加菲尔德构图在中考中的应用

加菲尔德图形在中考中的应用记一节中考第二轮专题复习课我很有幸在 2012 年 5 月下旬接到通知参加浙江省温岭市教育局组织的优秀教师送教下乡活动，活动的主题是“如何提高初中数学学业考试水平之复习课例研究” ，温岭市数学教研员丁老师要求我上一节中考复习课。众所周知，上好一节数学复习课是比较困难的，尤其是中考复习课，我平时开公开课也是尽量避免选择复习课，在接到通知时，我虽然很是犹豫、内心底气不足，但我觉得这也是锻炼自己的绝佳机会。这次活动让我直面如何上好中考复习课，经历了选课题、备课、磨课、上课、评课，让我颇有心得收获，于是我把在当时的备课和磨课的过程特作以下记录。1 选题到每年的 5 月中旬，根据各个学校九年级的教学经验，数学第二轮的复习教学已经到了尾声，还有三至四个星期的时间即将迎来中考。当我接到通知的时候，感觉最困难棘手的事情就是：第二轮专题复习都差不多结束了，在大量中考复习用书中编订的第二轮复习内容之外，还可以选什么内容当复习主题呢？ 首先我翻阅各种版本的中考复习用书，很失望地发现这些书中第二轮复习的专题课题基本上都一样，该上的内容当时九年级的数学老师也已经都上过了，我实在不知道该选什么内容好。于是我又去学校图书室翻阅数学期刊，期望在那里发现同行们有关中考复习的一些新观点。结果没有让我失望，我在一本数学杂志中发现了一篇文章，题目就是：加菲尔德图形在中考中的应用。一些同行会在数学杂志上发表自己独特的教学经验、教学构思等等，我觉得平时翻看总会有些收获。这次我也算是应了“柳暗花明又一村”这句诗了，从这篇文章中得到了启发后，我再在学校数学组长和备课组长的提醒下，发现加菲尔德证明勾股定理时采用的构图（见 ppt1） ，不仅在书本（新人教版八年级第 18 章、第 19 章，九年级第 27 章）中的习题中出现,还在课外习题、甚至在中考题中常会以显性或者隐形地存在，依据这个几何构图所编的数学题基本上都是要求学生用“相似”这个知识点加以解决的。细想教材改革后的中考试卷的变化，圆部分的考题被大大地削弱， “相似”现在已成了数学中考里的考试热点，近几年中考卷中“相似”都占较大的分值。我认为在当前的中考形式下，很有必要将这个几何构图形成一个中考复习专题。而且，这个内容在任何的中考复习用书中都是没有的，也算是极具新意又切合中考热点的一个专题。因为该构图来自于加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，所以我就定送教下乡的中考复习课题为：加菲尔德图形在中考中的应用。2 教学设计简介确定了课题之后，我就着手设计教学过程。我把经过多次磨课修改后的教学设计作一下简单介绍。关于这节专题课，我将教学目标定位在：1、 学生认识加菲尔德图形、掌握加菲尔德图形的基本结论。2、 学生会提取加菲尔德图形，构造加菲尔德图形，利用它的基本结论作为解题突破口。3、 学生要善于总结并灵活运用中考题中常见的基本构图及其结论。教学重点：学生认识加菲尔德图形及其基本结论，体验其在中考中的应用。教学难点：当数学题中没有显性的加菲尔德图形时，学生要会依据加菲尔德图形的特征去构造加菲尔德图形再解题。 （见 ppt2）在课堂设计中，我首先由数学史背景引入，师生先一起回顾勾股定理的加菲尔德证法，让学生知道课题的来源。再教师点明课堂主题：学习加菲尔德证明勾股定理时采用的图形,以及它在中考中的应用。(见 ppt3-4)接着，为了方便课堂教学，我给这个构图一个名称：加菲尔德图形。然后，我让学生说说这个图形的特点。接着，教师带领学生探究加菲尔德图形能推出哪些结论，将最初的ABC 与BED 全等推广到ABC 与BED 相似，进而得到 am=bn ，可让学生适当的记忆为两竖线段之积等于两横线段之积。(见 ppt5-6)在学生认识加菲尔德图形、掌握加菲尔德图形的基本结论之后，我设计了例题和练习来锻炼学生的应用能力。(见 ppt7-13)例题 1 翻折问题经常在中考题中出现，这个例题以翻折为背景，先引导学生抓住加菲尔德图形的特征在题中的图形中提炼出加菲尔德图形，再运用加菲尔德图形的结论解题。例题 2 是动点问题,也是中考热点考题,再次训练学生提炼加菲尔德图形解题。接下来是思考,该思考题是在前面两题的基础上继续深入探究：在 ABBC，EC BC 的构图基础上，是否总在 BC 上存在点 F,使AFE=90 0，若存在，则有几个这样的点 F?通过思考解决由加菲尔德图形延伸出的一些问题，可更好地让学生掌握加菲尔德图形的相关知识。