宙是河外星云视向速度的原因 ” 。在该文中， 勒 梅特报告了爱因斯坦广义相对论方程的膨胀宇宙解 。他还用斯莱弗的视向速度观测结果，结合所有星 系具有相同光度的不准确假设，提出一个试探性的 “ 哈勃定律 ” v = H0d ，即，距离 d和速度 v之间成 线性关系，得出的哈勃常数值为 625km s -1Mpc -1。 勒梅特 哈勃图（ 1929） 哈勃 天体距离的测定 三角视差法：以地球绕 日轨道直径为基线测量 一天体在天球上的视差 角位移，则 d=206265 AU（日地平 均距离） / （角秒） 此法最为简单可靠，但 只适合银河系内距离小 于 1kpc（卫星测量）的 恒星（ 1pc相应于 =1 角秒的距离，称 1秒差 距，约 3.26光年）。 标准烛光法：具有恒定光度 ，或其光度与某种可测量特 性如光变周期相关（而与距 离无关）的天体称标准烛光 。在辐射各向同性和欧氏几 何假设下，按辐射通量（视 亮度）与距离平方成反比的 规律可以算出其距离。典型 的例子是造父变星。哈勃正 是利用其周光关系准确测定 了一批近邻星系的距离而成 为观测宇宙学之父。 近 远 宇宙距离阶梯 一级示距天体 ：造父变星周光关系的零点可用三角视差定标 ，称为一级示距天体，尽管其光度可达太阳的 10万倍，也只 在近邻星系（ d20Mpc ）中能够看到。为了更精确地测定哈 勃常数，需寻找光度更高、能在更远看到的标准烛光。 二级示距天体 ： Ia型超新星产生于碳氧白矮星吸积质量超过 钱德拉塞卡极限（约 1.4倍太阳质量）而导致的热核爆炸。 它们的峰值光度比造父变星明亮百万倍，而彼此差异相对较 小，且与其光变曲线的形状密切相关。经过光变曲线改正和 尘埃消光改正之后，统计弥散在光学波段约 15，在近红外 约 10。 Ia型超新星的高光度和低弥散使其成为最理想的 远程标准烛光，测量距离的范围可达 40-5000 Mpc。但其距 离需要通过造父变星来校准，故称为二级示距天体。 宇宙距离阶梯 ：一级和二级示距天体彼此相接，形成一个距 离阶梯达到宇宙平滑膨胀运动（哈勃流）远超天体局部本动 的区域。 H0的测量误差也相应地沿着这个距离阶梯传导下去 。 哈勃常数测量的历史 Physics Today 2013 no.10 年龄矛盾 哈勃测得的 H0值太大，由此估计宇宙年龄只有 20亿年，比地 球（ 45亿年）还年轻！ 20多年后巴德发现哈勃混淆了不同星 族造父变星光度的差别（贫金属的 II型比 I型暗 1.5星等）， 经他修订后的距离增加一倍， H0值减小一半。随后 30年桑德 奇组一直声称 50 km s-1Mpc-1 10 ，德 德沃古勒组坚 持测量值为 100 km s-1Mpc-110 。这些测定所引的误差 显然太小，两者没有交集。如果取两个值的平均，推算出宇 宙的年龄（约 90亿年）仍然小于银河系中最古老的星团（约 130亿年）！年龄矛盾的最终解决需要两个途径：伊巴谷卫 星精确的距离测量，这在一定程度上降低了计算恒星的年龄 ；发现宇宙膨胀正在加速，这意味着宇宙的年龄较老。 提高哈勃常数测量精度的努力 使用哈勃望远镜搭载的精细导向传感器， 2007年测得 10颗最 近的造父变星视差的平均误差为 3 。 借助伊巴谷卫星（和 盖亚卫星）测量精度原则上可达 1%。 对星系 NGC 4258的超大质量黑洞周围的水脉泽斑的视向速度 和自行进行 10年亚毫角秒射电观测以后，独立于视差法确定 该星系的距离为 7.60 Mpc，不确定性为 3。 用相同仪器对 Ia型超新星的寄主星系和 NGC4258中的造父变 星距离定标后，哈勃常数的不确定性减小到 5% （ 2009）和 3%（ 2011）。 哈勃望远镜的新设备 WFC3在其工作寿命的最后十年（ 2020年 前）完成的近红外测量，将使哈勃常数的不确定性减小至 1% 造父变星周光关系定标 新的哈勃常数值为 74.32.1(km/s)/Mpc ，不确定性为 3%（ 2012年 10月） 高红移时的距离 固有距离： RW度规中同一时刻两点间的径向间隔 光锥关系 ： 积分得： 用： 得 于是有： 其中 ： 宇宙年龄： 高红移天体的视亮度 光度距离：按欧氏空间中光度与视亮度的关系定义 1） 天体发射光子到达观测者时分布的球面积： 2）单个光子 到达时 的能量因红移而减小一个因子 1/（ 1+z） 3）单个光子到达时的速率比发射时减小一个因子 1/(1+z) 综合起来有： 所以有： 距离模数 ： Ia型超新星 光谱中无氢线，但有强 硅线（ 6000埃） 出现于各型星系，平均 每星系每世纪一次，样 本超 200 峰值绝对星等 -19到 -20 （比造父变星亮百万倍 ），红移记录达 z=1.6 峰值光度经修正后弥散 小，没有演化效应，是 优质标准烛光 测量的哈勃常数值为 74.23.6(km/s)/Mpc 。（ Riess,2009） 两个独立巡天项目的结果 超新星宇宙学计划（ SCP） 高红移超新星巡天（ HZSS) 对 m 和和 的约束的约束 Riess et al.,1998 Perlmutter,et al.,1998 42SNe 空间望远镜（ HST）的结果 HST对 11颗 Ia型超新星 (0.36z0.86)的观测得出同样的结果 走向更高的红移 Riess等 (ApJ ， 659 ， 2007， 98)用 HST 证认高红移超新星， 结合中低红移大样本 （ 182颗）进行分析 ，发现在 z 0.5 以 后宇宙膨胀加速，以 前为减速，与 具有 非零正值非常一致。 综合样本 (Suzuki 2012) 超新星 580颗 国际上各大型超新星项目的贡献 2011年诺贝尔物理学奖 Saul Perlmutter， Adam Riess， Brian Schmidt 奖给宇宙加速膨胀的发现 WMAP观测结果的约束 宇宙成分分配宇宙成分分配 Ostriker & Steinhardt, 2003, Science, 300, 1909 暗能量： 73%；暗物质： 23%； 发光物质： 0.4%（恒星和发光气体 0.4%；辐射 0.005%）； 不可见的普通物质： 3.7%（星系际气体 3.6%；中微子 0.1%； 超重黑洞 0.04%） 普朗克卫星的新结果 欧空局 2009年发射的普朗克卫星（ 分辨率 5角分） 于 2013年 3月发布 首批观测结果，改写了宇宙的组成 ： 与高能所李惕碚组 4年前用 WMAP数据独 立分析的结果非常一致！ 暗能量：（ 67.83 ） % 暗物质 ：（ 27.02.7 ） % 重子物质：（ 5.20.3 ） % 中国有关天文观测的历史和前景 发现 1054年超新星 1990年代起至近年 来我国中小型望远 镜超新星巡天和光 谱观测的成就 宇宙学新标准烛光 的探索 南极天文台计划 空间变源监测卫星 月基望远镜 国际合作 30米望远 镜 . 结语 近一个世纪以来，宇