小学二年级学生关于比多少应用题的解题能力研究

小学二年级学生关于比多少应用题的解题能力研究摘要 本文旨在分析小学二年级学生比多少应用题的解题表现和错误类型。兹将比多少应用题分为六种类型，并以 Mayer 的理论为基础，将解题历程分为四个阶段，运用自编的调查问卷对 129 位小学二年级学生的解题能力进行初步分析，继而提出若干建议：（1）加强数量关系的分析与训练，以提升学生的 问题解决能力；（2）加 强题目、 图示与算式的连结，以帮助学生解题时做深层的思考；（3）增加“求参照量比多型”、 “求比较量比多型”和“求参照量比少型”的题数，以丰富学生的解题经验；（4）加强加减计算的指导，以促使学生成功解答应用题；（5）培养检查算式、检验结 果的意识，以提高学生的 应用 题正确率。关键词 小学生；比多少应用题；解题能力在数学学习中，解题是最重要的技能之一，而尤以解应用题最令学生感到困扰。其中比多少应用题，即用加减法解答的数学应用题，是小学低年级学生数学学习中的重要内容。解决这种类型的问题，既是获得数学概念的工具，也是发展解答数学问题能力的重要途径。由此可知，比多少应用题的学习可说是数学学习的关键。1概述1.1 名词解释应用题根据日常生活和生产中的实际问题，用语言文字、图形叙述出一些已知量和未知量以及它们之间的关系，应用四则运算求出未知数的数学题。 1比多少应用题本研究所说的比多少应用题是指在应用问题的叙述中比较两个数量大小或多少的问题。根据未知数性质与语意关系可将比多少应用题细分为以下六种题型（以浙江教育出版社的数学二年级上册 P45 的练习题为例） ，见表 1。表1 比多少应用题的六种题型比多 比少求差异量小兔子采了25个蘑菇，小松鼠采了18个蘑菇，小兔子比小松鼠多采几个？小兔子采了25个蘑菇，小松鼠采了18个蘑菇，小松鼠比小兔子少采几个？求比较量小兔子采了25个蘑菇，小松鼠比小兔子多采18个，小松鼠采了几个蘑菇？小兔子采了25个蘑菇，小松鼠比小兔子少采18个，小松鼠采了几个蘑菇？求参照量小兔子采了25个蘑菇，小兔子比小松鼠多采18个，小松鼠采了几个蘑菇？小兔子采了25个蘑菇，小兔子比小松鼠少采18个，小松鼠采了几个蘑菇？解题能力解题能力是指被试在解数学题目时，经过阅读题目、计划解题的程序、运用解题的策略、求出答案，在整个运算过程中所表现出来的能力。在数学解题的研究方关系句例题未知 数面，研究者着重探究被试解题活动中所表现出的各种认知能力。1.2 数学解题理论的比较在数学解题研究领域中，Polya 最早提出数学解题的历程模式。其后，Schoenfeld 加入元认知（metacognition）的观点来看待解题，Mayer 则以心理学角度诠释解题历程，虽然是不同的观点，但是大部分都是以 Polya 的观点为基础，再发展出各自的理论架构。1.2.1 Polya（1945）的数学解题模式波兰数学家波利亚（Polya）在其所著 How to solve it中提出将解题历程分为四个阶段： 2理解题意（Understand）：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？可能满足条件么？条件足够决定未知数么？还是不够？或是过多？或是矛盾？拟定计划（Plan）：找出已知数和未知数间的关系，假使不能找出关系，就得考虑辅助问题，最后应想出一个计划。实现计划（Carry out）：实行你的解决计划，校核每一步骤。你能明白看出步骤是正确的么？你能证明它是正确的么？回顾（Look back）：检验解答的合理性，并鼓励用不同方法求解，或应用到别的问题。在实际进行解题时，不一定是依序直线进行的，有时需折返，有时需绕圈子，才能达成“解决问题”的目的（如图 1） 。