江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2010 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题 4 分，共 32 分）1. 0sin(si)lmxx2. ， 2l(1)y/y3. ， cosx()n4. 21ed5. 4x6.圆 的面积为 22019yz7. ， 可微， ，则 (,)xzfyf/2(3,),()3ff(,)2,1xydz8.级数 的和为 .1!2nn二.（10 分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点 ，使得()fx,ab()()bbaafxdfx,ab0afd.三 （10 分）已知正方体 的边长为 2， 为 的中点， 为侧1ABCDE1DCF面正方形 的中点， （1）试求过点 的平面与底面 所成二面角的1BC,AFAB值。 （2）试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.,EF四（12 分）已知 是等腰梯形， ,求 的ABCD/,8BCADC,ABD长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12 分）求二重积分 ，其中22cosinDxyd 2:1,0Dxyy六、 （12 分）求 ，其中 为曲线21xyedy 从 到 .201xy0,O,A七.（12 分）已知数列 单调增加，na12311,5,3nnaa记 ，判别级数 的敛散性.2,3n 1nx1nx2008 年江苏省普通高等学校非理科专业一、填空题（每小题 5 分，共 40 分）1） 时，_,ab2limarctn.2xxb2） 1lim_.(3)nk3）设 则2)(10),fxx ()_.f4） 时， 在 时关于 的无穷小的阶数最_,ab2xfab0x高 .5）230sinco_.xd6） 21()7）设 则,xzy(2,1)_.nz8）设 为 所围区域，则D,0arctn_.Dydx二、 （8 分） 设数列 为： ，求证：数列 收nx11,6(1,2)nx nx敛，并求其极限3、 （8 分） 设函数 在 上连续 求证：存在()fx,ab(0),(0,bafxd使得(,)ab()().afxdf4、 （8 分） 将 平面上的曲线 绕直线 旋转一周xy22()(0)xbyab3xb得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.5、 （8 分） 设 讨论 在 处224,()0,;(,)0, .xyfxy (,)fxy0,的连续性、可偏导性、可微性.6、 （10 分） 已知曲面 与平面 的交线在 平面上2241xyz0xyzxy的投影为一椭圆，求此椭圆面积.7、 （8 分） 求2401limsin().ttxtdy8、 （10 分） 求 这里 21,Dxydx 2:,0.Dxyxy2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ， 3xfa41limn2ffn2. 2501limxtxedt3. 20arctn4.已知点 , 为坐标原点，则四面体 的内接球4,0(,2)(0)ABCOOABC面方程为 5. 设由 确定 ，则 yzxe(,)xy,0edz6.函数 中常数 满足条件 时，2,xfabab为其极大值.107.设 是 上从点 到 的一段曲线， 时，曲线sin(0)yx,0,a积分 取最大值.22yded8.级数 条件收敛时，常数 的取值范围是 1npp二.（10 分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经 2 小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为 100 公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于 公里/小时2033.（10 分）曲线 的极坐标方程为 ，求该曲线在 所对1cos024应的点的切线 的直角坐标方程，并求切线 与 轴围成图形的面积.LLx四（8 分）设 在 上是导数连续的有界函数， ，()fx,1fxf求证： 1.五（12 分）本科一级考生做：设锥面 被平面 截下223(0)zxyz340xz的有限部分为 .（1）求曲面 的面积；（2）用薄铁片制作 的模型，为 上的两点， 为原点，将 沿线段 剪开并展成平面(2,03),(0,)ABOOB图形 ，以 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出 的边界的极坐标方程.DOD本科二级考生做：设圆柱面 被柱面 截下的有限部分21(0)xyz2zx为 .为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型，为 上的三点，将 沿线段 剪开并展成平面图形(1,05)(,1),0ABC BC，建立平面在极坐标系，使 位于 轴正上方，点 坐标为 ，写出 的边DDxA0,5D界的方程，并求 的面积.