高中数学基础知识手册理科

高中数学知识大全第 1 页（共 21 页）为为为为p为q为为为为p为q为为为为q为p为为为为为q为p为为为为为 为 为为为为为为为 为为为第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: UABABACC U(AB)= (C UA)(C UB) CU(AB)= (C UA)(C UB)6. 设集合 A 中有 n 个元素,则A 的子集个数为 ； A 的真子集个数为 ；n212nA 的非空子集个数为 ；A 的非空真子集个数为 .12n n7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法1.整式不等式的解法： 一元一次不等式 （的 解 集bax)0a或分一元二次不等式 ：（大于取两边，小于取中间）的 解 集)0(2cbxa一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不 过）2.分式不等式的解法（移项通分，不能去分母）0)(0)(;)(0)( xgfxgfxfxgf3.含绝对值不等式的解法,与 型的不等式的解法. cba)(cba（将 x 的系数化为正,大于取两边，小于取中 间）三简易逻辑1构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )(一真则真)；p 且 q(记作“pq” )（一假则假）；非 p(记作“q” )（真假相反） 。2四种命题的形式：原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。(原命题 逆否命题)3、充要条件：4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。高中数学知识大全第 2 页（共 21 页）第二章 函 数一、函数与映射1映射的性质：从 A 到 B 的映射：A 中不能有剩余元素，B 中可以有剩余元素，允许多对一，不允许一对多。若 A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，则有 个映射。342函数的三要素：定义域，值域，对应法则。二、函数的性质（1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）奇函数： 、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性；)()(xff偶函数： 、图象关于 轴对称，在两个对称区间具有相反的单调性；y常用的结论：若 是奇函数，且 ，则 ；f定 义 域0)1(0)(fff或若 是偶函数，则 ；反之不然。)( 1)(ff常见的奇函数： lg2xy xylgxey 12xy1xe2非奇非偶函数：f（x）= .xsinco（2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）定义法 步骤：a.设 ；b.作差 ；c.判断正负号。2121,Ax且 )(21xff掌握函数 的图象和性质；)0();0(axyacbcay函数 xx(b ac0)）0(axy图象 XooyxX=-cY=ay高中数学知识大全第 3 页（共 21 页）单调性当 b-ac0 时:在 上单调递减；),(),(c和当 b-ac0)恒成立,则 y=f(x)的周期为 2a；若 y=f(x)是偶函数 ，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)的周期为 2a；若 y=f(x)奇函数 ，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x) 的周期为 4a；y=f(x)对 x R 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)= ，则 y=f(x) 的周期为 2 ；)(1xf三、函数的图象1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成 y=f(x)：左加右减，上加下减。）（2）对称变换：函数 与函数 的图象关于 轴对称；)(xfy)(xfy函数 与函数 的图象关于 轴对称；x函数 与函数 的图象关于坐标原点对称；)(f )(fy如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(a-x)，那么 y=f(x) 的图象关于直线 对称。a如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(b-x)，那么 y=f(x) 的图象关于直线 对称。2bx （把 轴下方的图象翻折到上方）)(xfy)(xfy （擦掉 轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧）y 与 关于直线 对称。性质：)(1f)(fxabfaf)()(1（3）伸缩变换： 系数变小伸长；系数变大缩短。xy0(),af四、函数的反函数求反函数的步骤：求原函数 ， 的值域 B 把 看作方程，xy)A)(xfy高中数学知识大全第 4 页（共 21 页）解出 ；x，y 互换的 的反函数为 ， 。)()(xfy)(1xfy)B五、求函数的值域的常用解题方法： 配方法。如函数 的值域，特点是可化为二次函数的形式；124换元法：如 y= 单调性：如函数 x1,2 x1 xyx2log判别式法（法）如函数 y= 32利用函数的图像：如函数 y=|x+3|+|x2| 利用反函数：如函数 y= xsin2利用基本不等式：如函数 y= .方程 k=f(x)有解 kD(D 为 f(x)的值域)；32x.af(x) af(x) max,; af(x) af(x) min;六、指数、对数的性质：1. ,指 数 运 算 ： ， ap0110()aaamnmn(010)，2. logllog NMNMa ，对 数 运 算 ：，lllllaaaana， 1bmnbaaloglog，)0(logxa对 数 恒 等 式 ： )(logRka,llbca对 数 换 底 公 式 ：3. 的符号由口诀“同正异负”记忆; 如： 。balog 05log.03log212七、复合函数单调性： ， ：同增同减为增，一增一减为减。xgfy)(xf与第三章 数 列一数列及数列的通项公式1.数列的前 n 项和： 2.数列的通项公式： nnaaS321 )2(11nSan3.