江西省上饶市2017届高考第一次模拟考试理数试题含答案解析

上饶市 2017 届第一次高考模拟考试 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 为实数集，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 2. 设复数 ，则 的共轭复数是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， ，故选 D. 3. 已知 ，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，故选 A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. ， ，若 ，则 且 B. ， “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件 C. 命题 “ ，使得 ” 的否定是 “ ，都有 ” D. 设随机变量 ，若 ，则实数 的值为 2 【答案】 B 5. 九章算术教会了人们用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第 22 题为：“ 今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6 尺布，现一 月（按 30 天计）共织 540 尺布 ” ，则从第 2 天起每天比前一天多织（ ）尺布 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此数列为等差数列，设公差为 ，那么 ， ，解得： ，故选 B. 6. 已知双曲线方程为 ，若其过焦点的最短弦长为 2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 过焦点的最短弦长有可能是 或是过焦点垂直于长轴所在直线的弦长为 ， ，所以过焦点的最短弦长为 ，即， ， ，所以， 即 ，故选 A. 7. 函数 的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 ，所以函数是奇函数，而只有 C 的图象不是奇函数的图象，不关于原点对称，故选 C. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 几何体如下图，几何体为底面为直角 梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为,故选 D. 9. 执行如图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 当 ，则 ，时需退出循环，即 时判断框内为是， 为否，故选 C. 点睛 ： 循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清， 计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错 . 10. 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 ， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 【答案】 B 【解析】 当 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩，是另外两个家庭的一 个小孩，有 种方法，故选 B. 11. 已知 ， 满足约束条件 当目标函数 （ ， ）在该约束条件下取得最小值 1 时，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 点睛 ： 本题考查了线性规划和基本不等式求解最值问题， 基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求的最小值，变形为 ，再 ，构造 1 来求最 值 . 12. 已知 是定义域为 的单调函数，若对任意的 ，都有，且方程 在区间 上有两解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 设 ， ，而 ，解得 ，即 ，那么方程 整理为在 上有两解， 设 ， ，解得，那么在 时，函数单调递增，当 时，函数单调递减，如下图所示： 当 时， ， ，解得 ，故选 A. 点睛 ： 本题涉及两个知识点，一个根据复合函数求解析式，另一个是函数 零点问题，复合函数求解析式可通过换元法求解，函数零点是高考热点，如果是有零点，可根据 （ 1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（ 2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（ 3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解，本题采用这种方法 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 外接圆半径是 2， ，则 的面积最大值为 _ 【答案】 【解析】 根据正弦定理， ,解得 ,若 的面积最大，即角 为锐角，,根据余弦定理， ,代入得到 ，即 的最大值为 12，所以 面积的最大值为 . 14. 在边长为 1 的正方形 中， ， 的中点为 ， ，则_ 【答案】 点睛 ： 本题重点考察了向量数量积的运算， 一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角； 需建立坐标系解决问题，比如本题； 化为那些知道模和夹角的向量 . 15. 已知 ， 展开式的常数项为 15，则 _ 【答案】 【解析】 常数项为 ，则 ，原式为16. 已知函数 （ ），若函数 的所有零点依次记为 ， ， ， ， ，且 ，则_ 【答案】 【解析】 ,解得： ,函数在 的对称轴为 ， ，所以 ， ，以此类推， ，这 项构成以首项为 ， 为公差的等差数列，第 项为 ，所以 ，解得 ，所以 点睛 ： 本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知公比不为 1 的等比数列 的前 5 项积为 243，且 为 和 的等差中项 （ 1）求数列 的通项公式 ； （ 2）若数列 满足 （ 且 ），且 ，求数列 的前 项和 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）根据等比数列的性质， ，求得 ，整理为： ，求得 ，最后列通项公式；（ 2）由（ 1）可知， ，利用 累乘的方法求 的通项，代入 ，采用裂项相消的方法求和 . 点睛 ： 本题考查了数列求和，一般数列求和方法（ 1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（ 2）裂项相消法求和， ， , 等的形式，（ 3）错位相减法求和，一般适用于等差 数列乘以等比数列，（ 4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以 2 得到数列求和 ,(5)或是具有某些规律求和 . 