图 1 Polya 的解题历程 31.2.2 Schoenfeld（1985）的数学解题模式美国加州大学著名数学家、教育家舍菲尔德（AlanH. Schoenfeld）所著的Mathematical problem solving一书，注重解题者的心理活动，强调数学解题的成败，主要受四个因素的影响：资源（resource） 、启发（heuristics） 、控制（ control） 、信念系统（belief system） 。Schoenfeld 发现在这四个因素中，控制因素处于关键地位。因为如何合理利用资源、如何适当采用启发策略，都是控制因素所主导的。因此他以控制因素的观点，将解题历程分成六个阶段：读题（Read ）：阅读题目，包括解题者为更了解题意，复述题目中的重要条件。分析（Analysis）：读题后，了解题目的陈述，有系统地重新陈述问题，寻找解题方向。探索（Exploration）：读题后，寻找解题路径。需注意的是，分析是较系统化地找寻解题路径，而探索不具有良好的结构。计划（Planning）：从分析或探索阶段获得解题路径，依此路径规划解题步骤。执行（Implementation）：将所规划的解题步骤逐一执行。验证（Verify）：检验答案的合理性。1.2.3 Mayer(1992)的数学解题模式Mayer 从认知取向的观点，将数学解题分为问题表征和问题解决两大步骤。问题表征包含问题转换和问题整合两个历程；问题解决则包含计划监控和解题执行两个步骤。 4问题转换：指将每一个陈述句转译为内在表征，也就是去理解语句之间的关系，将每一个陈述句加以解释。问题整合：包括认识问题的类型和资料，决定解题所需要的资料，用图示表示问题等，即将资料整合成一个问题表征。解题计划与监控：判断、归纳问题性质及内容，决定使用策略。解题执行：进行运算。1.2.4 数学解题理论的比较比较 Polya 和 Schoenfeld 理论的差异，主要有两个：首先，他们都探究数学解题所经历的阶段，并详述每个阶段所采取的策略，只是 Schoenfeld 将各阶段再加以细分。其次，Schoenfeld 所提出的控制因素和元认知有相当大的关联性。解题者在规划、监控与调整解题活动的表现越好，获得正确答案的机会越大。Schoenfeld 加入的“元认知”概念是Polya 并未考虑到的。 3相比较 Mayer 的理论，虽然他提出的解题者需具备的五种知识和 Schoenfeld 提到的“资源”相似，但 Mayer 的解题理论有研究范例可以遵循，且兼具完整的解题阶段与学生的解题认知成分，而其他理论则比较强调策略、回顾和验证。因本研究主要以二年级学生的解题认知能力为研究重点，考虑该学段的学生多数还未具有回顾和验证的能力，所以决定采用 Mayer 的理论来探讨小学二年级学生比多少应用题的解题能力。2培养应用题解题能力的意义探析培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决简单的实际问题的基本内容和重要途径。因为应用题反映了周围环境中常见的数量关系和各种各样的实际问题，需要用到不同的数学知识来解决。通过解答应用题，促使学生把所学的数学知识同实际生活和一些简单的科学技术知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养运用所学的数学知识解决实际问题的能力。另外数学作为一门工具学科，也应该把它用于解决实际问题作为教学的一个重点。这一点越来越多地被各国数学教育工作者所认识。当然，培养学生应用题解题能力的重要意义远不止于此，还可以发展学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质（如思维的灵活性、创造性）等。而这些都是作为现代社会中具有较高的文化素养的公民所必须具备的能力和品质。