递推公式：已知数列 的第一项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）高中数学知识大全第 5 页（共 21 页）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。二等差数列1.定义： 即： 成 等 差 数 列)0,2(1 nnn aqada2.判定方法：定义法： (常数) ； 等差中项法： 。 212nna3.通项公式：若首项是 ，公差是 ，则通项为 。是关于 n 的一次函数。1 dn)(14.等差数列的前 n 项和： 2)(1nnaSaS2对于公式整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数（充要条件）。5.等差中项：如果 ， ， 成等差数列，则有 或aAb2bAb6.等差数列的性质： 等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项，nn是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有mmddma)(.若 ，则 。qpnqpna. 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。S*NkkSk2kS23. 是奇数项的和， 是偶数项的和， 是前 n 项的和，奇 偶S结论：(i) ；naan221奇项 ， 则若 有 偶 数 项 12nnaS偶所以有 daS12341奇偶（ii） )()(12Snn奇项 ， 则若 有 奇 数 项naaSn12偶中偶奇 中偶奇 aSan1； 1偶奇 2Snn偶奇 偶奇偶奇若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，na121nb1212nT则 。(比如： ； )12nTSba179Tb90a三等比数列1定义： 成 等 比 数 列),(1 nnnqaqa2.等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 ，即 。GbGbaab23.等比数列的判定方法：高中数学知识大全第 6 页（共 21 页）定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。 na)0(1qnna等比中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列。21n)n4.等比数列的通项公式： 。1n5.等比数列的前 n 项和： )()(11qaqaSnn6.等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，n ma且 ，公比为 ，则有nmmna.对于等比数列 ，若 ，则naqpqpa若数列 是等比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， S*NkkSk2kS23成等比数列。四数列的通项求法： (1)等差，等比数列的通项公式；(2) （3）累乘法 ：)2(,1, nSaaSnn则 有求已 知 )(1ngan形 如(4)累加法： ； (5)构造法：)1fn形 如 .qp形 如五数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；(2)裂项相消法： 如： 1)(1nan(3)错位相减法： , cb为 等 比 数 列为 等 差 数 列 ，nc倒序相加法：如 an= ; 分组求和法： 如：a n=2n+3nC10 nb六其他结论：1、 BASBAannn 2成 等 差 数 列(1) 成 等 比 数 列成 等 差 数 列 ab(2) ；成 等 比 数 列成 等 比 数 列 knna成 等 差 数 列成 等 比 数 列 nbananlog02、在等差数列 中,(1)当 ,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。01a01maS3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；第四章 三角函数一、基本概念和知识要点1三角函数定义：sin = ，cos = ，tan = ，cot = ，sec = ，csc = 。ryrxyxryr2同角三角函数的关系中，平方关系是： ； ；1cossin2222tan1cs倒数关系是： ，商数关系是： ， 。1cottan intaios3 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（ 的奇、偶数倍）。2如： ， = ， 。)2si(cs)25t(tan)3t(tan4、三角函数的图象：ysinxycosx（略）xtan5 函数 的最大值是 ，最小值为 ，周BAy)si(），（ 其 中 0ABAA期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线2T2fx，对称中心为（ ，0），其中横坐标满足 。)(Zkx )(0Zkx6 三角函数的单调区间： 的递增区间是 递减区间是xysin22k， )(高中数学知识大全第 8 页（共 21 页）； 的递增区间是 ，递减区232k， )(Zxycosk2，)(Z间是 ， 的递增区间是 ， )(tank，7yAsin(x)五点法作图：依次取 x .2,3,08三角变换： (A0，0) 先平移变换，再伸缩变化先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中 x 的系数提出）如将函数 的图象按 平移后得函数 的图象，则 3)sin(2xyay3sin2a9两角和与差公式： iicosin)cos(icos)tan(tan1t10、二倍角公式是：sin2 = in2cos2 = = = 2sico1cos2sin2 = 。 tan = = 。tan2ta12ico11、升幂公式是： 。cs2si12、降幂公式是： 。