2017年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=x|x 2， ，则 M N=（ ） A B x| 1 x 2 C x|0 x 2 D x|1 x 2 2设双曲线 （ a 0， b 0）的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B y= 2x C D 3如图，在正方体 ，棱长为 a， M、 N 分别为 ， N= ，则 平面 位置关系是（ ） A相交 B平行 C垂直 D不能确定 4函数 f（ x） = 0），对任意实数 x 有 ，且 ，那么 =（ ） A a B C D a 5已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内 处应填（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 6已知函数 f（ x）图象如图， f（ x）是 f（ x）的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A 0 f（ 2） f（ 3） f（ 3） f（ 2） B 0 f（ 3） f（ 2） f（ 3） f（ 2） C 0 f（ 3） f（ 3） f（ 2） f（ 2） D 0 f（ 3） f（ 2） f（ 2） f（ 3） 7一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ） A B C D 8若（ 1 x） n=1+ +n N*），且 ： 7，则 于（ ） A 35 B 35 C 56 D 56 9在 ， 4， 4 ，则角 C 等于（ ） A 150或 30 B 120或 60 C 30 D 60 10在平面直角坐标系中， A（ 2， 0）， B（ 1， 3）， O 为坐标原点，且 = +（ +=1）， N（ 1， 0），则 | |的最小值为（ ） A B C D 11设 ，已知 0 a b c，且 f（ a） f（ b） f（ c） 0，若 f（ x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ） A a B 0 1 C b c D a b 12过点 M（ 2， 2p）引抛物线 p 0）的切线，切点分别为 A， B，若 ，则 p 的值是（ ） A 1 或 2 B 或 2 C 1 D 2 二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡上） 13若复数 z=（ 2x 3） +（ x+1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为 14某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 15在平面直角坐标系 ，已知 P 是函数 f（ x） =x 0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于 点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a 2b 2c=0且 a+2b 2c+3=0则 最大角的度数是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 数列 前 n 项和，已知 =（ 是大于 0 的常数），且 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=数列 前 n 项和 18某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （ 1）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （ 2）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 19如图，正方形 在的平面与平面 直， M 是 交点， C （ ）求证： 平面 （ ）求 二面角 A C 的大小 20已知：向量 =（ ， 0）， O 为坐标原点，动点 M 满足： | + |+| |=4 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知直线 过点 B（ 0， 1），且 轨迹 C 分别交于点 D，E，试探究是否存在这样的直线使得 等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由 21已知函数 （ 1）当 a=1 时， 1， e使不等式 f（ m，求实数 m 的取值范围； （ 2）若在区间（ 1， + ）上，函 数 f（ x）的图象恒在直线 y=2下方，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号 22已知直线 l： （ t 为参数）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为 =2 （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程； （ 2）设点 5， ），直线 的交点为 A， B，求 |值 选做题 23设不等式 |x+1|+|x 1| 2 的解集为 M （ ）求集合 M； （ ）若 x M， |y| ， |z| ，求证： |x+2y 3z| 2017 年四川省名校联考高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=x|x 2， ，则 M N=（ ） A B x| 1 x 2 C x|0 x 2 D x|1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 N，根据交集的定义写出 M N 【解答】 解：集合 M=x|x 2， =x|x 