第1章1随机事件与概率

随机事件与概率 第一章第一章第一讲 随机事件第一讲 随机事件 一 自然界的现象分两类 必然现象（确定性现象）特点：结果事先可预知。 随机现象（不确定性现象）特点：结果事先不可预知。 随机现象是否有规律可循呢？ 是 随机现象在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性称为统计规律性。二概率论就是研究随机现象统计规律的一门数 学学科。三随机试验（简称试验，用 E表示）1. 试验可以在相同的条件下重复进行；2. 试验的所有可能结果不止一个，而且是事先已知的；3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切 预言。五样本空间：基本事件或样本点的全体构成的集合，用 S表示。. S样本空间与基本事件的关系样本点 e特点：每次试验只有一个样本点出现，任两个样本点不能同时出现。四基本事件（样本点）：随机试验的每一个可能结果，用 e表示。例 1.写出下列随机试验结果的样本空间。 1.将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，记录两次抛掷的结果；解： =（正，正）， =（正，反）， =（反，正）， =（反，反）；S= ， ， ， =（正，正），（正，反）， （反，正）， （反，反） 。 2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果； 解： S=1， 01， 001， 0001， 00001，。0表示未中， 1表示击中。 3.在区间 0， 1上随意取一点，记录结果；S=0， 1。 4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的使用寿命，设 t表示寿命。 S=t: t0.六 .随机事件（简称事件） :在试验中可能发生，也可能不发生的事件；解： 解： 用数学语言描述为 随机试验 E的样本空间 S的某个子集，用 A， B， C， 表示，不用 X， Y， Z，表示。例 2 .掷一质地均匀的骰子两次，样本空间S=(a ， b)|1a， b6， a ， b N,用集合表示事件 A=“两次点数之和为 8”， B=“两次点数均大于 4”， C=“两次点数均为奇数 ”。A=（ 2 ， 6），（ 6 ， 2），（ 3 ， 5），（ 5 ， 3），（ 4 ， 4） ； B=（ 5 ， 5），（ 5 ， 6），（ 6 ， 5），（ 6 ， 6） C=（ 1 ， 1），（ 1 ， 3），（ 3 ， 1），（ 1 ， 5），（ 5 ， 1），（ 3 ， 3），（ 3 ， 5），（ 5 ， 3），（ 5 ， 5） 。解： 样本空间 S和空集 作为 S的子集也看作事件。由于 S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发生，因此称为： 事 然 必 件不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发生，因此称为： 可 能 事 件不 必然事件 S和不可能事件 均不是随机事件，为研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。总结： 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2会求随机试验的样本点、样本空间。 第二讲 事件的关系与运算第二讲 事件的关系与运算 试验 E的样本空间为 S， Ai， Bi （ i=1,2）都是 S的子集（事件）。 一事件的包含与相等 事件的包含：若事件 A发生必导致事件 B发生，则称 B包含 A或 A含于 B中，记为 任意事件 A均有 BAS事件的相等：则称事件 A与 B相等， A=B。 且 ABS若二事件的的积（交） 事件 A与 B同事发生所构成的事件称为 A与 B的积或交，记为 AB或 AB。 ABS（ 1） n个事件 同时发生所构成的事件，称为 的积或交，记为 （ 2）可列无限多个事件 A1， A2， 同事发生所构成的事件称为 A1， A2， 的积或交，记为 推广：三互不相容事件（互斥事件）若 A与 B不能同时发生，即 则称 A与 B互不相容（或互斥）。 S与 互斥。 n个事件 互斥 =中任两个互斥，即，ij, i, j=1,2,3 ,n.推广：BAS四事件的和（并） 事件 A与 B至少有一个发生所构成的事件，称为 A与 B的和（并）记为 A B。当 A与 B互斥时， A B =A+B。 BAS推广：（ 1） n个事件 至少有一个发生所构成的事件，称为 的和或并，记为 当 互斥时（ 2）可列无限多个事件 至少有一个发生所构成的事件，称为 的和（并），记为 当 互斥时A发生而 B不发生所构成的事件，称为 A与 B的差，记为 五 . 事件的差对任意事件 A， A BSB六 . 对立事件（逆事件） 由 A不发生所构成的事件，称为 A的对立事件（逆事件）。记为 A例 1 掷一质地均匀的骰子， A=“出现奇数点 ”=1， 3， 5， B=“出现偶数点 ”=2， 4， 6， C=“出现 4或 6”=4， 6，D=“出现 3或 5”=3， 5， E=“出现的点数大于 2”=3， 4， 5， 6，求 解： A B=S， A， B为对立事件，C B， B， D互斥， C D=E， 记 C+D=EAE=3， 5， =1， 2。符 号 概 率 论 集 合 论样 本空 间 ，必然事件 空 间 （全集）不可能事件 空集基本事件（ 样 本点） 元素事件 子集A的 对 立事件 A的余集事件 发 生必然 导 致事件 发 生 A是 B的子集事件与事件相等 A与 B相等事件与事件至少有一个 发 生 A与 B的并 集事件与事件同 时发 生 A与 B的交集事件 发 生而事件不 发 生 A与 B的差集事件与事件互不相容 A与 B没 有公共元素事件表示的概率论与集合论对照表事件的运算性质：1.交换率： A B=B A， AB=BA 2.结合率：（ A B） C=A （ B C），（ AB） C=A（ BC）；3.分配率：（ A B） C=（ AC） （ BC），（ AB） C=（ A C）（ B C）；4.对偶原则（德 摩根律） ： 例 2. A、 B、 C是随机试验 E的三个事件，试用A、 B、 C表示下列事件：1 A与 B发生， C不发生；2 A、 B、 C中至少有两个发生；3 A、 B、 C中恰好发生两个；解： 1234（ 4）的对立事件是（ 2） 5等价于 至少有一个发生， 4 A、 B、 C中有不多于一个事件发生；5 A、 B、 C中有不多于两个事件发生。例 3 某射手向一目标进行三次射击，令 Ai=“第 i次射击命中目标 ”， i=1,2,3.Bj =“在三次射击中，命