高等数学讲义第一章函数连续极限

1第一部分 函数、极限、连续一、 函数 内容要点一、函数的概念1函数的定义 2分段函数 3反函数 4隐函数二、复合函数与初等函数三、高等数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数(1) )(limxfyn(2) ,txt2用变上、下限积分表示的函数(1) 其中 连续，则xadtfy)()(tf )(xfdy(2) 其中 可导， 连续，)(21x,21xt则 2()()fxfd四、函数的几种性质1 有界性：2 奇偶性： 3 单调性： 4 周期性： 典型例题一、定义域与值域二、求复合函数有关表达式例 1 设 ，求21)(xf()()nffxf 重 复 合解： ，22222 11/)()()( xxxffxf 2若 ，则21)(kxfk 22221 )1(1/1)()( xkkxkxfxfkk 根据数学归纳法可知，对正整数 ，n2)(nf例 2 已知 ，且 ，求()xxfe01fxf解：令 ， ，因此 ，txtlnl()xte221()lln1xfdtt，0fxf2l)(三、有关四种性质例 1 设 ，则下列结论正确的是 ()Fxf（A）若 为奇函数，则 为偶函数)(xF（B）若 为偶函数，则 为奇函数)(xf（C）若 为周期函数，则 为周期函数)(x（D）若 为单调函数，则 为单调函数)(xfF例 2 求 dxxeIx1 25 )1ln()解 是奇函数，xef)(1 )(11fef是奇函数，)ln22 1)(ln1l()( 2xxxf)()ln22f因此 是奇函数1()(xexx于是 061672ddI3例 3 设 是恒大于零的可导函数，且 ，则当 时，)(,xgf ()()0fxgfxbxa下列结论成立的是 （A） （B）)()(bff )()(gfaf（C） （D ）gx x四、函数方程例 1设 在 上可导， ，反函数为 ，且 ，求)(xf),00)(f )(xg)(02xf xedtg。)(f解：两边对 求导得 ，于是 ，故x2()xgfxe()2)xxfe， ，由 ，得 ，则()2)feC)101C。1xx例 2 设 满足 ，求)(f xff)31(sin)(si )(f解：令 ，则nxg，x)31()，x221，234()()gx，xgnnn )1(213()(3各式相加，得 91nx， )(g0)(limxnn89191li1n4因此 ，于是xg89)(或 （k 为整数）karcf2sin9(1)sin8arcx例 3 是连续函数，且 ，则 _.（2010 全)(xf 203()fxfd()fx国）二、极限 内容要点一、极限的概念与基本性质二、无穷小常见的等价无穷小，当 时0x， ， ， ， ， ，xsintaxrcsinxarctn21cosxxe， 。)1l()1三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则 1：单调有界数列极限一定存在准则 2：夹逼定理3两个重要公式公式 1： 1sinlm0x公式 2： ； ；enn)(li eu)1(li evv10)(lim4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式当 时，0x21()!nxxeo352121sin()()!)!nn2422co1(!)!nnxxo5231ln(1)()()nxxo352121ta()()nnrc x 2(1(1) ()!nxxxo 6洛必达法则法则 1：（ 型）设（1）00)(lim,0)(lixgf（2） 变化过程中， ， 皆存在xx（3） （或 ）()limfAg则 （或 ）xf)(li法则 2：（ 型）设（1）li(),lim()fxgx（2） 变化过程中， ， 皆存在x（3） （或 ）()limfAg则 （或 ）xf)(li7利用导数定义求极限基本公式： 如果存在000)(lim()xffxf8利用定积分定义求极限基本公式 如果存在101)()(li dxfnkfn9 变量替换10其它综合方法11求极限的反问题有关方法 典型例题6一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限二、用两个重要公式例 1 求 nnxx2cos42coslim解：当 ，原式=10当 时，原式x nnnnx2sicos4il nnxx2sico4co2lim111 = xxxnnn si2isli2sil 三、用夹逼定理求极限例 1 求 )16543(limnn解：令 ， ，x2 12543nyn则 ，于是ny00x由夹逼定理可知： ，于是原极限为 0li2n例 2 求 nk12lim解： 12122 nknnk 而 2)(lim2li nn721)(lim12li 2nnnn由夹逼定理可知 li12k 例 3求 。 (2003)nkli四、用定积分定义求数列的极限例 1求 nk12lim分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑 21221nknk而 ，lim2nli2n由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解： nknk1212)(lili10240tanxrcxd例 2. 求 nk1silm解： nknknk111sisisi 而 01 2sinsilimxdnk8nk nknn1 12)si)(limsilim由夹逼定理可知，sil1kn五、用洛必达法则求极限1 型和 型0“例 1求 102limxe解：若直接用 型洛必达法则 1，则得 = （不好办了，分母 的次数反而“9130)2(lim2xex1205lixx增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 t2于是 （ 型）tttxee5510lililim2“45!lili0t tt te 例 2 ( 2003)205sin()lxd 例 3计算： 。 （2004） 20coslimtan1xt xe 例 4计算： 。 （2005）2340sil()lxxttde92 型和 型“0“例 1 求 )cossin(lm220xx例 2 设 ， 常数。求ab)(lim1xxba3 “ ”型， “ ”型和“ ”型100例 1 求 xx2sin0lm例 2 设 ， 常数，求ablim()2nnab六、求分段函数的极限七、用导数定义求极限例 1 设曲线 与 在原点相切，求)(xfyxsin)2(limnf解：由题设可知 ，00()1xf于是22lim()li ()2nnff f八、递推数列的极限例 1 设 ， ，证明 存在，并求其值。301x)3(1nnx nxlim九、变量替换十、求极限的反问题例 1 设 ，求 和21lim3sn()xabab解：由题设可知 ， ，再由洛必达法则得21li)0x10ab32)cos(li)sin(l 2121 xbaxx105,4ba例 2 设 在 内可导， ， ，且满足 ，求)(xf),00)(xf1)(limxf xhhefx10)(lim。f解：)(ln)(ln1im00)(li xfhxfhhexf 0limn()ln()ln()hxffxfe因此， ， ，1 211ln()fxc，由 ，可知xcef1)()(lixfc则 xf1十一、用等价无穷小量例 1 已知 ，求 a,b 的值。54lim(73)0axxb例 2 nl1xx 例 3. 求极限 。(2002)0cosi()1)xe三、连续 内容要点一、函数连续的概念二、函数的间断点及其分类三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质 典型例题一、讨论函数的连续性例 1 讨论函数110,1sin,)(1xexfx在点 处的连续性。0x二、间断点问题三、用介值定理讨论方程的根例 1 证明五次代数方程 在区间（1，2）内至少有一个根。05x例 2 设 在 上连续，且 。求证：在 上至少存在一点 使)(f, )1(f1,0（ 正整数）)(fnf2证：令 ，)(1xfnxG,0n则 0)(0f2)()(3nffnG)1()1(f于是 0)()0fnGn（）如果 有为 0，则已经证明)1,0(i ， 成立。),)(ff（）如果 全不为 0，),(ninG则不可能同号，否则相加后不为 0，矛盾。所以其中一定有异号，不妨假设 ， 与 异号。121ni)(iG)(2ni根据介值定理推论存在 使),(21ni0(12则 ，使 成立。)1,0()(1(