例题之后，我再挑选了几题中考题作为实战演练。练习 1 和练习 2 中存在显性的加菲尔德图形，继续训练学生提炼加菲尔德图形再解题，练习 3 是这三题练习中最为重要的，它要求学生发现分析过程中的隐性的加菲尔德图形，会构造加菲尔德图形从而解题。如果学生在练习中能快速根据加菲尔德图形的特征去构造加菲尔德图形解题，那么本节课的学习就是成功的。最后是课堂小节。(见 ppt14)3 磨课过程这节课我总共进行了三次课堂教学，前两次试上课，最后一次正式送教上课，每一次总是有着缺陷和遗憾，但是每一次都有着进步与收获。第一次试上课我的同事们来听课，这是我第一次对同事展示以复习课为主题的公开课，当时我上的一塌糊涂。我的课堂讲解拖沓、繁琐，课堂设计的个别环节时间安排不够合理，我在课堂中就题而题，没有强调突出解题数学思想，根本没有意识到复习课里应该让学生在做题的基础上上升一个台阶。第一次试上课的失败就是因为我平时怕上复习课，自己刻意回避着，也没有好好去琢磨如何去上好复习课，这样的经历不得不鞭策着我前进。同事们对我提出了很多指正意见，我自己作了思考和调整，然后请数学教研员丁老师来听我的第二次试上课。第二次试上课虽然不象第一次试上课那样糟糕，但是我无论在设计上还是讲课上还是存在很多的问题。丁老师在听课后很耐心地指出如何改正教案设计上的不足，关于如何上好一节复习课，讲课教师该注意什么,他提出了很多宝贵的意见，对于平时缺乏思考的我真的收益匪浅、学到了很多。之后我又进行了教学设计上的修改,主要有三处： 1、在第二次试上课的时候（见 ppt15） ，我在回顾勾股定理的加菲尔德证法后，对学生介绍加菲尔德图形，直接就在课件上给出：ABBD，ED BD，AC CE，然后问学生该图形能得出什么结论？最终的教学安排是（见 ppt5-6）：我在回顾勾股定理的加菲尔德证法后，对学生介绍加菲尔德图形，然后我让学生在此处作一个停顿思考，思考这个图形有何特征？这个环节其实是例题之前知识点讲解的重中之重，要想让学生学会在几何题中提炼或构造加菲尔德图形，必须深刻地认识它的结构特征，而我最早的设计就直接地塞给了学生三垂足共线的特征，根本没有让学生去发现去思考，这对于学生把握加菲尔德图形特征进行知识迁移解例题和练习会带来障碍，这是我在试上课的课堂设计中最不合理之处。2、我在试上课的时候准备的练习比最后正式上课的量多，最后教学设计里就例题 1 是翻折型的考题（见 ppt7） ，但是我在第一次试上课的时候比最后上课多一个翻折型的选择题（见 ppt16） ，第一、二次试上课的还都有一个挑战题（见 ppt17） ，当时觉得想让学生多接触中考题就不舍得扔。其实在两次试上课的时候我是该讲的没好好讲，不该讲的倒是讲得很辛苦，学生听得也累，就这个挑战题，难度比较大，在课堂最后讲，效果约为零。3、我在第一、二次试上课的时候，例题是没有分例 1 和例 2 的（见 ppt18） ，当时想在解决完翻折型的这个例题后让学生继续思考，在原图案上，让点 F 动起来，再让学生思考探讨AFE 能否成为 90 度的存在性问题。于是我在下一张 ppt 就这样设计（见 ppt19） ，但是试上课的结果让我十分尴尬，学生因为受到前面翻折的影响，当我问：当点 F 在 BC 边上运动时, AFE 的大小会发生变化吗?绝大部分学生就说没有变化，使得我再三强调：同学们，我现在的条件改了!但很多学生仍很茫然。而且AFE 能否成为 90 度的存在性问题探讨得也不彻底。于是在和丁老师反复磨课讨论后，我最后的设计就第一个例题就翻折型问题，第二个例题就动点问题，两者泾渭分明，免得学生分不清楚，之后的思考就结合方程思想、数形结合思想分别从代数和几何两方面专门探讨AFE 能否成为 90 度的存在性问题（见 ppt7-9） 。最后正式送教的时候，我的上课还是留下较大的遗憾。我送教的学校是乡下薄弱学校，这个我事先就知道，但是学生对于例题和练习的解决能力比我预期的还要低，使得课堂节奏不得不放慢，这样就让我讲解练习 3（见 ppt13）的时间不够多，大部分学生没有足够的时间去发现隐性的加菲尔德图形，上来板演辅助线的优秀的学生也没有能将所有的情况写出，令人遗憾。本来，能发现隐性的加菲尔德图形、从而解出练习 3 该是检验本节课是否成功的练习题，最终课堂出现这样的情况让我十分遗憾。这让我又认识到：即使是内容一样的一节课，也应该因为教授对象的不同而有所不同的设计，因为教师备课要备的不仅是教材还要备学生。在整个磨课、上课、评课的过程中，我真学到了很多。