o1sin21s213、万能公式：sin = cos = tan =2ta12tan12tan114、特殊角的三角函数值：（自己总结）15、正弦定理：（其中 R 表示三角形的外接圆半径）： RCcBbAsiisi16、余弦定理第一形式： = ；第二形式： cosB=2bBaco2acb217、ABC 的面积用 S 表示，外接圆半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，则：高中数学知识大全第 9 页（共 21 页） ； ； ；ahS21AbcSsin21 CBARSsinsi2 ； （ 为ABC 的周长）Rbc4pr18、在ABC 中， ， （充要条件）Cosc Bsiin -ta )+ta(-c B)+s(in=B)+si(A 2o2sinA2coCA tatattat 19解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求 c 边；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，（4）已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C20.弧度制： ，弧长公式： ； 扇形面积公式： ；rl|lr21slr21几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升幂公式；（其中 ）这一公式应用广泛。sincossin2baba abtn22函数 y = sin (x )：奇函数 偶函数kZZk2函数 y =cos (x )：奇函数 偶函数 2第五章 平面向量1.向量的概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。（2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量） ，相等向量，相反向量。向量的坐标表示： =(x2-x1,y2-y1)，其中 A(x1,y1),B(x2,y2)AB（3）向量的运算 向量的加法与减法：定义与法则（如图 5-1）：高中数学知识大全第 10 页（共 21 页）坐标运算：a+b=(x 1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中 a=(x1，y 1),b=(x2,y2)。2.平面向量的数量积定义与法则（如图 5-3）：向量的夹角： （ ） 两个向量的数量积： = cos008 ab其中 cos 称为向量 在 方向上的投影bb向量的数量积的性质： 若 =（ ）, =（ ）a1yx2,yx则 = =0ab21yxb01与 夹角为锐角 ; 与 夹角为钝角),(),(02211yxab),(),(02211yx3.定理与公式 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 = 。 b ba结论： ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0a0平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的1e2任一向量 ，有且只有一对实数 1, 2 使 = 1 + 2ae两向量垂直的充要条件(i) =0 (ii) x1x2+y1y2=0bb三点共线定理： 平面上三点 A、B、C 共线的充要条件是：存在实数 、,使 = + ，其中 +=1，O 为平面内异于 A、B、C 的任一点。OAB两点间的距离公式：| |= ，其中P 1(x1,y1),P2(x2,y2)21P2121)()(yx点的平移公式：若点 P0(x,y)按向量 =(h,k)平移至 P(x,y)，则a.,kyhx定比分点公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,1221,P1高中数学知识大全第 11 页（共 21 页）（ ） ；则： 中点坐标公式： 重心公式：2,yx121yx212yx3213yyxx第六章 不等式一、不等式的性质 (3)abc() 加 法 单 调 性(5abcab() 移 项 法 则6cdd 同 向 不 等 式 可 加(8)ab0acb() 同 向 正 数 不 等 式 可 乘121 正 数 不 等 式 两 边 取 倒 数二、常用的基本不等式和重要的不等式：（1） ，当且仅当 号；abRba2,2交 ”时 取 “ba（2） ，则 ；当且仅当 号；时 取注： 交交（3） ； ；22)(baa ),(2Rbaba（4）若 a、b、mR +，且 a1），则动点 P 的轨迹是双曲线。（2）若双曲线方程为 渐近线方程：12byax02byaxxab若渐近线方程为 双曲线可设为02若双曲线与 有公共渐近线，可设为12byax 2byax（ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上）00（3）特别地当 离心率 两渐近线互相垂直，分别为 y= ，交2e x高中数学知识大全第 15 页（共 21 页）此时双曲线为等轴双曲线，可设为 ；2yx三、抛物线1.定义：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。2.性质： （焦点到准线的距离）；交pxy),0(,2焦点： ，通径 ； 准线： ；)pAB22px焦半径： 过焦点弦长,xCF pxCD2113.焦点弦长公式：设过抛物线 y2=2px（pO）的焦点 F 的弦为 AB，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线 AB 的倾斜角为 ，则有|AB|=x +x +p12抛物线 上的动点可设为 P 或xy2),(yp),(2pt四、曲线和方程1交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组2过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)f 2(x，y)=0(R)第七章 直线、平面、简单几何体一、知识结构二、经纬度及球面距离：根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数。求球面上两点 A、B 间的距离求法：计算线段 AB 的长，计算球心角AOB 的弧度数；用弧长公式计算劣弧 AB 的长；三、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点四、其他结论：1、 三余弦公式：（如图）其中 为斜线与平面内直线所成的角,为线面角,（竖直平面内） 为射影与平面内直线所成的角，高中数学知识大全第 16 页（共 21 页）（水平平面内） 有 。coscos2、正（长）方体的外接球的直径等于其体对角线长；即： 22cbaR五、高考立体几何解答题空间向量解法1建立空间直角坐标系（1 分）： x 轴是横轴（对应为横坐标）， y 轴是纵轴（对应为纵坐标）， z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.