湖南省长沙市2016年中考直升数学试卷含答案解析

第 1 页（共 30 页） 2016年湖南省长沙市中考直升数学试卷 一、选择题 1 5的倒数是（ ） A 5 B C 5 D 2下列四个数 2， 0， 中，属于无理数的是（ ） A 2 B 0 C 3下列等式成立的是（ ） A a2a5= C（ 6= 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 5某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射 击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 7， 7 B 8， 7， 8， 下列函数中， y随 ） A y=x B y= y= D y= （ x 0） 7如图， 旗杆 得 米， 0 ，则拉线 ） 第 2 页（共 30 页） A 6 B 6 C D 8如图，直线 1=35 ， 2=75 ，则 3等于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 9如图，线段 的直径，弦 果 0 ，那么 ） A 20 B 30 C 35 D 70 10在 以下步骤作图： 分别以 A， 于 交于两点M， N； 作直线 ，连接 C， A=35 ，则 C=（ ） A 40 B 50 C 60 D 70 11如图，在 0 ， B=30 ， ，将 逆时针旋转至 ABC ，使得点 A 恰好落在 AB 与 ，则 A面积为（ ） 第 3 页（共 30 页） A 1 B C D 2 12如图， ， 0 ， A=30 ， 6，点 P 是斜边 任意一点，过点 P 作 B，垂足为 P，交边 边 点 Q，设 AP=x， 面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 13单项式 的次数是 14在函数 y= 中，自变量 15生物学家发现一种病毒的长度约为 科学记数法表示这个数为 16某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心， 2m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 17平行四边形中， 两条对角线，现从以下四个关系中（ 1） C（ 2） D（ 3） D（ 4） 可推出平行四边形 18已知 m、 x+1=0的两根，则代数式 值为 第 4 页（共 30 页） 三、解答题 19计算： 2 2 2+| |+（ ） 0 20解不等式组： ，并写出它 的所有整数解 21某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有 A、 B、 C 三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（ 1）： A B C 笔试 85 95 90 口试 m 80 85 （ 1） m= ，并将图（ 1）补充完整； （ 2）竞选的最后一个程序是由本校的 300名学生代表进行投票，每票计 1分，三名候选人的得分情况如图（ 2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）； 若将笔试、 口试、得票三项测试得分按 4： 3： 3的比例确定最后成绩，请计算学生 若 A、 B、 C 三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程） 22如图， 0 ， 别过点 C， A， ，连接 （ 1）求证：四边形 （ 2）若 0， ，求菱形 23某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书甲工程队每天施工费需 12 万元， 第 5 页（共 30 页） 乙工程队每天施工费需 5万元工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测得，有如下三种方案： 由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全； 由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用 6天； 先由甲、乙两队合做 3天，余下的工程再由乙队单独做，正好如期完成 试问： （ 1）这项工程的工期是多少天？ （ 2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由 24如图 ，在 B、 点 M， N，点 P 在 （ 1）求证：直线 （ 2）若 ， ，求 25在平面直角坐标系 ，对于点 P（ a， b）和点 Q（ a， b ），给出如下定义： 若 b= ，则称点 的限变点例如：点（ 2， 3）的限变点的坐标是（ 2， 3），点（ 2， 5）的限变点的坐标是（ 2， 5） （ 1） 点 的限变点的坐标是 ； 在点 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）中有一个点是函数 图象上某一个点的限变点，这个点是 ； （ 2）若点 y= x+3（ 2 x k， k 2）的图象上，其限变点 b 的取值范围是 5 b 2，求 范围 ； （ 3）若点 y=2tx+t2+限变点 b 的取值范围是b m或 b n，其中 m n令 s=m n，求 第 6 页（共 30 页） 26如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）的图象经过点 A， B， C，已知点 3， 0），点 1， 0），点 C在 y 轴的正半轴，且 0 （ 1）求抛物线的函数解析式； （ 2）若直线 l： y= x+开始沿 别交 、 E 当 m 0 时，在线段 否存在点 P，使得点 P， D， E 构成等腰直角三角形？