长期以来，我国的小学数学，无论从教材或从教学来说，对应用题教学是重视的，但是也存在不少问题，主要是偏重内容的教学，轻视能力的培养，教学的方法不尽适当，以致花的力量很大，收的效果较小。因此，如何从小学低年级开始提高学生应用题解题能力，是一个值得认真研究探讨的问题。 53学生比多少应用题解题能力的现状分析3.1 小学二年级学生比多少应用题解题能力的问卷调查3.1.1 被试问卷调查被试取样以杭州天地实验小学二年级学生为样本，发放调查问卷 129 份，有效回收 129 份，有效回收率 100%。在有效回收的问卷中， 4 个班学生基本情况见表 2。其中男生共 68 人，女生共 61 人，男女生所占比例分别为 52.71%和 47.29%。表2 杭州天地实验小学二年级4个班学生基本情况班 级 二（1） 二（2） 二（3） 二（4） 合 计男 17 18 17 16 68女 15 15 15 16 61合 计 32 33 32 32 1293.1.2 问卷设计首先，问卷的设计充分考虑了未知数性质与语意关系，根据求差异量比多（问题1、7） ；求差异量比少（问题 2、8） ；求比较量比多（问题 3、9） ；求比较量比少（问题4、10） ；求参照量比多（问题 5、11） ；求参照量比少（问题 6、12）六种类型来设计。此外，根据语序的不同又分为数值后置（问题 1 至 6）和数值前置（问题 7 至 12）两类。此外，问卷内容采用 Mayer 所建议有关的研究范例作为基础。问题转换部分，每一大题有三个小题。第一小题为找出问题的已知条件；第二小题为辨认问题的解题目标；第三小题为辨认关系语句。问题整合部分，即第四小题，主要为了解学生辨别线段图整合题意的能力。解题计划与监控、解题执行部分，即第五小题，主要是决定使用策略，进行运算，了解学生执行计算程序的能力。3.1.3 现状调查以下根据 Mayer 的解题理论，分成问题转换、问题整合、解题计划与监控、解题执行四个部分来加以叙述。问题转换问卷中每一大题的第一至三小题为问题转换部分。设计目的已在“问卷设计”中说明，统计结果见表 3。每一小题的答案选项 0 表示学生选择的是 1、2、3 以外的答案。每一小题正确答案的百分比以加底纹（ ）的方式呈现。表3 “问题转换”各小题答案所占百分比第一小题 第二小题 第三小题题 型 题 号0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3平均正确率第一题 0 0 100 0 0 0 0 100 0 99.2 0.8 0 99.7求差比多型 第七题 0 0 100 0 0 3.9 1.6 94.6 0 92.2 7.0 0.8 95.6第二题 0 0 100 0 0 4.7 0.8 94.5 0 2.3 97.7 0 97.4求差比少型 第八题 0 2.3 97.7 0 0 1.6 3.9 94.5 0 7.8 92.2 0 94.8第三题 0 0.8 0.8 98.4 0 0.8 97.6 1.6 0 9.3 90.7 0 95.6求比比多型 第九题 0 0 0.8 99.2 0 5.4 94.6 0 0 7.0 93.0 0 95.6求比比少型第四题 0 0.8 99.2 0 0 4.7 94.5 0.8 0 12.4 87.6 0 93.8第十题 0 1.6 98.4 0 0 0.8 98.4 0.8 0 10.1 89.9 0 95.6第五题 0 2.3 97.7 0 0 1.6 97.6 0.8 0 85.2 14.0 0.8 93.5求参比多型 第十一题 0 1.6 98.4 0 0 1.6 98.4 0 0 88.3 10.9 0.8 95.0第六题 0 0 2.3 97.7 0 3.9 96.1 0 0 76.0 24.0 0 89.9求参比少型 第十二题 0 1.6 0 98.4 0 3.1 96.9 0.8 0.8 79.1 20.9 0 91.5由表 3 可知，对于同一类型的题目，数值的不同位置对学生的答题影响不大。