江苏省南通市如皋市2017年高考数学一模试卷含答案解析

2017 年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1设全集 U=x|x 3， x N，集合 A=x|10， x N，则 2复数 z= （ i 为虚数单位）的共轭复数是 3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6），则事件 “向上的数字为奇数或向上的数字大于 4”发生的概率为 4如图所示的流程图，当输入 n 的值为 10 时，则输出的 S 的值为 5已知等差数列 前 11 项的和为 55， ，则 6若点（ x， y）位于曲线 y=|2x 1|与 y=3 所围成的封闭区域内（包含边界），则 2x y 的最小值为 7已知棱长为 1 的正方体 ， M 是棱 中点，则三棱锥体积为 8已知圆 C 过点（ 2， ），且与直线 x y+3=0 相切于点（ 0， ），则圆C 的方程为 9已知 别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 x 轴的垂线与双曲线交于 A、 B 两点， G 是 重心，且 =0，则双曲线的离心率为 10已知三角形 单位圆 的内接三角形， C=1，过点 A 作 垂线交单位圆于点 D，则 = 11已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集为 12将函数 f（ x） =2图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象，若对满足 |f（ g（ |=4 的 |x2|，则= 13已知函数 f（ x） =（ x 1） y=f（ x 0， 上有且仅有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 14设实数 x、 y 满足 42 3，则 取值范围是 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15（ 14 分）如图，直三棱柱 ， B， N 是中点 （ 1）求证：直线 平面 （ 2）若 M 在线段 ，且 平面 证： M 是 中点 16（ 14 分）在 ，已知 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 A ） = ，求 17（ 15 分）如图，矩形公园 ， 园的左下角阴影部分为以 O 为圆心，半径为 1 圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路 E、 F 分别在边 ）， D 为切点 （ 1）试求观光道路 度的最大值； （ 2）公园计划在道路 侧种植草坪，试求草坪 积 S 的最大值 18（ 15 分）如图，已知 F 为椭圆 + =1 的左焦点，过点 F 且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A、 B 及 C、 D （ 1）求证： + 为定值； （ 2）若直线 直线 l： x= 于点 P，试探究四边形 否为平行四 边形，并说明理由 19（ 16 分）已知函数 f（ x） =g（ x） = （ a R） （ 1）若 a=2，求证： f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； （ 2）讨论 h（ x） =f（ x） g（ x）的单调性； （ 3）求证：当 x 0 时， f（ x+1） 20（ 16 分）已知数列 通项公式为 n（ 1） n， n N* （ 1）在数列 ，是否存在连续 3 项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由； （ 2）试证在数列 ，一定存在满足条件 1 r s 的正整数 r、 s，使得 ar、等差数列；并求出正整数 r、 s 之间的关系； （ 3）在数列 是否存在某 4 项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由 附加题 21（ 10 分）已知 a、 b 是实数，矩阵 M= 所对应的变换 T 将点（ 2， 2）变成了点 P（ 1， +1） （ 1）求实数 a、 b 的值； （ 2）求矩阵 M 的逆矩阵 N 22（ 10 分）已知曲线 极坐标方程为 2 44=0，曲线 曲线 = 对称，求曲线 极坐标方程 23（ 10 分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋 、舞蹈、阅读、游泳 5 个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加 3 个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选 2 个，同学乙和丙从 5 个课外活动中任选 3 个 （ 1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率； （ 2）设 X 表示参加舞蹈的同学人数，求 X 的分布列及数学期望 24（ 10 分）已知集合 A=a n（ n N*），规定：若集合 （ m 2， m N*），则称 ， 集合 A 的一个分拆，当且仅当： 1， 2， A m=， ， ， 同一分拆，所有不同的分拆种数记为 m）例如：当 n=1， m=2 时，集合A=所有分拆为： ， 即 2） =3 （ 1）求 2）； （ 2）试用 m、 n 表示 m）； （ 3）证明： i）与 m 同为奇数或者同为偶数（当 i=1 时，规定 1） =1） 2017 年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1设全集 U=x|x 3， x N，集合 A=x|10， x N，则 3 【考点】 补集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出 A，求出 【解答】 解： 全集 U=x|x 3， x N， A=x|10， x N=x|x ， x N， x|3 x ， x N=3， 故答案为： 3 【点评】 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2复数 