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第十一章反常积分11.1 反常积分概念反常积分概念11.2 无穷积分的收敛性质与判别无穷积分的收敛性质与判别11.3 瑕积分的性质与收敛判别11.1 反常积分概念反常积分概念一 、 引例二、两类反常积分的定义一 . 引入例：0 xy1 b解 ： 由于这个图形不是封闭的 曲边梯形 ,而在 x轴的正方 向是开口的，即这时的积 分区间为 1， +），显然当 b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，则所求曲边梯形的面积为 1二、两类反常积分的定义 .定义 1: 设函数 f (x)在区间 a, +)上连续 , 取 b a,如果极限 存在 ,则称此极限为 函数 f (x)在无穷区间 a, +)上的无穷限反常积分 , 记作 (1)这时也称无穷积分 收敛 ; 若上述极限不存在 , 就称无穷积分 发散 , 这时记号 不再表示数值了。 例如：oyxb1类似地 , 设函数 f (x)在区间 (, b上连续 , 取 a + ppdtte pt 且是常数计算无穷积分例证 : 当 p = 1时 当 p 1时 ).0( :3 + axdxa p证明无穷积分例 +a pxdx所以无穷积分练习 1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值 .解：练习 2： 计算无穷积分解 (1): 练习 4：求下列无穷积分 ：定义 2: 设函数 f (x)在区间 (a, b上连续 , 而在点 a 的右邻域内无界 , 取 0.如果极限 存在 ,则称此极限为 无界 函数 f (x)在 (a, b上的反常积分 . (4)这时也称反常积分 收敛 . 如果上述极限不存在 , 就称 反常 积分 发散 .类似地 , 设函数 f (x)在区间 a, b)上连续 , 而在点 b 的左邻域内无界 , 取 0. 存在 ,则定义如果极限 (5)否则 , 就称反常积分 发散 .设函数 f (x)在区间 a, b上除点 c (a axadxa计算反常积分例且由于. :5 11 2 的收敛性讨论反常积分例 xdx当 q 1时 , 收敛 ; 当 q 1时 , 发散 . 证 : 当 q = 1时 )( :6 ba qax dx证明反常积分例当 q 1时 , 因此 , 当 q 1时 ,反常积分 收敛 , 其值为 当 q 1时 , 广义积分 发散 . 例 7 计算反常积分解故原反常积分发散 .例 8.解 : 被积函数 f在 (0,1 上连续 ,x = 0 是瑕点 .由于 .瑕点解例 9 计算反常积分注意反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。反常积分中， N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如 无穷限积分再 如 瑕积分例 10 证明证四 . 小结(1) 无穷积分和瑕积分的定义 ;
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