此外，学生对于找出问题的已知条件和辨认问题的解题目标不存在困难，两者的正确率分别高达97.7%和 94.5%。但是，从第三小题辨认关系语句来看，不同的题型却存在着一定的差异。其中“求差比多型”和“求差比少型”的正确率百分比最高,“求比比少型”和“求参比多型”正确率相对较低，而正确率最低的则是“求参比少型” 。问题整合问卷中每一大题第四小题为问题整合部分。设计目的已在“问卷设计”中说明，统计结果见表 4。每一小题的答案选项 0 表示学生选择的是 1、2、3 以外的答案，正确答案的百分比以加底纹（ ）的方式呈现。表4 “问题整合”的题目答案所占百分比第四小题题 型 题 号0 1 2 3排 序第一题 0 93.0 3.1 3.9 2求差比多型第七题 0 93.0 2.3 4.7 2第二题 0 88.3 7.0 4.7 5求差比少型第八题 0 94.5 3.9 1.6 1第三题 0 20.9 73.7 5.4 10求比比多型第九题 0.8 22.5 72.0 4.7 12第四题 0 82.9 14.0 3.1 7求比比少型第十题 0 88.3 7.0 4.7 5第五题 0 81.4 14.7 3.9 8求参比多型第十一题 0.8 91.4 3.9 4.7 4第六题 0 18.6 72.9 8.5 11求参比少型第十二题 1.6 17.8 74.4 6.2 9由表 4 可知，在学生辨别线段图整合题意的能力上，不同的题型存在着较大的差异。其中“求差比多型”和“求差比少型”的正确率百分比较高,“求比比多型”和“求参比少型”正确率明显低于其它题型。解题计划与监控根据学生的回答，将错误类型罗列为以下四种：符号错误、数字抄写错误、计算错误、未做，统计结果见表 5。表5 题目各错误类型所占百分比题 型 求差比多型 求差比少型 求比比多型 求比比少型 求参比多型 求参比少型题 号 一 七 二 八 三 九 四 十 五 十一 六 十二符号错误 0 1.6 0 0 6.2 6.2 7.8 2.3 20.2 13.2 20.9 29.5数字抄写错误 0 0 0 0 0 1.6 0.8 0 0.8 0 0 0计算错误 10.9 2.3 8.5 7.8 16.3 9.3 10.9 8.5 6.2 6.2 5.4 3.9未 做 0.8 1.6 0 0 0 2.3 1.6 0 0 0 1.6 2.3由表 5 可知，学生的主要错误在于符号和计算，特别是计算错误，最高的占 16.3%，平均占 8.02%。符号错误主要集中在“求比比多” 、 “求比比少 ”、 “求参比多” 、 “求参比少”这四种类型，且尤以“求参比多型”和“求参比少型”更为突出。解题执行问卷中每一大题第五小题体现了解题执行的过程。设计目的已在“问卷设计”中说明，统计结果见表 6。表6 “解题执行”正确答案所占百分比题 型 求差比多型 求差比少型 求比比多型 求比比少型 求参比多型 求参比少型题 号 一 七 二 八 三 九 四 十 五 十一 六 十二每题正确率 88.3 94.5 91.5 92.2 78.5 80.6 78.9 89.2 72.8 80.6 72.1 64.3题型正确率 91.4 91.9 79.6 84.1 76.7 68.2排 序 2 1 4 3 5 6由表 6 可知，学生在解比多少应用题时， “求差比多型”和“求差比少型”正确率高，而“求比比多型” 、 “求参比多型”和“求参比少型”正确率相对较低，均在 80%以下。