若存在，求出点 不存在，请说明理由 以动直线 l 为对称轴，线段 于直线 l 的对称线段 AC 与二次函数图象有交点，请直接写出 第 7 页（共 30 页） 2016年湖南省长沙市中考直升数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1 5的倒数是（ ） A 5 B C 5 D 【考点】倒数 【分析】乘积是 1的两数互为倒数，所以 5的倒数是 【解答】解： 5与 的乘积是 1， 所以 5 的倒数是 故选： D 【点评】本题主要考查倒数的概念：乘积是 1的两数互为倒数 2下列四个数 2， 0， 中，属于无理数的是（ ） A 2 B 0 C 【考点】无理数 【分析】根据无理数的三种形式求解 【解答】解：无理数为 故选 D 【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式： 开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有 的数 3下列等式成立的是（ ） A a5= C（ 6= 【考点】二次根式的性质与化简；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】计算题 【分析】利用同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义即可作出判断 第 8 页（共 30 页） 【解答】解： A、 a5=选项错误； B、当 a=b=1时， + ，故选项错误； C、正确； D、当 a 0时， = a，故选项错误 故选 C 【点评】本题考查了同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方、算术平方根定义，理解算术平方根的定义是关键 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答 【解答】解：从上往下看，该几何体是从左到右排成一排的三个长方形，其中左右两个长方形是一样大小，故选 B 【点评】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题 5某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 7， 7 B 8， 7， 8， 考点】众数；条形统计图；中位数 【专题】图表型 第 9 页（共 30 页） 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出 【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组， 7环，故众数是 7（环）； 因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是 7（环）、 8（环）， 故中位数是 ） 故选 C 【点评】本题考查的是众数和中位数的定义要注意，当所给数据有单位时，所求得的众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位 6下列函数中， y随 ） A y=x B y= y= D y= （ x 0） 【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质 【分析】分别根据一次函数及反比例函数的性质进行解答即可 【解答】解： A、 一次函数 y=k=1 0， y随 本选项错误； B、 二次函数 y=a=1 0，开口向上， 在对称轴的右侧 y随 本选项错误； C、 反比例函数 y= 中， k=2 0， 在每一象限内， y随 本选项错误； D、 反比例函数 y= 中， k=4 0， 当 x 0时， y随 x 的增大而减小，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，熟知一次函数及反 比例函数的增减性是解答此题的关键 7如图， 旗杆 得 米， 0 ，则拉线 ） A 6 B 6 C D 【考点】解直角三角形的应用 第 10 页（共 30 页） 【分析】根据余弦定义： 可得 【解答】解： 米， 0 ， 拉线 ， 故选： D 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握余弦定义 8如图，直线 1=35 ， 2=75 ，则 3等于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 【考点】平行线的性质 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 4= 2，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解 【解答】解： 4= 2=75 ， 3=180 1 4=180 35 75=70 故选 D 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键 9如图，线段 的直径，弦 果 0 ，那么 ） 第 11 页（共 30 页） A 20 B 30 C 35 D 70 【考点】圆周角定理；垂径定理 【专题】计算题 【分析】先根据垂径定理得到 = ，然后根据圆周角定理得 5 【解答】解： 弦 直径 = ， 70=35 故选 C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理 10在 以下步骤作图： 分别以 A， 于 交于两点M， N； 作直线 ，连接 C， A=35 ，则 C=（ ） A 40 B 50 C 60 D 70 【考点】作图 基本作图 【分析】首先根据作图过程得到 B，然后利用中垂线的性质得到 A= 后利用三角形外角的性质求得 度数，从而可以求得 C 的度数 【解答】解： 根据作图过程和痕迹发现 B， B， 第 12 页（共 30 页） A=35 ， C， A=70 ， C=40 ， 故选 A 【点评】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大 11如图，在 0 ， B=30 ， ，将 逆时针旋转至 ABC ，使得点 A 恰好落在 AB 与 ，则 A面积为（ ） A 1 B C D 2 【考点】旋转的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】首先证明 是等边三角形，再证明 是直角三角形，求出 AD 即可解决问题 【解答】解：在 0 ， ， 0 ， ， = =2 ， A=90 B=30 ， A ， 是等边三角形， C=2 ， AC=AB=2 ， A B=30 ， =60 ， 180 A =90 ， AD= AC=1 ， = ， 第 13 页（共 30 页） S A 1 = 故选 B 【点评】本题考查性质的性质、直角三角形 30度角性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型 12如图， ， 0 ， A=30 ， 6，点 P 是斜边 任意一点，过点 