z= （ i 为虚数单位）的共轭复数是 【考点】 复数代 数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z= = ， = 故答案为： 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6），则事件 “向上的数字为奇数或向上的数字大于 4”发生的概率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 分别求出 P（向上的数字为奇数）， p（向上的数字大于 4）， p（向上的数字为奇数且向上的数字大于 4），从而求出向上的数字为奇数 或向上的数字大于 4”发生的概率即可 【解答】 解： P（向上的数字为奇数或向上的数字大于 4） =P（向上的数字为奇数） +p（向上的数字大于 4） p（向上的数字为奇数且向上的数字大于 4） = + = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了古典概型问题，是一道基础题 4如图所示的流程图，当输入 n 的值为 10 时，则输出的 S 的值为 30 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为 n 2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=10， S=0 不满足条件 n 2，执行循环体， S=10， n=8 不满足条件 n 2，执行循环体， S=18， n=6 不满足条件 n 2，执行循环体， S=24， n=4 不满足条件 n 2，执行循环体， S=28， n=2 不满足条件 n 2，执行循环体， S=30， n=0 满足条件 n 2，退出循环，输出 S 的值为 30 故答案为： 30 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题 5已知等差数列 前 11 项的和 为 55， ，则 13 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第 14 项 【解答】 解： 等差数列 前 11 项的和为 55， ， ， 解得 ， d=1， 3d=0+13=13 故答案为： 13 【点评】 本题考查数列的第 14 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 6若点（ x， y）位于曲线 y=|2x 1|与 y=3 所围成的封闭区域内（包含边界），则 2x y 的最小值为 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设 z=2x y，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】 解：作出曲线 y=|2x 1|与 y=3 所围成的封闭区域内（包括边界）如图： 设 z=2x y，则 y=2x z， 平移直线 y=2x z， 由图象可知当直线 y=2x z 经过点 A 时，直线 y=2x z 的截距最小，此时 z 最大， 由 ，解得 A（ 1， 3），此时 z= 2 1 3= 5， 故答案为： 5 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 7 已知棱长为 1 的正方体 ， M 是棱 中点，则三棱锥体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 三棱锥 体积为 ，由此能求出结果 【解答】 解： 棱长为 1 的正方体 ， M 是棱 中点， 三棱锥 体积为： = = = 故答案为： 【点评】 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用 8已知圆 C 过点（ 2， ），且与直线 x y+3=0 相切于点（ 0， ），则圆C 的方程为 （ x 1） 2+ 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设出圆心坐标，利用知圆 C 过点（ 2， ），且与直线 x y+3=0 相切于点（ 0， ），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程 【解答】 解：设圆心为（ a， b），则 ， 解得 a=1， b=0， r=2 即所求圆的方程为（ x 1） 2+， 故答案为（ x 1） 2+ 【点评】 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键 9已知 别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 x 轴的垂线与双曲线交于 A、 B 两点， G 是 重心，且 =0，则双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 c， 0）， c， 0），将 x=c 代入双曲线的方程，可得 A， 由三角形的重心坐标公式，求得 G 的坐标，得到 ， 的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得 a， b， c 的方程，由离心率公式，解方程可得 【解答】 解：设 c， 0）， c， 0）， 令 x=c 代入双曲线的方程，可得 y2= 1） = ， 解得 y= ， 可设 A（ c， ）， B（ c， ）， 由重心坐标公式可得 = c； ， 即 G（ c， 0）， =（ c， ）， =（ 2c， ）， 由 = c2c+（ ） （ ） =0， 即 4 即为 2（ 由 e= ，可得 2e =0， 解得 e= 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题 10已知三角形 单位圆的内接三角形， C=1，过点 A 作 垂线交单位圆于点 D，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案 【解答】 解：由题意作图如下， 则 A（ 1， 0）， B（ ， ）， C（ ， ）， D（ 1， 0） = 故答案为： 