3.1.4 小结二年级学生在解比多少应用题时，其问题转换的主要困难是辨认关系语句，特别是“求参比少型” ；其问题整合的主要困难是无法正确判断集合的大小关系，特别是“求比比多型”和“求参比少型” ；其解题计划及监控的主要困难在于符号和计算，符号错误尤以“求参比多型”和“求参比少型”更为突出；其解题执行的表现看，以“求比比多型” 、“求参比多型”和“求参比少型”最难。3.2 学生解题表现错误类型及成因分析根据调查现状，从被试中选取学生进行访谈。观察受访者的解题特征，询问解题想法。以下根据 Mayer 的解题理论，分成问题转换、问题整合、解题计划与监控、解题执行四个部分来加以叙述。3.2.1 问题转换二年级学生在解比多少应用题时，在问题转换方面主要出现的错误是以下两类：简化的错误有学生简单地将关系语句中的部分词舍去，转化为陈述句。如把“故事书比科技书多188 本”简化成“科技书多 188 本” 。访谈如下：图 2 某生对第 3 题关于“问题转换”的解题记录师：为什么第一小题选？生 1：因为这句话（指“故事书比科技书多 188 本”）说科技书多 188 本。师：为什么第三小题选？生 1：不是说科技书多么，所以多的就是科技 书。又如第六题，也是同样的情况。访谈如下：图 3 某生对第 6 题关于“问题转换”的解题记录师：为什么第三小题选？生 2：这道题问“哪种花比较少”， 题目说“小雏菊少 456 朵”，所以少的是小雏菊。概念错误有学生概念不当，无视题目的意义，给某些概念下了自己心目中的“定义” 。如两种物体，先出现者对应第一个数字，后出现者对应第二个数字，这就是一个错误概念。访谈如下：图 4 某生对第 12 题关于“问题转换”的解题记录师：为什么第三小题选？生 3：因为它说有 489 本童话书，然后又 说漫画书， 457 本，所以漫画书少。师：题目里有说漫画书 457 本？生 3：恩。题目里先有童话书，后来又有漫画书，有 489 本，还有 457 本。师：你的意思是因为题目里先出现故事书，后出 现漫画书，所以故事书对应的就是 489本，漫画书对应的就是 457 本？生 3：恩，是的。3.2.2 问题整合二年级学生在解比多少应用题时，在问题整合方面主要出现的错误是减法基模错误。学生问题转换正确，却未能找到正确的较大集合，在较大集合中分出较小集合与差异量这两部分。访谈如下：图 5 某生对第 12 题关于“问题整合”的解题记录师：这道题哪种书比较多？生 4：漫画书。师：哪种书比较少？生 4：童话书。师：（教师手指第张图）为什么要选这张图？你是怎么想的？生 4：童话书有 489 本，所以要先画一条 线。因 为他们相差 457 本，所以这一段是 457 本（指后半段）。漫画书不知道有几本。师：从这张图看，最多的书是哪种？生 4：童话书。师：可你刚才不是说漫画书比较多吗？生 4：对哦？（疑惑的眼神）3.2.3 解题计划及监控二年级学生在解比多少应用题时，在解题计划及监控方面主要出现的错误是以下三类：误用关键词有学生易以关键词来思考解题策略，被试对于关键词的解读存在着个别差异。如看到“比” 、 “少” 、 “相差” 、 “还剩”这样的词，就是用减法，看到“多” 、 “一共” 、 “总和”这样的词，就用加法。访谈如下：图 6 某生对第 5 题关于“解题计划及监控”的记录师：这道题你为什么用加法？生 5：他说“杉树比榕树多 278 棵”。师：老师没有听懂，能说得更明白一些么？生 5：“多 278 棵” ，“多” 就用加。师：你的意思是“多” 就要用加， “少”就用减。是这样么？生 5：是的。师：你一直都是这样做的么？生 5：是的。师：是谁教你的？生 5：我自己想的。无独有偶，某受访者谈到，第 12 题“阅览室有 489 本童话书，童话书比故事书少 457本。漫画书有几本？”因为看到“少”字，所以就用了减法。误用数字原则有学生自行纳入“大数减小数” 、 “小数加大数”的错误策略。 “大数减小数”即直接以题目中的大数减小数来解题或是题目中先出现大数后出现小数就用减法。 “小数加大数”即题目中先出现小数后出现大数就用加法。如某生在解第 9 题的访谈中，可以看出该生仅以数字原则解题，丝毫不理会题目与数字的意义。访谈如下：图 7 某生对第 12 题关于“解题计划及监控”的记录师：这道题为什么要用减法？生 6：489 不可能加几等于 457，所以只能用减。再如某生第 3 题的访谈，该生认为大数先出现小数后出现则使用减法，反之则使用加法。以数字作为解题策略依据，而未使用正确的策略知识。访谈如下：图 8 某生对第 3 题关于“解题计划及监控”的记录师：这道题你怎么想的？生 7：199 可以减 188，所以 199-188=11（本）。因 为 199 比较大，188 有点小。师：如果这两个数换一换，科技 书 188 本，故事 书比科技书 多 199 本。你打算怎么做？生 7：那就用加法。缺乏检查能力有学生对于自己的说词前后矛盾却不自知，甚至于自己的答案是否合理也毫无察觉，可见该生缺乏自我检查的能力。访谈如下：图 9 某生对第 9 题关于“解题计划及监控”的记录师：你算出的 123 是什么？生 8：茄子的重量。师：552 是什么？生 8：萝卜的重量。师：576 是什么？生 8：多出来的。师：哪个比较重？生 8：萝卜。师：哪个比较轻？生 8：茄子。3.2.4 解题执行根据调查结果，分析被试计算过程的错误类型。以下将分成加法和减法两部分加以叙述：加法的错误类型 未进位的错误 一次进两位的错误 心算错误 误用乘法 数字抄录错误（552 写成 522） 混合型错误减法的错误类型 大数减小数的错误 心算错误 未退位的错误 一次退两位的错误 退位剩余数值错误 数字抄录错误（179 写成 197） 混合型错误 无意义计算3.2.5 小结二年级学生在解比多少应用题时，其问题转换的错误类型主要有简化和概念错误两种；问题整合方面主要出现的错误是减法基模错误；解题计划及监控的错误类型主要有误用关键字、误用数字原则、缺乏检查能力；解题执行的错误类型，加法主要有六种，减法主要有八种。4结论与建议4.1 加强数量关系的分析与训练，以提升学生的问题解决能力数量关系是指应用题中各数量之间的内在联系。只有搞清楚数量关系才能根据四则运算的意义恰当地选择算法，把数学问题转化成数学式子，通过计算进行解答。因此，低年级教学中简单应用题的数量关系，实际上是四则运算的算理与结构。从笔者的问卷调查和访谈可知，二年级学生的数量关系较弱。所以，从二年级应用题教学的一开始就要着重抓好分析数量关系这一环。首先，要重视教学中的分析与说理。不仅要通过数量关系的分析找出解答的计算过程，同时计算过程本身也反映了解题的算理。所以，要重视教给学生联系运算意义，把应用题中叙述的情节语言转换成数学运算，在理解的基础上用学生自己的语言叙述。对每一道题的算法，教师都要认真说理，更要让学生去说理，使学生能够将数量关系从应用题的情节中抽象出来，纳入到已有的概念中去。例如，在教学比多少应用题时，通过学生操作和教师直观演示，使学生明确：甲数比乙数多，那么甲数就包括两部分，其中一部分和乙数同样多，另一部分是比乙数多的部分，从甲数里去掉和乙数同样多的部分，剩下的就是比乙数多的部分，所以用减法计算。这样教学使学生对应用题的数量关系比较清楚，掌握了一类问题的分析思路，从而避免学生仅仅依靠对题中某些词语的臆断或盲目尝试来选择算法。既培养了学生的解题能力，又初步发展了学生的分析、推理能力，为今后解更复杂的应用题打下基础。其次，要重视比多少应用题基本结构的教学。这类应用题一般是由两个已知条件和一个问题组成，缺少条件要补充条件，缺少问题要补充问题，这样才能构成一道完整的应用题。同时，条件与条件、条件与问题之间要有一定的联系。