18. 水是地球上宝贵的资源，由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨），一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ， ， 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （ 1）若全市居 民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 ，试估计全市有多少居民？并说明理由； （ 2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取 7 户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发 “ 低碳环保家庭 ” 奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数学期望 【答案】 （ 1） 30 万（ 2） ，分布列见解析 【解析】 试题分析：（ 1）根据频率分布直方图，求用水量大于等于 3 吨的频率，频率乘以全市的人数等于 人，求解方程； （ 2）首先根据频率和为 1，计算 ，再分别计算用水量在 和 的户数，再根据分层抽样计算两组分别抽取多少户，再列举所有 的情况，以及随机变量 的值，最后得到 的分布列和数学 期望 . 试题解析： （ 1）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为 ，所以假设全市的人数为 （万人），则有 ，解得 ， 所以估计全市人数为 30 万 （ 2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1， 因为频率 ， 所以 ，得 ， 用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7 户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户 据题意可知随机变量 的取值为 0,2,4 ， ， ， 其分布列为： 0 2 4 期望为： 19. 在三棱柱 中，已知侧面 是菱形，侧面 是正方形，点 在底面 的投影为 的中点 （ 1）证明：平面 平面 ； （ 2）设 为 上一点，且 ，求二面角 的正弦值 【答案】 （ 1）详见解析（ 2） 【解析】 （ 2）如图所示，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系， 不妨设菱形边长为 2，易知 ， ， ，因为 为中点且有 ，所以 ， 又因为平面 为菱形，所以 为等边三角形， 从而 ，从而 ， 所以点 的坐标为 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 所以 即 令 ，则 ， ，所以 ， 易知平面 的法向量 ， 所以 ， 所以 ， 从而二面角 的正弦值为 20. 已知椭圆 ： ，圆 ： 的圆心 在椭圆上，点 到椭圆 的右焦点的距离为 2 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若 ，求直线 的方程 【答案】 （ 1） （ 2） 或 【解析】 试题分析：（ 1）首先根据 ,求 ，再根据点在椭圆上代入椭圆方程，求解 ；（ 2）将条件 化简为 ,分 与 轴垂直或不垂直两种情况代入数量积的坐标表示，再结合根与系数的关系，得到直线方程 . 试题解析： （ 1）因为椭圆 的右焦点 ， ，所以 ， 因为 在椭圆 上，所以 ， 由 ，得 ， ， 所以椭圆 的方程为 （ 2）由 得： ， 即 ，可得 ， 当 垂直 轴时， ， 此时满足题意，所以此时直线 的方程为 ； 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 由 消去 得 ， 设 ， ，所以 ， ， 代入 可得： ， 代入 ， ，得 ， 代入化简得： ，解得 ， 经检验满足题意，则直线 的方程为 ， 综上所述直线 的方程为 或 点睛 ： 解析几何解答题的考查，不管问题是什么都会涉及转化与化归能力的考查，比如 本题，如何将其转化为熟悉的代数运算是本题的关键，转化为 后，即转化为直线方程与圆锥曲线联立，设而不求的思想，代入根与系数的关系，得到结果 . 21. 已知函数 （ 为常数） （ 1）讨论函数 的单调区间； （ 2）当 时，设 的两个极值点 ， （ ）恰为的零点，求 的最小值 【答案】 （ 1）当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 （ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）首先求函 数的导数 ，分 三种情况解 或 的解集，得到函数的单调区间；（ 2）首先求 ，得到，根据 ，得到 ，代入并化简为 ，根据前面根与系数的关系和 的取值范围，得到 的取值范围，通过设 转化为关于 的函数求最小值 . 试题解析： （ 1） ， ， 当 时，由 ，解得 ，即当 时， ， 单调递增；由 解得 ，即当 时， ， 单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增； 当 时， ，故 ，即 在 上单调递增 所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 （ 2）由 得 ， 由已知 有两个互异实根 ， ， 由根与系数的关系得 ， ， 因为 ， （ ）是 的两个零点，故 由 得： ， 解得 ， 因为 ，得 ， 将 代入得 ， 所以 ， 设 ，因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 构造 ，得 ， 则 在 上是增函数， 所以 ，即 的最小值为 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 ： （参数 ），以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 （ 1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点 的直角坐标； （ 2）设 为曲线 上的点，求 中点 到曲线 上的点的距离的最小值 【答案】 （ 1）曲线 的直角坐标方程为 ，点 的直角坐标为 （ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）根据公式 ，代入得到曲线 的直角坐标方程， ，同样根据转化公式，得到点 的直角坐标；（ 2）将两点连线的最小值转化为点 到直线 的距离，所以根据参数方程和中点坐标公式得到点 的坐标，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的有界性求距离的最小值 . 试题解析： （ 1） ，得 ， 故曲线 的直角坐标方程为 ，