说实话，整个备课和磨课过程很痛苦，让我绞尽脑汁、思前想后，但同事和教研员的倾囊而授、同行的意见让我体验到茅塞顿开的兴奋。交流产生进步，令我感激万分。4 教后反思一般的教师对于一节的新授课会有明确的教学目标，对于复习课，却没有作太多的设计与思考，往往就是让复习课成为一节习题课，讲讲题目做做题目，虽然有量但是质却不高。我其实也是在说我自己，之前的很多复习课我都是这样过的。经过这次的送教活动，我有以下的体会：首先在备复习课的时候，讲课教师必须清楚这节课的教学目标和教学重、难点，尤其是中考复习课，更要结合考点设计教学目标和重难点，参考往年中考题设计课堂例题和练习。在例题和练习讲解的时候，一定要注重解题方法和数学思想的总结，教师要思考如何有效地在课堂中提高学生的学业考试水平。其次，我以前和很多老师一样，总是觉得在中考复习的课堂里，尽量让学生多做题，觉得这道题不错，那道题也好，不舍得扔，没有抓好典型例题的设计，为了多说题而尽量“加 菲 尔 德 图 形 ”在 中 考 中 的 应 用ACBDE 教 学 目 标 ：1、 学 生 认 识 加 菲 尔 德 图 形 、 掌 握 加 菲 尔 德 图 形的 基 本 结 论 。2、 学 生 会 提 取 加 菲 尔 德 图 形 ， 构 造 加 菲 尔 德 图形 ， 利 用 它 的 基 本 结 论 作 为 解 题 突 破 口 。3、 学 生 要 善 于 总 结 并 灵 活 运 用 中 考 题 中 常 见 的基 本 构 图 及 其 结 论 。教 学 重 点 ： 学 生 认 识 加 菲 尔 德 图 形 及 其 基 本 结论 ， 体 验 其 在 中 考 中 的 应 用 。教 学 难 点 ： 当 数 学 题 中 没 有 显 性 的 加 菲 尔 德 图 形时 ， 学 生 要 会 依 据 加 菲 尔 德 图 形 的 特 征 去 构 造 加菲 尔 德 图 形 再 解 题 。如 图 ， 这 是 美 国 第 20任 总 统 加 菲 尔 德 证 明 勾 股 定理 时 所 采 用 的 图 形 ， 是 用 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形和 一 个 等 腰 直 角 三 解 形 拼 出 一 个 梯 形 借 助 这 个图 形 ， 你 能 用 面 积 法 来 验 证 勾 股 定 理 吗 ？ S梯 形 ACDE=Rt B+SRt BDE+SRt ABE ab2 c21且 S梯 形 ACDE = ab2+c2=b整 理 得 ： ab2证 :ACBDE一 、 数 学 史 背 景babacc 如 图 ， 这 是 美 国 第 20任 总 统 加 菲 尔 德 证 明 勾 股 定理 时 所 采 用 的 图 形 ， 是 用 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形和 一 个 等 腰 直 角 三 解 形 拼 出 一 个 梯 形 借 助 这 个图 形 ， 你 能 用 面 积 法 来 验 证 勾 股 定 理 吗 ？ACBDE一 、 数 学 史 背 景babacc这 样 的 构 图 我 们 称 为 “加 菲 尔 德 图 形 ”.压缩复习课堂开始时对要回顾或者教授的知识点的讲解，有时候甚至匆匆一带而过。这里我深深地记得丁老师在磨课的时候对我说的话：知识的生成与教授不可急，学生若是没有切实地理解和掌握好它，那么教师设计再多的例题和练习也是徒劳的。确实，复习课的知识点若是没有讲透，学生脑中对它就不会产生深刻的印象，在课堂中学生遇到各种类型的练习也不容易产生思维迁移。故在课堂中，知识要讲透，例题要精不要多。最后，针对我的这节课，当时评课的时候，就有同行提出：是否图形太过单调，三垂足共线还可以拓展到三等角顶点共线，为什么不在课堂上再作拓展呢？该同行说的，我在实际教学中是思考过的，三垂足共线和三等角顶点共线的中考题都是以相似为基础，以它们为背景的中考题是很多的。我认为这既是一个中考热点，就要细讲， 我在实际教学中，编排了两个课时，在第一课时（加菲尔德图形在中考中的应用）上完之后，第 2 课时专门讲（m 型图形在中考中的应用） （见 ppt20） ，让学生体会图形的变式和解题思想的不变。在上半年的中考模拟考中，有几题压轴题是以 m 型图形作为背景的，一些学生在考后都纷纷和我说：老师，这道题又可以用加菲猫解决的，真是太简单了。他们在我讲课后已经把加菲尔德图形起了个绰号叫加菲猫。听了他们的话我感觉十分的兴奋，感觉这个专题的设计真是太成功了。