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 11已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集为 （ 2， 1） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 画出函数 f（ x）的，可知 f（ x）是定义域为 R 的奇函数也是增函数，即可 求不等式 f（ 2） +f（ x） 0 的解集 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 其图象如下： f（ x）是定义域为 R 的奇函数也是增函数， 不等式 f（ 2） +f（ x） 0， f（ 2） f（ x） 等价于 2 x， 解得： 2 x 1， 原不等式的解集为（ 2， 1） 故答案为：（ 2， 1） 【点评】 本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题 12将函数 f（ x） =2图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象，若对满足 |f（ g（ |=4 的 |x2|，则= 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由题意求出 g（ x）的解析式，对满足 |f（ g（ |=4 的 x2|，即两个函数的最大值与最小值的差为 4 时，有 |x2|，不妨设 ，则 ，根据 0 ，可得 的值 【解答】 解：将函数 f（ x） =2图象向右平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x） =22x 2）， 对满足 |f（ g（ |=4 的 |x2|， 即两个函数的最大值与最小值的差为 4 时，有 |x2|， 不妨设 ，则 ， 0 ， 若 ， ， 此时 g（ =222） = 2，解得 = （舍去） 若 ， ， 此时 g（ =222） = 2，解得 = ，满足题意 的值为 故答案为 【点评】 本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力属于中档题 13已知函数 f（ x） =（ x 1） y=f（ x 0， 上有且仅有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 a 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理 【分析】 求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） =（ x 1） 得 f（ x） =x（ 2a）， 令 x（ 2a） =0 可得， x=0 或 a，当 a 0 时，函数只有一个零点，并且 x=0是函数的一个极小值点， 并且 f（ 0） = 1 0，若 y=f（ x 0， 上有且仅有两个不同的零点， 也就是若 y=f（ x）在 x 1， 1上有且仅有两个不同的零点， 可得： ，即 ，可得 a 当 a 0 可得：函数两个极值点为： x=0， x=2a），如果 2a） 0，因为 f（ 0） 0，可知不满足题意； 如果 2a） 0，必有可得： ，即 ，可得 a 与 a 0 矛盾； 综上： a 故答案为： a 【点评】 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力 14 设实数 x 、 y 满足 4 2 3 ， 则 取值范围是 【考点】 基本不等式 【分析】 设 y2= x=y= 入 42 3，可得= ，利用三角函数的单调性即可得出 【解答】 解：设 y2= x=y= 42 3， = = ， = 1 时， 得最小值： =10 4 ； =1 时， 得最大值： =10+4 综上可得： 即 取值范围是 故答案为： 【 点评】 本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15（ 14 分）（ 2017如皋市一模）如图，直三棱柱 ， B， N 是 中点 （ 1）求证：直线 平面 （ 2）若 M 在线段 ，且 平面 证： M 是 中点 【考点】 平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 可证明直线 平面 （ 2）证明 用 N 是 中点，可得结论 【解答】 证明：（ 1） 直三棱柱 平面 面 ， 平面 （ 3 分） 面 B，且 N 是 中点， ， 直线 平面 （ 7 分） （ 2）证明： 平面 N 是 中点， M 是 中点 （ 14 分） 【点评】 本题考 查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16（ 14 分）（ 2017如皋市一模）在 ，已知 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 A ） = ，求 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值 【分析】 （ 1）利用三角形内角和定理消去 C，化简可得 B 的大小 （ 2）利用换元法，把 A 换出来，与三角形内角和定相结合，把 C 表示出来即可求值 【解答】 解：（ 1）由 +（ ） =0， 根据三角形内角和定理消去 C， 则 +（ ） = A+B） +（ ） = ； 由 0，则有 B （ 0， ）， 故得 B= （ 2） A ） = ， 令 A =t，即 ， ， ， 则 A= ， 那么： A B） =） =2t+ ） = 由 ， ， ， ， 故得 【点评】 本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力属于中档题 17（ 15 分）（ 2017如皋市一模）如图，矩形公园 ， 园的左下角阴影部分为以 O 为圆心，半径为 1 圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路 E、 F 分别在边 ）， D 为切点 （ 1）试求观光道路 度的最大值； （ 2）公园计划在道路 侧种植草坪，试求草坪 积 S 的最大值 