1， M N=x| 1 x 2 故选： B 2设双曲线 （ a 0， b 0）的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B y= 2x C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 依题意可求得 a， b，从而可求得该双曲线的渐近线方程 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的虚轴长为 2，焦距为 ， b=1， c= ， a= = ， 双曲线的渐近线方程为 y= x= x= x， 故选 C 3如图，在正方体 ，棱 长为 a， M、 N 分别为 N= ，则 平面 位置关系是（ ） A相交 B平行 C垂直 D不能确定 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 由于 平面 以 是平面 法向量，因此只需证明向量 与 垂直即可，而 与 和 均垂直，而 和 又可以作为一组基底表示向量 ，因此可以证明 【解答】 解： 正方体棱长为 a， N= ， = ， = ， = + + = + + = （ + ） + + （ + ） = + 又 是平面 法向量， 且 =（ + ） =0， ， 平面 故选 B 4函数 f（ x） = 0），对任意实数 x 有 ，且 ，那么 =（ ） A a B C D a 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据 得出 1 是 f（ x）的周期，再根据 f（ x） =奇函数，由 f（ ）求出 的值 【解答】 解：函数 f（ x） = 0）中， 对任意实数 x 有 ， f（ x） =f（ x+1）， 1 是 f（ x）的周期； 又 f（ ） = ） =a， =f（ 2+ ） =f（ ） =） = ） = a 故选： D 5已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内 处应填（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 循环结构 【分析】 写出每次循环 a， b 的取值，根据退出循环的条件即可判定答案 【解答】 解： a=1， b=1 第 1 次循环： b=2， a=2，继续执行循环； 第 2 次循环： b=4， a=3，继续执行循环； 第 3 次循环： b=16， a=4； 所以，为使输出的 b 值为 16，循环体的判断框内应填 a 3，即满足 a 3 则执行循环，否则退出循环，输出 b=16； 故答案为： B 6已知函数 f（ x）图象如图， f（ x）是 f（ x）的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A 0 f（ 2） f（ 3） f（ 3） f（ 2） B 0 f（ 3） f（ 2） f（ 3） f（ 2） C 0 f（ 3） f（ 3） f（ 2） f（ 2） D 0 f（ 3） f（ 2） f（ 2） f（ 3） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由题意，作出 f（ 3）、 f（ 3） f（ 2）、 f（ 2）所 表示的几何意义，从而求解 【解答】 解：如下图： f（ 3）、 f（ 3） f（ 2）、 f（ 2）分别表示了直线 n， m， l 的斜率， 故 0 f（ 3） f（ 3） f（ 2） f（ 2）， 故选： C 7一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为 底面的三棱柱， 底面等边三角形的高为 ， 故底面棱长为 2， 故底面面积 S= ， 高 h=1， 故体积 V=， 故选： D 8若（ 1 x） n=1+ +n N*），且 ： 7，则 于（ ） A 35 B 35 C 56 D 56 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 本题中由条件 ： 7 通过组合数公式可以搭建 n 的方程，从而可求出 n 的值为 8，然后即可求出 【解答】 解： 由二项式定理可知 n， ， 由 ： 7 得， = ， n=8， = 56 所以选择 D 9在 ， 4， 4 ，则角 C 等于（ ） A 150或 30 B 120或 60 C 30 D 60 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用同角函数的关系式求出 A， B 的关系，可得 C 的大小 【解答】 解：由 4，可得： 1645 ， 由 4 ，可 得： 1642 ， 用 + 可得： 25+24（ =37， A+B） = 242， ， C=150 或 C=30 当 C= ，即 A+B= 时， A ， ） = ， 4， 0， 40， 4，与题中的 4 矛盾 故选： C 10在平面直角坐标 系中， A（ 2， 0）， B（ 1， 3）， O 为坐标原点，且 = +（ +=1）， N（ 1， 0），则 | |的最小值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义；向量的模 【分析】 由题意知 A， B， M 共线，先求出直线 方程，再根据点到直线的距离公式，点 N 到直线的距离为 d，即为 | |的最小值 【解答】 解： = + （ +=1）， A， B， M 共线， A（ 2， 0）， B（ 1， 3）， 直线 方程为 x y+2=0， N（ 1， 0），设点 N 到直线的距离为 d， d= = | |的 N 的最小值为 N 到直线 距离 ， 故选： B 11设 ，已知 0 a b c，且 f（ a） f（ b） f（ c） 0，若 f（ x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（ ） A a B 0 1 C b c D