陕西省咸阳市2017届高考二模数学试题（理）含答案

2017 年咸阳市高考模拟考试试题（二） 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . ，集合 1,1, 2 , 4M ， 2 | 2 3 N x x x ，则 () N （ ） A 1,1,2 B 1,2 C 4 D | 1 2 1 iz i （ i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 1 B C i D i p ：“ 1m ”，命题 q ：“直线 0与直线 2 0x m y互相垂直”，则命题 p 是命题 q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 4.张丘建算经卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按 30 天计）共织布 390 尺，最后一天织布 21 尺”，则该女第一天共织多少布？（ ） A 3 B 4 C. 5 D 6 2 1 ( 0 )m x n y m n 的一条渐近线方程为 3，则它的离心率为（ ） A 2 B 233C. 3 或 233D 2 或 这个几何体的表面积是（ ） A 3 B 4 C. 5 D 73知37, 6 1 0 的两根，则5a（ ） A 1 B 1 C. 1 D 3 ，则 61()开式的常数项为（ ） A B 20 C. D 160 0,3x ，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数 a ，则“ 5a ”的概率为（ ） A 23B 56C. 27D ，则 231的取值范围是（ ） A 2 ,113B 3,11 C. 3 ,112D 1,11 的半径为 1， , , ,A B C D 为该圆上四个点，且 A B A C A D，则 的面积最大值 为（ ） A 2 B 1 C. 2 D 3 上的函数 ()()任意 满足 ( ) ( ) 0f x f x，则下列结论正确 的是（ ） A 2 ( ) 3 ( ) B 2 ( ) 3 ( ) C. 2 ( ) 3 ( ) D 2 ( ) 3 ( ) 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 2l o g ( 1 ) , 2()2 , 2x x ，则 ( (3) 1 2 2 ， 91 2 2 3 2 1 2 2 3 3 4 8 ， 251 2 2 3 3 4 4 52 ， ， 根据以上规律，第 n 个不等式是 s i n 3 c o sy x x 的图象可由函数 s i n 3 c o sy x x 的图象至少向左平移 个单位 长度得到 ，则该三棱锥的内切球的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 设函数 2( ) s i n c o s s i n ( ) ( )4f x x x x x R （ 1）求函数 () （ 2）在锐角 中，角 ,对的边分别为 , ( ) 02， 2c ，求 积的最大值 18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为 20 人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋 程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下： （ 1）学校规定：成绩不低于 75 分的优秀，请填写下面的 22 联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 附：参考公式及数据 （ 2）从两个班数学成绩不低于 90 分的同学中随机抽取 3 名，设 为抽取成绩不低于 95 分同学人数，求 的分布列和期望 19. 如图，正三棱柱1 1 1 B C的所有棱长均为 2， D 为棱1E 是 中点 （ 1）若 D 是1明：平面1平面1 （ 2）若平面1夹角为 45 ，求 长 20. 已知动点 M 到定点 (1,0)F 和定直线 4x 的距离之比为 12，设动点 M 的轨迹为曲线C （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）过点 F 作斜率不为 0 的任意一条直线与曲线 C 交于两点 ,问在 x 轴上是否存在一点 P （与点 F 不重合），使得 ，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 21. 已知三次函数 ()2( ) 3 3f x x 且 (0) 1f ，( ) l n ( 1 )ag x x x （ 1）求 () （ 2）求证：对任意12, ( 0 , )，都有12( ) ( )f x g x 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ， 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系， 已知曲线 C 的极坐标方程为：24 co s1 co s ，直线 l 的参数方程是 2 c o s2 s （ t 为参数，0 ） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于两点 ,线段 中点为 (2,2)M ，求 等式选讲 已知函数 ( ) | 4 | ( 0 )f x m x m ，且 2) 0的解集为 3, 1 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 , 1 1 123 ma b c ，求证： 2 3 9a b c 2017 年咸阳市高考模拟考试试题（二） 理科 数学 参考答案 一、选择题： . 、填空题： 13. 1 14. 2( 1 )1 2 2 3 ( 1 )2 15. 2316. 354 三、解答题： 本大题 共 6 小 题， 共 70 分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . (17)（本小题满分 12 分） 解： 11( ) s i n 2 1 c o s ( 2 ) 2 2 2f x x x 1 2x(I)令 2 2 2 ( )22k x k k z ，则 ()44k x k k z 即 () , ( )44k k k z 类似可得 () , ( )44k k k z( )由 ( ) 02得， 1注意到 是锐角三角形， 6C 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sc a b a b C ，将 2c ,6c 代入得 2243a b a b 由基本不等式得 22 4 3 2a b a b a b ，即 4 ( 2 3 ) 1 1 1s i n 4 ( 2 3 ) 2 32 2 2a b C ， 即 面积的 最大值为 23 . (18)（本小题满分 12 分） （ I） 如图所示 由 22 4 0 ( 1 4 1 2 6 8 ) 3 . 