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出 ，分别求出 而求出 表达式，求出 最大值即可； （ 2）求出 S=S 矩形 S 梯形 表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 S 的最大值即可 【解答】 解：（ 1）设 ，因为点 E、 F 分别在边 ， 所以 0 ，则 ， 在 ， DE= 在 ， DF= ） = = ， E+DF= = ， 0 ， 当 = 时， ， ； （ 2）在 ， ， 由（ 1）可得 F= ， S=S 矩形 S 梯形 + （ 0 ）， S= ，令 S 0，解得： 0 ， （ 0， ） （ ， ） S + 0 S 极大值 因为 S 在 （ 0， 时有且仅有一个极大值， 因此这个极大值也即 S 的 最大值 当 = 时， ； 答：（ 1）观光道路 度的最大值为 2 （ 2）草坪面积 S 的最大值为 2 【点评】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题 18（ 15 分）（ 2017如皋市一模）如图，已知 F 为椭圆 + =1 的左焦点，过点 F 且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A、 B 及 C、 D （ 1）求证： + 为定值； （ 2）若直线 直线 l： x= 于点 P，试探究四边形 否为平行四边形，并说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析 】 （ 1）当直线 一平行于 x 轴时， + = ，当直线 D 都不平行于 x 轴时，设 A（ B（ 直线 y=k（ x+1），则直线 y= （ x+1），将直线直线 椭圆方程联立 ，得（ 3+412=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出 理求出 此能证明 = （ 2）假设四边形 平行四边形，即 ，此时直线 不平行于 x 轴 P（ ， ），则 =（ =（ ， ），推导出 ，无解，由此得到四边形 可能是平行四边形 【解答】 证明：（ 1）当直线 一平行于 x 轴时， + = = = ， （ 2 分） 当直线 不平行于 x 轴时，设 A（ B（ 直线 AB：y=k（ x+1）， 则直线 y= （ x+1）， 将直线直线 椭圆方程联立 ， 整理，得（ 3+412=0， x1+， | = = ， 同理： ， （ 6 分） = = = 综上： = 故 + 为定值 （ 8 分 ） （ 2）假设四边形 平行四边形，即 ，此时直线 不平行于 x 轴 由（ 1），得 P（ ， ），则 =（ =（ ， ）， ，即 ， （ 12 分） 又 x1+，则 y1+y2=k（ ） +k（ ） =k（ x1+） ，解得 ，无解 （ 14 分） 四边形 可能是平行四边形 （ 15 分） 【点评】 本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用 19（ 16 分）（ 2017如皋市一模）已知函数 f（ x） =g（ x） = （ a R） （ 1）若 a=2，求证： f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； （ 2）讨论 h（ x） =f（ x） g（ x）的单调性； （ 3）求证：当 x 0 时， f（ x+1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）设 h（ x） =f（ x） g（ x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可； （ 2）求出函数 h（ x）的导数，通过讨论 a 的范围，判断 h（ x）的单调性即可； （ 3）问题转化为证明 ，即证 22x 2 0，设 （ x） =2ex2x 2，根据函数的单调性证明即可 【解答】 证明：（ 1）当 a=2 时，设 h（ x） =f（ x） g（ x） =， h（ x） = = ， 所以 h（ x） 0 在（ 1， + ）恒成立， h（ x）在（ 1， + ）上单调递增， 所以 h（ x） h（ 1） =0， 所以 f（ x） g（ x）在（ 1， + ）恒成立； 解：（ 2） h（ x） = ， 令 h（ x） =0，即 2（ a 1） x+1=0， =4（ a 1） 2 4=0，解得： a=0 或 a=2， 若 0 a 2，此时 0， h（ x） 0 在（ 0， + ）恒成立， 所以 h（ x）在（ 0， + ）单调递增； 若 a 2，此时 0， 方程 2（ a 1） x+1=0 的两根为 2=（ a 1） ，且 2 0， 所以 h（ x）在（ 0， a 1 ）上单调递增， 在（ a 1 ， a 1+ ）上单调递减， 在（ a 1+ ， + ）上单调递增； 若 a 0，此时 0， 方程 2（ a 1） x+1=0 的两根为 2=（ a 1） ，且 2 0， 所以 h（ x）在（ 0， + ）上单调递增； 综上，若 a 2， h（ x）在（ 0， + ）单调递增， 若 a 2， h（ x）在（ 0， a 1 ），（ a 1+ ， + ）上单调递增， 在（ a 1 ， a 1+ ）上单调递减； 证明：（ 3）由（ 1）可知 在（ 1， + ）恒成立， 所以 f（ x+1） =x+1） 在（ 0， + ）恒成立， 下证 ，即证 22x 2 0， 设 （ x） =22x 2， （ x） =22x 2， （ x） =22， 易知 （ x） 0 在（ 0， + ）恒成立， 所以 （ x）在（ 0， + ）单调递增， 所以 （ x） =22x 2 （ 0） =0， 所以 （ x）在（ 0， + ）单调递增， 所以 （ x） （ 0） =0， 所以 ， 即当 x 0 时， f（ x+1） 【点评】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题 20（ 16 分）（ 2017如皋市一模）已知数列 通项公式为 n（ 1） n，n N* （ 1）在数列 ，是否存在连续 3 项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由； （ 2）试证在数列 ，一定存在满足条件 1 r s 的正整数 r、 s，使得 ar、等差数列；并 求出正整数 r、 s 之间的关系； （ 3）在数列 是否存在某 4 项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 （ 1）若存在连续的三项 ， 成等差数列， k N*，则 2=ak+，代入化简即可得出 （ 2）若 等差数列，则 22r（ 1） r=3+2s（ 1） s，化简即可得出 （ 3）由于 n+1（ 1） n+1 2n+（ 1） n=2n+2（ 1） n 0，不妨设 aq，等 差数列，其中 1 q r s t于是 aq+at=ar+ 2q（ 1） q+2t（ 1） t=2r（ 1） r+2s（ 1） s，化简即可得出 【解答】 解：（ 1）若存在连续的三项 ， 成等差数列， k N*， 则 2=ak+， 即： 22k+1（ 1） k+1=2k（ 1） k+2k+2（ 1） k+2， （ 1 分） 所以 2k= 4（ 1） k， （ 2 分） 由于 = 4（ 1） k= 4， 2k=4，即 k=2 所以当且仅当 k=2 时， ， 成等差数列 （ 4 分） （ 2）若 等差数列，则 22r（ 1） r=3+2s（ 1） s， 2s 2r+1=（ 1） s 2（ 1） r 3 （ 6 分） r s， 2s 2r+1 0， 而（ 1） s 2（ 1） r 3 0， （ 8 分） 2s 2r+1=0，可得 s=r+1，且 s 为大于等于 4 的偶数 （ 10 分） （ 3）由于 n+1（ 1） n+1 2n+（ 1） n=2n+2（ 1） n 0， （ 12 分） 不妨设 等差数列，其中 1 q r s t 于是 aq+at=ar+ 2q （ 1） q+2t（ 1） t=2r（ 1） r+2s（ 1） s， 所以 2q+2t 2r 2s=（ 1） q+（ 1） t（ 1） r（ 1） t（ *） 因为（ *）式左边 22+2=6， （ *）式右边 4， 所以（ *）式无解，故在数列 不存在某 4 项成等差数列 （ 16 分） 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 附加题 21（ 10 分）（ 2017如皋市一模）已知 a、 b 是实数，矩阵 M= 所对应的变换 T 将点（ 2， 2）变成了点 P（ 1， +1） （ 1）求实数 a、 b 的值； （ 2）求矩阵 M 的逆矩阵 N 【考点】 逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换 【分析】 （ 1）由题意，得 2a 1= 1， 1+2b= +1，解得即可， （ 2）由（ 1）， |N|=1，即可求矩阵 M 的逆矩阵 N 【解答】 解：（ 1）由题意，得 2a 1= 1， 1+2b= +1， 所以 a=b= （ 2）由（ 1）， |N|=1，得矩阵 M 的逆矩阵 N= 【点评】 此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题 22（ 10 分）（ 2017如皋市一模）已知曲线 极坐标方程为 2 44=0，曲线 曲线 于直线 = 对称，求曲线 极坐标方程 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 根据 2=x2+y， x，将极坐标方程 2 44=0 和直线 = 化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线 直角坐标方程，在转化为极坐标方程 【解答】 解：由题意：极坐标方程 2 44=0 转化为直角坐标方程为： x2+4y 4=0， 直线 = 转化为直角坐标方程为 x=y， 曲线 曲线 于直线 y=x 对称， 曲线 直角坐标方程为： x2+4x 4=0， 由 2=x2+y， x， 曲线 坐标方程为： 2 44=0 【点评】 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换 23（ 10 分）（ 2017如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳 5 个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加 3 个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选 2 个，同学乙和丙从 5 个课外活动中任选 3 个 （ 1）求甲同 学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率； （ 2）设 X 表示参加舞蹈的同学人数，求 X 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设 A 表示事件 “甲同学选中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同学选中舞蹈 ”，C 表示事件 “丙同学选中舞蹈，事件 A、 B、 C 相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为 P（ A ） =P（ A） P（ ） P（ ） =P（ A） 1 P（ B） 1 P（ C） ，由此能求出结果 （ 2） X 可能的取值为 0， 1， 2， 3， 分别示出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 E（ X） 【解答】 解 （ 1）设 A 表示事件 “甲同学选中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同学选中舞蹈 ”， C 表示事件 “丙同学选中舞蹈 ”， （ 1 分） 则 P（ A） = = ， P（ B） = = ， P（ C） = = 事件 A、 B、 C 相互独立， 甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为： P（ A ） =P（ A） P（ ） P（ ） =P（ A） 1 P（ B） 1 P（ C） = = （ 4 分） （ 2） X 可能的取值为 0， 1， 2， 3，且取这些值的概率分别为 P（ X