在 9 月份开学后，丁老师让我把这个专题编进今年中考大决战 （由北方妇女儿童出版社出版，由市教研员牵头数学教师编写的中考复习用书） ，我相信这将会是今年下半年出的所有中考复习用书中，它会是与众不同的中考复习专题。附：pptPpt1 ppt2Ppt3 ppt4ACBDE二 、 “加 菲 尔 德 图 形 ”及 基 本 结 论你 能 说 说 加 菲 尔 德 图 形 有 什 么 特 征 吗 ?babacc加 菲 尔 德 图 形 ”:图 形 中 存 在 三 对 互 相 垂 直 的线 段 ， 并 且 三 个 垂 足 位 于 同 一 条 直 线 上 （ 垂 足 间不 存 在 相 互 重 叠 ） ， 这 一 类 图 形 又 可 称 为 “三 垂足 共 线 图 形 . ACBDE二 、 “加 菲 尔 德 图 形 ”及 基 本 结 论 ABC E ABC BEDAEbabacc一 般 化 bamnbn aAB CDFE例 题 1如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD中 ， AB=4， AD=5,将 矩 形 ABCD沿 AE翻 折 ， 使 点 落 在 C边 上 的 点 F处 ， 则 E=_.三 、 例 题 讲 解1.5 例 题 2 在 直 角 梯 形 ABCE中 ， AB C， E BC，AB=4， C=5,E1.5 ， 点 F是 线 段 上 的 动 点 ，设 Fx， 当 F=90时 ， 求 x的 值 .AB CFE三 、 例 题 讲 解ca思 考 在 直 角 梯 形 ABCE中 ,AB C， E BC，AB=a， C=b， EC=c， 点 F是 上 的 动 点 ，如 何 确 定 在 B上 存 在 几 个 点 ， 能 使 AF=90?BCFE三 、 例 题 讲 解b ABCFE三 、 例 题 讲 解方 程 有 两 个 不 同 实 根 方 程 有 两 个 相 同 实 根两 个 点 F一 个 点 F不 存 在 点 FO O与 BC相 交 O与 BC相 切 O与 BC相 离ABCFEOABCEO方 程 无 实 根练 习 1、 （ 206年 陕 西 ） 如 图 ， 矩 形 ABCG（ AB C） 与 矩形 CDEF全 等 ， 点 B、 C、 D在 同 一 条 直 线 上 ， PE的 顶 点 P在 线 段 B上 移 动 ， 使 APE为 直 角 的 点 P的 个 数 是 （ ）A 0 1 C 2 D 3FABCPGED四 、 中 考 题 实 战 演 练 练 习 2、 （ 01年 山 东 日 照 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD边 长为 4， M、 N分 别 是 BC、 D上 的 两 个 动 点 ， 当 M点 在 上运 动 时 ， 保 持 AM N， 当 BM _时 ,四 边 形ABC面 积 最 大 BCDMN2四 、 中 考 题 实 战 演 练Ppt5 ppt6Ppt7 ppt8Ppt9 ppt10Ppt11 ppt12练 习 3、 （ 201本 市 某 中 学 期 中 考 题 ） 如 图 ， 在 平 面直 角 坐 标 系 中 ,点 A坐 标 为 (3， 4)， 求 在 平 面 直 角 坐 标系 中 ， 以 OA为 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 OAB的 顶 点 B的坐 标 四 、 中 考 题 实 战 演 练OA（ 3， 4）xy3-，7， 1，-顶 点 B的 坐 标 为1、 “加 菲 尔 德 图 形 ”2、 善 于 提 炼 基 本 图 形 、 构 造 基 本 图 形 ， 快 速 获得 解 题 思 路 ， 从 而 提 高 解 题 有 效 性 .五 、 课 堂 小 结ACBDE ABC EDbn amb nACBDEbamn3、 方 程 思 想 建 模 思 想 分 类 讨 论 思 想 数 形 结合 思 想加 菲 尔 德 构 图 结 论ABCDEABCDE如 图 1， AB D， E BD， AC E， AB=CD，你 能 得 出 哪 些 结 论 ？图 1 图 2如 图 2， ， ， E， ，你 能 得 出 哪 些 结 论 ？第 二 次 试 上 课 设 计 : （ 201年 四 川 内 江 ） 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ,矩 形A