（解题时先找出三条两两垂直的直线）例如：点 A 的坐标为( ), ，（1 分）则1,yz2(,)Bxyz点 的 坐 标 为， （终点坐标减去起点坐标）212,)Bx线段 AB 的中点坐标（ ， ， ）1x21y21z2令 , ，则 ，123(,)a123(,)b123abab夹角公式 cos,|a22213133求法向量的常用方法：例如：求平面 AEF 的法向量，若求出 ，(,0)AE(0,)F则设 是平面 AEF 的一个法向量，(,)nxyz由 （1 分） 得 令 ，则0AEF20xzy1y2,zx(2,)n若所求平面由两个坐标轴确定，则选第三个坐标轴的一个向量作为法向量。4.几个常用的公式：点 B 到平面 的距离公式为 .（1 分）( 是平面 的一个法向量)d|nAB,An.直线 与平面 所成角，先设直线 与平面 所成角为 ，A 则 （1 分）sin| ( 为平面 的法向量).再求出 =高中数学知识大全第 17 页（共 21 页）。sin|ABarc.求二面角的大小：设 ， 为平面 ， 的法向量mn先求 ，（1 分）就得二面角的大小为cos,|n cos|mnar（夹角是锐角还是钝角由图象可知）（其中要证面面垂直，则证 ）0异面直线所成的角例如：求异面直线 AB 和 CD 所成的角。，（1 分）（其中要证线线垂直，则证 ）cos,|ABCD 0ABCD证直线 AB 与平面 CDE 垂直，则证 （1 分）0,ABCE证直线 AB 与直线 CD 平行，则证 ，（1 分）（ 为常数）证直线 AB 与平面 平行，则证 ，（1 分）( 为平面 的法向量)。nn证平面 与平面 平行，先设 ， 分别为平面 ， 的法向量，m则证 与 平行，即证 。（1 分）（ 为常数）mn第十章 排列组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理） .（加法分类，类类独立）12nN分步计数原理（乘法原理） .（乘法分步，步步相关）m2、排列数公式是： = = ；mnA)1()n ！ )(3、 组合数公式是： = = ；nC21！ ！ )(mn组合数性质： = + =mnmn1mnC高中数学知识大全第 18 页（共 21 页）组合恒等式（1） = ;（2）nrC0n 121rnrr CC4、排列组合应用问题的处理方法：(1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列.(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合(4)解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法分配名额隔板法注意：要区别平均分组与不平均分组的处理方法。6、二项式定理 ;nrnrnnn bCabaCaCb 210)(（1）二项展开式的通项： );,.0(1rbTrr（2） ;2;21312210 nnnnnnC（3）F(x)=(ax+b) n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为 ；)(f偶数项的系数和为 ；（赋值法）)1(2f第十一章 概率统计（理 科）一、概率：1.等可能事件的概率：P(A)= 理解这里 m、的意义。n互斥事件（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生，P(A+B)=P（A）+ P(B)对立事件：即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生。P（A）+ P(B)相互独立事件：（事件 A、B 的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B)独立重复事件 如果在 1 次实验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复实验中这个事件发生 k 次的概率 Pn(K)=Cnkpk(1p) k 2.三种抽样：（1）简单随机抽样：常用抽签法和随机数表法。 （2）分层抽样；（3）系统抽样：3频率分布直方图：画图时，应以横轴表示 总体 ，纵轴表示 频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方高中数学知识大全第 19 页（共 21 页）图图中每个矩形的面积等于相应组的频率 。二、随机变量. 1、分布列、数学期望与方差.（1） 数学期望：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为1x2x ixP pp p性质 ； ,2,01i 121 i则称 为 的数学期望 npxpxE2方差、标准差： 为 的方差. 显然 ， npExpED2212 )()()( 0D故 为 的根方差或标准差. 越小，稳定性越高，波动越小. D（2） 随机 变量 的数学期望： 方差 .ba ba)( Dab2)()二项 分布： 分布列为 .（P 为发生 的概率） ，),(pnBnpEqD几何分布： 分布列为 .（P 为发生 的概率） ，,kq12三、正态分布：1、 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 ，则称 服从标准正态分布. 即 )(21)(2xexx 有 ， 求出，而 P（a b）的计算则是)1,0(N)(xP.abaP注意：当标准正态分布的 的 X 取 0 时，有 )(x5.0)(x正态分布与标准正态分布间的关系：若 则有 . ),(2N)(F)P(abaP第十二章 极 限（理 科）一、数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤： xya标 准 正 态 分 布 曲 线S阴 =0.5+S高中数学知识大全第 20 页（共 21 页）1(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 时命题成立；0n2(归纳递推)假设 nk(k ，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立1kn只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 n 都成立0二、数列极限 （1）如果 anA， bnB， C 为常数，那么： (anbn)limn lim n lim n ； BA (anbn) ； (B0)； (Can) 。limn Blim n