P 作 B，垂足为 P，交边 边 点 Q，设 AP=x， 面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】分点 C 上和 【解答】 解：当点 A=30 ， AP=x， PQ= x， y= x x= 当点 C 上时，如下图所示： 第 14 页（共 30 页） AP=x， 6， A=30 ， 6 x， B=60 ， P （ 16 x） S x （ 16 x） = x， 该函数图象前半部分 是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下， 故选： D 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点 C 上这种情况 二、填空题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 13单项式 的次数是 3 【考点】单项式 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 【解答】解： 的次数是 2+1=3， 故答案为： 3 【点评】本题考查了单项式的次数和系数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键 14在函数 y= 中，自变量 x 2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， x 2 0， 解得 x 2 故答案为： x 2 第 15 页（共 30 页） 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可 取全体实数；（ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 15生物学家发现一种病毒的长度约为 科学记数法表示这个数为 10 7 【考点】科学记数法 表示较小的数 【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解： 0043=10 7； 故答案为： 10 7 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10 n，其中 1 |a| 10， 的个数所决定 16某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心， 2m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是 6m 2 【考点】多边形内角与外角 【专题】计算题 【分析】先根据多边形的内角和定理得到五边形的内角 和 =（ 5 2） 180=540 ，然后根据扇形的面积公式得到五个扇形的面积和 = =6 【解答】解： 五边形的内角和 =（ 5 2） 180=540 ， 五个扇形的面积和 = =6 ， 种上花草的扇形区域总面积 6m 2 故答案为 6m 2 【点评】本题考查了多边形的内角和定理： n 2） 180 也考查了扇形的面积公式 第 16 页（共 30 页） 17平行四边形中， 两条对角线，现从以下 四个关系中（ 1） C（ 2） D（ 3） D（ 4） 可推出平行四边形 【考点】概率公式；平行四边形的性质；菱形的判定 【专题】探究型 【分析】根据题意画出图形，再由菱形的判定定理对四个选项进行逐一判断，找出正确的条件个数，再根据概率公式即可解答 【解答】解：四边形 （ 1）若 C，则 C=D，符合 “ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ” 的判 定定理，故此小题正确； （ 2）若 D，则此平行四边形是矩形，故此小题错误； （ 3）若 合 “ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ” 的判定定理，此小题正确； （ 4）若 此平行四边形是矩形，故此小题错误 故正确的有（ 1）、（ 3）两个， 所以可推出平行四边形 菱形的概率为： = 故答案为： 【点评】本题考查的是 概率公式及菱形的判定定理，解答此题的关键是熟知概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 （ A） = 18已知 m、 x+1=0的两根，则代数式 值为 3 【考点】根与系数的关系；二次根式的性质与化简 【分析】根据一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系得到 m+n= 2 ， ，再变形得 ，然后把 m+n= 2 ， 整体代入计算即可 【解答】解： m、 x+1=0的两根， m+n= 2 ， ， = = =3 第 17 页（共 30 页） 故答案为： 3 【点评】本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根与系数的关系：若方程两根分别为 x1， x1+ ， 也考查了二次根式的化简求值 三、解答题 19计算： 2 2 2+| |+（ ） 0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式 = 2 +2 +1= +2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20解不等式组： ，并写出它的所有整数解 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【专题】常规题型 【分析】先求出不等式组的解，然后写出满足题意的整数解即可 【解答】解： 解不等式 ，得 x 2 解不等式 ，得 x 1 即：原不等式组的解为： 1 x 2 故满足条件的整数解为： 0， 1 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解问题，关键是掌握一元一次不等式组的求解法则：同大取大、同小取小、大小小大中间找 21某校举办初中生演讲比赛，每班派两名学生参赛，现某班有 A、 B、 C 三名学生竞选，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表和图（ 1）： 第 18 页（共 30 页） A B C 笔试 85 95 90 口试 m 80 85 （ 1） m= 90 ，并将图（ 1）补充完整； （ 2）竞选的最后一个程序是由本校的 300名学生代表进行投票，每票计 