a b 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 在 R 上是减函数，即 f（ a）、 f（ b）、 f（ c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；判断零点的位置即可 【解答】 解： ，在 R 上是减函数， 0 a b c，且 f（ a） f（ b）f（ c） 0， f（ a）、 f（ b）、 f（ c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数； 即： f（ c） 0， 0 f（ b） f（ a）；或 f（ a） f（ b） f（ c） 0； 由于实数 函数 y=f（ x）的一个零点， 当 f（ c） 0， 0 f（ b） f（ a）时， b c，此时 B、 C 成立； 当 f（ a） f（ b） f（ c） 0 时， a，此时 A 成立； 综上可得， D 不可能成立； 故选： D 12过点 M（ 2， 2p）引抛物线 p 0）的切线，切点分别为 A， B，若 ，则 p 的值是（ ） A 1 或 2 B 或 2 C 1 D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出直线 方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可得出结论 【解答】 解：由题意设 A（ B（ 由 y= ， y= ， 因此直线 方程为 y+2p= （ x 2），整理可得 44， 同理，直线 方程为 44， 所以 方程 4x 4 的两根， 因此 x1+， 4 又 = 由弦长公式得 | | =4 ， 所以 p=1 或 p=2， 故选 A 二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡上） 13若复数 z=（ 2x 3） +（ x+1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由实部为 0 且虚部不为 0 列式求得 x 值 【解答】 解： z=（ 2x 3） +（ x+1） i 为纯虚数， ，解得： x=3 故答案为： 3 14某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 3 【考点】 众数、中位数、平均数 【分析】 在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90，在计算过程中共有 30 个数，所以少输入的 90 对于每一个数来说少 3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出 【解答】 解： 在输入的过程中错将其中一个数据 105 输入为 15 少输入 90， 而 =3 平均数少 3， 求出的平均数减去实际的平均数等于 3 故答案为： 3 15在平面直角坐标系 ，已知 P 是函数 f（ x） =x 0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先设切点坐标为（ m， 然后根据导数的几何意义求出函数 f（ x）在 x=m 处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点 M 的纵坐标，同理可求出点 N 的纵坐标，将 t 用 m 表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可 【解答】 解：设切点坐标为（ m， 该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 y em=x m） 令 x=0，解得 y=（ 1 m） 点 P 作 l 的垂线的切线方程为 y e m（ x m） 令 x=0，解得 y=em+m 线段 中点的纵坐标为 t= （ 2 m） em+m t= 2 m） em+e m m，令 t=0 解得： m=1 当 m （ 0， 1）时， t 0，当 m （ 1， + ）时， t 0 当 m=1 时 t 取最大值 故答案为： 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a 2b 2c=0且 a+2b 2c+3=0则 最大角的度数是 120 【考点】 余弦定理 【分析】 根据条件可得 b= ， c= ，显 然 c b，假设 c= a，解得 a 1 或 a 3，刚好符合，故最大边为 c，由余弦定理求得 值，即可得到 C 的值 【解答】 解：把 a 2b 2c=0 和 a+2b 2c+3=0 联立可得， b= ，c= ，显然 c b 比较 c 与 a 的大小 因为 b= 0，解得 a 3，（ a 1 的情况很明显为负数舍弃了） 假设 c= a，解得 a 1 或 a 3，刚好符合， 所以 c a，所以最大边为 c 由余弦定理可得 c2=a2+2ab 即 （ ） 2= 2 2a 解得 ， C=120， 故答案为： 120 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 数列 前 n 项和，已知 =（ 是大于 0 的常数），且 ， （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=数列 前 n 项和 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ ）由已知数列递推式可得当 n 2 时， 1+1与原递推式作差可得 = n 2 时 验证 得数列 等比 数列结合已知求得 值，则数列 通项公式可求； （ ）把（ ）中求得的通项公式代入 bn=理后利用错位相减法求数列 前 n 项和 【解答】 解：（ ）由 = 可知 当 n 2 时， 1+1 作差可得 = n 2 时 又 ，故 数列 等比数列 由于 a3=， 0，解得 =2 数 