6 3 2 . 7 0 62 2 1 8 2 0 2 0K 知 , 可以判断：有 0090 把握认为“成绩优秀与教学方式有关” . ( ) 两个班数学成绩不低于 90 分的同学中 , 成绩不低于 95 分同学人数有 3 名 , 从中随机抽取 3 名 , 0,1, 2,3 34374( 0 )35 , 21433718( 1 )35 ， 12433712( 2 )35 ，33371( 3 )35 0 4 1 1 8 2 1 2 3 1 93 5 7E . （ 19） （本小题满分 12 分） 证明 :（ I） 由 ,A C B C A E B E， 知 B ， 又平面 平面11所以 平面11D 平面11 E 在正方形11 由 分别 是1B 的中点知1 E而1A E ， 平面1 平面1平面1平面1解 :( )取 中点 O 为原点 ,直线 ,别为 ,建立如图所示坐标系O , 显然平面 一个法向量为1 (0, 0,1)n , 而1(1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 2 )设 ( 0 , 3 , ) ( 0 2 )D m m,则 1 ( 2 , 0 , 2 ) , ( 1, 3 , )A C A D m 设2 ( , , )n x y z是平面1则 ( 2 , 0 , 2 ) ( , , ) 0 0( 1 , 3 , ) ( , , ) 0 3 0x y z x zm x y z x y m z 取2 ( 3 , 1 , 3 ),则12 2( 0 , 0 , 1 ) ( 3 , 1 , 3 )c o s ,6 ( 1 ) 23226 (1 )m解得 1m ,即 1 （ 20） （本小题满分 12 分） 解析 : （ I） 法 1：设 ( , )M x y ,则 依题意 有 22( 1 ) 142 整理得 22143,即为曲线 C 的方程 . 法 2：由椭圆第二定义知，曲线 C 是以 (1,0)F 为焦点，以直线 4x 为相应准线，离心率为12 的椭圆，易得曲线 C 的方程 为 22143. （ ）存在 . 设直线1 1 2 2: 1 ( 0 ) , ( 1 , ) , ( 1 , ) , ( , 0 )l x t y t A t y y B t y y P m , 则 22221 3 ( 1 ) 4 1 23 4 1 2x t y t y ，即 22( 3 4 ) 6 9 0t y 1 2 1 22269,3 4 3 4ty y y 由 得 0,即1212011y m t y m 整理得1 2 1 22 ( 1 ) ( ) 0t y y m y y 22962 ( 1 ) 03 4 3 4 解得 4m 综上知 , 在 x 轴上是存在点 (4,0)P 满足题意 . (21)（本小题满分 12 分） 解： （ I） 依题意得 3( ) 3 1f x x x ， 2( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 )f x x x x 知 )( ( , 1) 和 (1, ) 上是减函数，在 ( 1,1) 上是增函数 ( ) ( 1 ) 3f x f 极 小 值， ( ) (1 ) 1f x f极 大 值（ 法 1：易得 0x 时， ( ) 1最 大 值， 依题意知，只要 1 ( ) ( 0 ) 1 l n ( 1 ) ( 0 )ag x x x x a 由 1a 知，只要 22l n 1 ( 0 ) l n 1 0 ( 0 )x x x x x x x x 令 2( ) l n 1 ( 0 )h x x x x x ，则 ( ) 2 l n 1h x x x x 注意到 (1) 0h ，当 1x 时， ( ) 0 ；当 01x时， ( ) 0 ， 即 ()0,1) 上是减函数，在 (1, ) 是增函数， ( ) (1 ) 0h x h最 小 值即 ( ) 0，综上知 对任意12, ( 0 , )，都有12( ) ( )f x g x法 2： 易得 0x 时， ( ) 1最 大 值， 由 1a 知 , 1( ) l n ( 0 )g x x x ,令 1( ) l n ( 0 )h x x x 则 22211( ) l n 1 l n xh x x 注意到 (1) 0h ，当 1x 时， ( ) 0 ；当 01x时， ( ) 0 ， 即 ()0,1) 上是减函数，在 (1, ) 是增函数， ( ) (1 ) 1h x h最 小 值，所以 ( ) 1最 小 值, 即 ( ) 1最 小 值. 综上知 对任意12, ( 0 , )，都有12( ) ( )f x g x. 法 3: 易得 0x 时， ( ) 1最 大 值， 由 1a 知 , 1( ) l n ( 0 )g x x x , 令 1( ) l n ( 0 )h x x x , 则21( ) l n 1 ( 0 )h x x 令21( ) l n 1 ( 0 )x x , 则311( ) 0x , 知 ()x 在 (0, ) 递增 ,注意到(1) 0 ,所以 , () (0,1) 上是减函数，在 (1, ) 是增函数 ,有 ( ) 1最 小 值 ,即( ) 1最 小 值 综上知 对任意12, ( 0 , )，都有12( ) ( )f x g x. 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 . （ I）曲线24 c o s: 1 c o ,即 2s i n 4 c o s , 于是有 22s i n 4 c o s , 化为直角坐标方程为 : 2 4 （ 方法 1: 2242 c o s ( 2 s i n ) 4 ( 2 c o s )2 s i t t 即 22s i n ( 4 s i n 4 c o s ) 4 0 由 中点 为 (2,2)M 得120,有 4 s i n 4 c o s 0,所以 k 由 0 得4方法 2:设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y,则 2111 2 1 2 1 22224 ( ) ( ) 4 ( )4yx y y y y x x , 124,1212t a n 1l ,由 0 得 4 . 方法 3: 设 22121 2 1 2( , ) , ( , ) , ( )44y B y y y,则 由 (2,2)M 是 中点得 2212 121212444404yy , 12120, 4,知 (0 , 0 ), ( 4 , 4 ) ,由 0 得4. 方法 4:依题意设直线 : 2 ( 2 )l y k x ,与 2 4联立得 22 ( 2 )4 , 即 2 4 8 8 0k y y k 由124 4yy k 得 k ,因为 0 ,所以4. （ 23） 解 : （ I） 依题意 ( 2 ) 2 0f x m x ,即 2 2 2x m m x m , 1m （