浅析平面图形翻折的求解策略

浅析图形翻折的求解图形翻折问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，可提高空间想象能力和推理论证能力，是高考在知识交汇处命题的热点，在平面几何，解析几何，解三角形，空间几何中都可考查翻折问题，下面举例说明，供参考。例 1 如图，已知在矩形 ABCD 中，CD=2,AD=3,P 是 AD 上的一个动点，且和 A,D 不重合，过 P 作 PE CP 交 AB 于 E,设 PD=x,AE=y.(1)写出 y 关于 x 的函数关系式并指出 x 的取值范围；A1 CDPBEA(2)是互存在点 P，使 沿 PE 翻折后，点 A 落在 BC 上，并注明此结论。AE分析:利用相似性写出 y 关于 x 的函数关系式，利用翻折对称性质求解(2).解析: (1) PE CP, AEP= CPD, AEP DPC， ，又 PD=x,AE=y,DCAPEAP=3-x,CD=2, 即 y=- x2+ x(00，当 t 时 0，所以当 ，u 取得最大值: - = ，所3u3u3t 9以 的最小值为 3/ = 。l92举例 5 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 ACBD 于 O，且 OB=OD=1,OA= ,OC=3, 沿 BD3将 ABD 翻折成 A1BD，使平面 A1BD平面 BCD。点 P,Q 分别在 BC、CD 上，沿 PQ 将CPQ 翻折,能使点 C 与点 A1 重合，点 F 为 PQ 与 AC 的交点。 A 1ODFQM CPBA(1) 求证:直线 PQ平面 A1OF;(2) (2)求面 A1BP 与面 A1OF 所成二面角的余弦值。(1)证明:连接 A1C,取 A1C 的中点 M，连接 PM,QM.因为 CPQ A1PQ,则 A1P=CP,A1Q=CQ.从而 PMA 1C, QMA 1C,所以 A1C平面 PQM，则有 PQA 1C.因为平面 A1BD平面 BCD，且 A1OBD,则 A1O平面 BCD，从而 A1OPQ。因为 A1C 与 A1O 是平面 A1OF 内的两条相交直线，所以直线 PQ平面 A1OF。(2)因为 C OF 且 OF 平面 A1OF，所以 C 平面 A1OF。同理 C 平面 A1BP，于是 A1C 为平面A1BP 与平面 A1OF 的交线。过点 O 在平面 A1OF 内作 ONA 1C 于 N，连接 BN。因为 BOA 1O且 BOOC，则 BO平面 A1OF。又 A1C 平面 A1OF，则 BOA 1C.因为 A1CON，所以 A1C平面 BON，从而 A1CBN，于是 BNO 即所求二面角的平面角。在 Rt A1OC 中，由勾股定理可得 A1C=2 ，由等面积法可求得 ON= 。在 Rt BNO 中，由勾股定理可得 BN=323于是 cos BNO= ,故面 A1BP 与面 A1OF 所成二面角的余弦值为 。2131 13评注;本题主要考查空间点、线、面的位置关系以及二面角的求解，同时考查空间想象能力和推理论证、运算求解能力。解题中要注意平面图形翻折为空间图形过程中一些量及位置关系那些变，那些不变。总结:平面图形的折叠问题是近几年高考和各类模拟题中涌现出的一类新题型，在解答这类问题时，应注意以下几点:1.一般先要做出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称性质和全等变换的相关知识进行解题。2.在平面直角坐标系中，善于将几何图形的位置和大小由“数”来表示。3.解决平面图形的折叠问题时还应消除如下困惑:一是折叠后立体图形的几何形状模糊不清；二是