教学时可以进行提问题、填条件的练习。通过训练，使学生看到相关联的两个条件能提出问题，看到一个问题一个条件就能意识到还要补充什么条件。这一训练还可以使学生加深对应用题数量关系的认识，也为今后教学复合应用题提出中间问题做准备。再次，要重视解题基本方法的训练。一道比多少应用题呈现在学生面前，如何根据已知条件确定解法，这需要运用各种思维方法进行探索。由因导果的综合法和知果索因的分析法是最基本的两种逻辑方法，采用这两种方法探索的关键在于确定正确的方向。教学中要抓好这两种基本方法的训练，明确它们的区别和联系，引导学生掌握解决问题的途径、方法和步骤。 64.2 加强题目、图示与算式的连结，以帮助学生解题时做深层的思考本研究解题错误类型中发现，二年级学生图示的困难主要是减法基模错误，线段图概念不稳固，无法找到正确的较大集合，在较大集合中分出较小集合与差异量。台湾学者林秀燕（2005）在研究中指出图示策略对于学生在比多少应用题的解题上，具有良好的保留效果。可见图示策略确实能够帮助学生解题时，做深层的省思，避免掉入关键字的陷阱里。特别是比多少应用题，通过画线段图帮助理解，寻求解题思路带来的直观性帮助，能使图示效果发挥最大功效。例如，调查问卷中第 12 题“阅览室有 489 本童话书，童话书比漫画书少 457 本。漫画书有几本？”部分学生读题后眉头紧皱，对该题的结构模糊不清，感到无从入手。此时教师可引导分三步逐步画出线段图来帮助解题。 阅览室有 489 本童话书，用线段图表示： 童话书比漫画书少 457 本，漫画书有几本？说明漫画书更多，线段应该画得更长。线段图表示： 标明相差量：将线段图画好后，这道题数量之间的关系也就一目了然了。此题的等量即漫画书的数量=童话书的数量+相差量，因此求漫画书的数量只要用童话书的数量加相差量，也就是489 加 457 即可。4.3 增加“求比较量比多型” 、 “求参照量比多型”和“求参照量比少型”的题数，以丰富学生的解题经验本研究显示比多少应用题的题型是影响二年级学生解题表现的因素，建议教师在练习设计中多增加“求比较量比多型”和“求参照量比少型”的题目，以破除学生认为比较型加减文字题都是使用减法运算的错误观念。此外，本研究显示学生在四个解题历程中，均以“求参照量比少型”表现最差。除了学生本身的解题发展层次会影响解题能力之外，解题经验也对解题表现有所影响。因此，建议教师在练习设计时，能提供各种题型，以丰富学生的解题经验。再者， “求比较量比多型” 、 “求参照量比多型”和“求参照量比少型”这三种题型本身的特性最容易颠覆学生“关键词”的错误想法，所以二年级比多少应用题教学时，教师设计的练习中出现这三种题型的量宜增加。教师可多进行题型种类的研究与探讨，了解题型分类的方式与学生解题的发展层次。这样能避免误认为比多少应用题不同题型难度相同，且不能理解学生解题表现上的差异，而造成无法适时提供学生解题帮助的遗憾。教师应配合学生本身解题发展层次，适时有顺序地提供多元的题型练习，丰富学生的解题经验。4.4 加强加减计算的指导，以促使学生成功解答应用题学生解答应用题错误的原因除了来自于对问题的分析能力欠缺，还来自于计算的错误。本研究显示，学生在比多少应用题的解题过程中，加减计算错误占了较大比重。而数学计算能力恰恰是小学阶段的孩子比较重要的问题。计算具有其基础性和工具性。计算的训练能帮助学生提高思维敏感性和灵活性，同时在心理上更会提高学生对学习数学的信心。因此，加强加减计算的指导是促使学生成功解答应用题的关键，是非常必要的。首先，要重视加减计算教学中的过程体验，掌握计算学习的基本方法。应凸现计算教学中的算理指导，强化基本算法的迁移运用。学生掌握计算法则关键在于理解。