1分，三名候选人的得分情况如图（ 2）（没有弃权票，每名学生只能推荐一人）； 若将笔试、口试、得票三项测试得分按 4： 3： 3的比例确定最后成绩，请计算学生 若 A、 B、 C 三名学生中有一名男生，两名女生，选其中两名学生参赛，求恰好选中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程） 【考点】列表法与树状图法；加权平均数；概 率公式 【专题】计算题 【分析】（ 1）通过条形统计图可得 后补全条形统计图； （ 2）用 300乘以 35%得到学生 后把笔试、口试、得票三项分别乘以 （ 3）画树状展示所有 6种等可能的结果数，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：（ 1） m=90， 如图， 第 19 页（共 30 页） 故答案为 90； （ 2） 学生 85 0 00 35% ）； 画 树状图： 共有 6种等可能的结果数，其中一男一女的结果数为 4， 所以恰好选中一男一女的概率 = = 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 的概率也考查了统计图 22如图， 0 ， 别过 点 C， A， ，连接 （ 1）求证：四边形 （ 2）若 0， ，求菱形 【考点】解直角三角形；菱形的判定与性质 【分析】（ 1）根据 出 B，在 ，根据 边 的中线，得出四边形 出 0 ，从而得出四 边形 （ 2）在 据 = ，设 BC=x，得出 x，再根据勾股定理求出 为四边形 出 C=2 ，最后根据 值计算即可 【解答】解：（ 1） 四边形 B， 在 B 上的中线， B= 第 20 页（共 30 页） D， 四边形 0 ， 0 ， 四边形 （ 2）在 = ， 设 BC=x， x， 由勾股定理得： 2x） 2=102， 解得： x=2 ， 四边形 C=2 ， 4 2 =20 【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定以及面积的 计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题 23某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书甲工程队每天施工费需 12 万元，乙工程队每天施工费需 5万元工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测得，有如下三种方案： 由甲队单独完成这项工程，刚好如期完全； 由乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用 6天； 先由甲、乙两队合做 3天，余下的工程再由乙队单独做，正好如期完成 试问： （ 1）这项工程的工期是多少天？ （ 2）在不耽误工期前提下，你觉得哪一种施工方案所需费用最节省？请说明理由 【考点】 分式方程的应用 【分析】（ 1）首先设这项工程规定日期是 x 天，由题意得等量关系：甲单独干 3 天的工作量 +乙干 第 21 页（共 30 页） x 天的工作量 =1，根据等量关系列出方程即可； （ 2）根据（ 1）的结果计算出 的花费，进行比较即可 【解答】解：（ 1）设这项工程规定日期是 题意得： + =1， 解得： x=6， 经检验： x=6是分式方程的解， 答：这项工程规定日期是 6 天； （ 2）方案 ：甲队单独完成的费用： 6 12=72（万元）， 方案 ：延误工期，故舍去， 方案 ： 3 12+6 5=66（万元）， 答：方案 最节省工程款 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 24如图，在 B、 点 M， N，点 P 在 （ 1）求证：直线 （ 2）若 ， ，求 【考点】切线的判定；解直角三角形 【分析】（ 1）欲证明直线 需证得 （ 2）利用正弦三角函数的定义求得 O 的直径 ，则 O 的半径为 如图，过点 B 作 ，构建相似三角形： 以根据相似三角形的对应边成比例求得线段 ；然 第 22 页（共 30 页） 后在直角 用勾股定理可以求得 ，所以利用平行线分线段成比 例分别求得线段 【解答】（ 1）证明：连接 C， N， 0 ， 0 ， （ 2）解： 0 ， ， = ， ， 如图，过点 D 由（ 1）得 N= ， 在 =2 ， 在 0 ， = ， 第 23 页（共 30 页） 在 =2， C 2=3， = ， = ， C+P=20 【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中 25在平面直角坐标系 ，对于点 P（ a， b）和点 Q（ a， b ），给出如下定义： 若 b= ，则称点 的限变点例如：点（ 2， 3）的限变点的坐标是（ 2， 3），点（ 2， 5）的限变点的坐标是（ 2， 5） （ 1） 点 的限变点的坐标是 （ ， 1） ； 在点 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）中有一个点是函数 图象上某一个点的限变点，这个点是 点B ； （ 2）若点 y= x+3（ 2 x k， k 2）的图象上，其限变点 b 的取值范围是 5 b 2，求 5 k 8 ； （ 3）若点 y=2tx+t2+限变点 b 的取值范围是b m或 b n，其中 m n令 s=m n，求 s 2 第 24 页（共 30 页） 【考点】二次函数综合题 【分析】（ 1） 直接根据限变点的定义直接得出答案； 点（ 1， 2）在反比例函数 图象上，点（ 1， 2）的限变点为（ 1， 2），据此得到答案； （ 2）根据题意可知 y= x+3（ x 2）图象上的点 P 的限变点必在函数 y= 的图象上，结合图象即可得到答案； （ 3）首先求出 y=2tx+t2+合 的关系确定 而用 m和 s，根据 【解答】解：（ 1） 根据限变点的定义可知点 的限变点的坐标为（ ， 1）； （ 1， 2）限变点为（ 1， 2），即这个点是点 B （ 2）依题意， y= x+3（ x 2）图象上的点 y= 的图象上 b 2，即当 x=1时， b 取最大值 2 当 b= 2时， 2= x+3 x=5 当 b= 5时， 5=x 3或 5= x+3 x= 2 或 x=8 5 b 2， 由图象可知， k 8 （ 3） y=2tx+t2+t=（ x t） 2+t， 第 25 页（共 30 页） 顶点坐标为（ t， t） 若 t 1， b 的取值范围是 b m或