通项公式为： ； （ ）由 ，可知 设数列 n 项和为 则 ， ， 得： = =2n 1 n2n 18某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （ 1）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （ 2）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布表 【分析】 （ 1）因为样本容量是 100，根据表格可知周销售量为 2 吨， 3 吨 和 4 吨的频数，根据所给的频数除以 100，得到要求的频率 （ 2） 表示该种商品两周销售利润的和，且各周的销售量相互独立，根据表格得到变量 的可能取值，对应变量的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出分布列和期望 【解答】 解：（ 1）根据表格可知周销售量为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率分别为 = = （ 2） 的可能值为 8， 10， 12， 14， 16，且 P（ =8） = P（ =10） =2 P（ =12） = P（ =14） =2 P（ =16） = 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0 2 4 6 元） 19如图，正方形 在的平面与平面 直， M 是 交点， C （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的大小 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面 垂直的判定 【分析】 几何法： （ ）由已知得 此能证明 平面 （ ）过 A 作 H，连结 已知得 二面角 A 此能求出二面角 A C 的大小 向量法： （ ）以点 A 为原点，以过 A 点平行于 直线为 x 轴，分别以直线 y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 A 用向量法能证明 平面 （ 2）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角A C 的大小 【解答】 （本小题满分 12 分） 几何 法： （ ）证明： 四边形 正方形， 又 平面 平面 平面 面 又 ， 平面 （ ）解：过 A 作 H，连结 平面 平面 二面角 A C 的平面角， 平面 平面 平面 在 ， B=H， 设 C=a，得， a， a， = ， ， 0 二面角 A C 等于 60 向量法： （ ）证明： 四边形 正方形， 平面 平面 平面 以点 A 为原点，以过 A 点平行于 直线为 x 轴， 分别以直线 y 轴和 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 A 设 C=，则 A（ 0， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 0， 2）， M 是正方形 对角线的交点， M（ 0， 1， 1）， =（ 0， 1， 1）， =（ 0， 2， 2）， ， ， 又 ， 平面 （ 2）设平面 法向量为 ，则 ， ，取 y= 1，则 x=1，则 =（ 1， 1， 0）， 又 为平面 一个法向量， = = ， 设二面角 A C 的平面角为 ，则 |= ， =60， 二面角 A C 等于 60 20已知：向量 =（ ， 0）， O 为坐标原点，动点 M 满足： | + |+| |=4 （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）已知直线 过点 B（ 0， 1），且 轨迹 C 分别交于点 D，E，试探究是否存在这样的直线使得 等腰直角三角形若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由 【考点】 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系 【分析】 （ 1）由： | + |+| |=4， =（ ， 0），知动点 M 的轨迹是以点（ ， 0）为焦点、 4 为长轴长的椭圆，即可求动点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设直线方程，求出 D， E 的坐标，利用 等腰直角三角形，可得|即 = ，从而可得结论 【解答】 解：（ 1）由： | + |+| |=4， =（ ， 0）， 知动点 M 的轨迹是以点（ ， 0）为焦点、 4 为长轴长的椭圆， c= ， a=2， b=1， 所求的方程为 =1 （ 2）设 y=，代入上式得（ 1+4， ， = 以 代 k，得 等腰直角三角形， | = ， |k|（ ） =1+4 k 0 时 变为 4k 1=0， k=1 或 ； k 0 时 变为 k 1=0， k= 1 或 使得 等腰直角三角形的直线共有 3 组 21已知函数 （ 1）当 a=1 时， 1， e使不等式 f（ m，求实数 m 的取值范围； （ 2）若在区间（ 1， + ）上，函数 f（ x）的图象恒在直线 y=2下方，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）将 a 的值代入 f（ x），求出 f（ x）的导函数；，将 1， e使不等式 f（ m 转化为 f（ x）的最小值 小于等于 m，利用 1， e上的函数递增，求出 f（ x）的最小值，令最小值小于等于 m 即可 （ 图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出 a 的范围 【解答】 解：（ I）当 a=1 时， ， 可知当 x 1， e时 f（ x）为增函数， 最小值为 ， 要使 1， e使不等式 f（ m，即 f（ x）