如教学几十几的加减法，从数的组成入手开展计算教学：分析 68 里面有 6 个十和8 个一，那么 608，860，68-8，68-60，就都能通过算理分析帮助学生理解，使学生既懂得怎样算，更懂得为什么要这样算。这样的学习才能在学生头脑中形成更为清晰的记忆。应创设计算方法的多样化，体验算法最优化的问题解决策略。 “算法多样化”是新教材实施之初的教学要求，鼓励学生用自己喜欢的、熟悉的思维方法去解决问题，鼓励学生从多样化算法的讨论中吸纳别人的经验，把他人的思维精华纳入到自己的认知领域。其次，要优化计算练习设计，在技能与思维并进的练习中提高计算能力。学生计算的正确率和计算的速度需要一定量的支持。心理学研究表明：机械重复地干同样的工作会使人厌烦。如何有效解决这一对矛盾，就需要提高计算能力培养的目的性、计划性，精心设计计算练习：基础练习扎实训练。如 20 以内加减法是多位数加减的基础，必须通过听算、视算等日常训练达到熟能生巧的效果。重点问题强化训练。教学中，经常会发现学生的某些练习错误屡教不改，增加练习的量非但没有改正错误，反而加深了错误的影响。面对这些问题，练习要集中一点，强化训练。分层要求促进提高。学生间的计算计能差异是极为显著的，部分学生确实需要通过一定量的练习才能达到巩固、熟练的目的。但对大部分学生而言，计算更需要的是认真、细致的态度，正确的方法。4.5 培养检查算式、检验结果的意识，以提高学生的应用题正确率应关注学生的检验意识和检验态度，从细微之处抓检查习惯的培养。培养学生认真、严格、刻苦的学习态度和良好的检查习惯是教学大纲的要求，也是加强素质教育的重要内容。大量事实说明，缺乏认真的检查态度和良好的检查习惯，是学生产生错误的重要原因之一。要提高学生应用题的正确率，必须先从源头上抓学生良好检查习惯的培养，小学二年级主要抓好以下习惯：审题的习惯。这是比多少应用题完成正确、迅速的前提。要提醒学生先读懂题意，不急于落笔。校对的习惯。应用题列式计算都要抄数字，要求学生凡是抄下来的都校对，做到不错不漏。估算和验算的习惯。这是应用题计算正确的保证。验算是一种能力，也是一种习惯。教学中，首先要指导学生掌握验算和估算的方法，如运用加减法的逆运算关系验算；其次要把验算和估算作为计算过程的重要环节来严格要求；让学生切实运用估算和验算来发现自己的计算问题，养成验算习惯。5结语从应用题教学的发展来看，二年级比多少应用题的教学是整个小学阶段应用题教学的基础，学生在这个阶段的学习中对应用题的结构、基本数量关系和解题思维方法掌握得如何，都将直接影响中高年级应用题的学习。因此，掌握比多少应用题的解题能力，从而使学生学得更轻松、更快乐，就是一项具有重大深远意义的课题。本文之所以从实证调查的角度介绍二年级学生比多少应用题的错误类型并分析原因，从而提出解决策略，希望能带给教师们相关信息以引发适当的教学思考。参考文献：1 张跃萍.谈应用题与文字题的区别J.贵州教育,2001,12,32.2 代钦,韩斌.纪念波利亚怎样解题中文版 60 周年J.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） ，2009,9,38,5:599609.3 吴进宝 .国小五年级拟题教学的研究 以整数四则混合运算为例D.台湾:国力中山大学,2005：1104.4 陈英合,仲宁宁,耿柳娜.关于数学应用心理表征策略的新理论J.心理科学,2004,1.5 曹飞羽.谈小学数学教学 中培养学生解答应用题的能力J.课程教材教法,1994,8:2833.6 魏节林.浅谈小学低年级应用题的教学J.新课程研究,2009,2:167168.7 NCTM.The Principle and Standards for School MathematicsM.2000.8 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