六（10 分）曲线 绕 轴旋转一周生成的曲面与 所围成的立体区20xzy 1,2z域记为 ，本科一级考生做 221dxyzx本科二级考生做 七（10 分）本科一级考生做 1）设幂级数 的收敛域为 ，求证幂级数21nax1,的收敛域也为 ；2）试问命题 1）的逆命题是否正确，若正确给出证1nax,明；若不正确举一反例说明.本科二级考生做：求幂级数 的收敛域与和函数21nnx2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. 是周期为 的奇函数，且在 处有定义，当 时，fx0x0,2x，求当 时， 的表达式 .sinco2fx,2f2. 2ta2limx3. 22li14nnn4. 时 l,fxx0f5. 2xed6. .1nn7.设 可微， ， ，,fxy1,2,3,124xyfff,2xfx则 .8. 设 ， 为 ，则0fxg其 他 D,xy. Dfydy2 （10 分）设 在 上连续， 在 内可导， ，fx,abfx,ab(),fa,求证： 内至少存在一点 使得21bafxd , 1f三.（10 分）设 ，在 的边界 上任取点 ,设2:4,24DyxxyDyxP到原点距离为 ，作 垂直于 ，交 的边界 于PtPQ24Q1）试将 的距离 表示为 的函数；, t2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积yx四（10 分）已知点 ,在平面 上求一点 ，使(1,0),(32)PQ-21xyz-+=M最小PMQ+五（10 分）求幂级数 的收敛域。132nnx六（10 分）设 可微， ，,fxy1,2,2,13xyfff，求 .2xf七（10 分）求二次积分 2201ded2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 5 分，共 40 分）1. ，则 ， 0lim0xkeckc2. 设 在 上可导，下列结论成立的是 f1,A. 若 ，则 在 上有界lixfx1,B. 若 ，则 在 上无界0fC. 若 ，则 在 上无界lim1xfx,3. 设由 确定 ，则 ye()yx0y4. arcsinrosxd5. 曲线 ，在点 的切线的参数方程为 2zy1,26.设 ， 有二阶连续导数， 有二阶连续偏导数，,sinxzfgefg则 2xy7. 交换二次积分的次序 .2130,xdfyd8.幂级数 的收敛域 12nn二.（8 分）设 在 上连续，单调减少， ，fx0, 0ab求证 00()()baadd3.（8 分）设 在 上连续， ，求证: 在fx,ab()()0bbxaafxdfedfx内至少存在两个零点.,ab4.（8 分）求直线 绕 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与12xyz所包围的立体的体积.0,y5.（9 分）设 为常数，试判断级数 的敛散性，何时绝对收敛？何时条k221lnk件收敛？何时发散？6.（9 分）设 讨论 在点 处连21arctn,0,0yxyfx ,fxy0,续性，可偏导性？可微性.七.（9 分）设 在 可导， ，fu0220,:fxyzt求 22501limtfxyzdx8.（9 分）设曲线 的极坐标方程为 ，一质点 在力AB1cos2P作用下沿曲线 从 运动到 ，力 的大小等于 到定点 的F0,10,BF3,4M距离，其方向垂直于线段 ，且与 轴正向的夹角为锐角，求力 对质点 做得MPyF功.2000 年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题 3 分，共 15 分）. 1.设 ，则 fxfx2. 1limnx3. 已知 ，则 21dfxf4. 145xd5设 由方程 确定（ 为任意可微函数） ，,zy,0yzFxF则 x二选择题（每题 3 分，共 15 分）1.对于函数 ，点 是（ ）12xy0A. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.已知函数 对一切 满足 ，若 ，yfx231xxffxe00()fx则（ ）A. 是 的极大值； B. 是曲线 的拐点；0fxf 0,fyfC. 是 的极小值；D 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点0ff0,xf fx3. （ ）23limxxA. 等于 1； B. 等于 0；C. 等于 ；D 不存在，但也不是14.若 都存在，则 在00,xyxyff,fxy0,A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设 为常数，则级数21sinA. 绝对收敛 B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与 取值有关三（6 分）求 11lim2n n四（6 分）已知函数 由参数方程 确定，求()yx(1)0yxte20tdyx五（6 分）设 在 上连续，在 内可导且对于 一切 均有,fxg,ab,ab,abx，证明若 在 内有两个零点，则 至少存在0fxgfxg一个介于这两个零点之间的零点。六（6 分）设 ，求 。10xfe201fxd七（6 分）已知 ， ，求zuvcos,inuuxevye,zxy八（8 分）过抛物线 上一点 作切线，问 为何值时所作的切线与抛物2yx2,aa线 所围成的平面图形