吉林省长春市2013年高中毕业班第一次调研测试数学理

世纪金榜 圆您梦想 第 1 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜 圆您梦想 第 2 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜 圆您梦想 第 3 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜 圆您梦想 第 4 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试世纪金榜 圆您梦想 第 5 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C简答与提示：1. B 由 20x可得 12x，又 ln(1|)yx中 |0，则 1|x即 1，则|或R -，因此 (),ABR，故选 B.2. B 由题意可知：2222341()115aiiaiaii ，因此2135a，化简得 2253， 24则 ，由 2a可知 0，仅有满足，故选 B.3. A 由于要取 a， b， c中最大项，输出的 x应当是 a， b， c中的最大者，所以应填比较 x与 c大小的语句 cx，故选 A.4. A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成，且高都为 3，因此该几何体体积为 2 81343366V ，故选 A.5. A 由题意可计算得11123330 00xad；131220013xbd；141300cx，综上 abc，故选 A.6. C 由 31231aq与 312456q可得 93， 31124nnnaaq，因此36468nq，所以 n，故选 C.世纪金榜 圆您梦想 第 6 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司7. B 由题意 AC中 60B， 23C，由正弦定理可知 23sinBCRA，由此 2，24SR，故选 B.8. B p命题中 3cos(2)cos(2)cos(2)444yxxx sin(2)4x与sinyx关于原点对称，故 p为真命题； q命题中2icos2in4x取极小值时， 242xk，则 38xk()kZ，故 q为假命题，则 pq为假命题，故选 B.9. D 212()28yxxyx，当且仅当 yx，即 24yx时等号成立. 由 m恒成立，则 2m， 280m，解得 42，故选 D.10. C 当 3|OAB时， O， A， B三点为等腰三角形的三个顶点，其中 ， 120，从而圆心 O到直线0xyk()的距离为 1，此时 k；当 2k时3|，又直线与圆 24xy存在两交点，故2，综上 的取值范围为 ,，故选 C. 11. B 由题可知：双曲线离心率 1|ABeD与椭圆离心率 2|CDeB设 |ADCt则 |2t， |2cosCt， |54cost，1254cos1e， 2s54c1e，0,2时，当 增大， os减小，导致 1e减小.122c54cs154se. 故选 B.xyAO B世纪金榜 圆您梦想 第 7 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司12. C 对于，假设 1|02MPx，则 *1|2Mx ，则 *P，因此错误；对于，假设 | ，则 ，又 *，则 ，因此也错误，而和都是正确的，故选 C.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 1,5 14. 3 15. 63 16. 604简答与提示：13. 由题可知 (1)0yx，即为求区域内的点与 (0,1)点连线 斜率 k的取值范围，由图可知 ,5k.14. 由正弦定理与余弦定理可知， sin6cosinBAC可化为226bca，化简可得223()bca，又 2b且 0，可计算得 3.15. 设正四面体棱长为 ，则正四面体表面积为 2214Sa，其内切球半径为正四面体高的14，即 6312ra，因此内切球表面积为226r，则21236Sa.16. 由 ()5)fx，可知 (5)(16fxf，则 (5)()0fxf，所以 ()fx是以10 为周期的周期函数. 在一个周期 ,9上，函数 2)在 1,4区间内有 3 个零点，在 (4,9x区间内无零点，故 ()fx在一个周期上仅有 3 个零点，由于区间 (2中包含 201 个周期，又 03时也存在一个零点 2，故 ()fx在 0,2上的零点个数为 0164.三、解答题（本大题必做题 5 小题，三选一中任选 1 小题，共 70 分）17. (本小题满分 12 分)xyO世纪金榜 圆您梦想 第 8 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得 1A， 2436T，所以 2T，则 1；将 (,)6代入得1sin()6，而 2，所以 ，因此函数 ()sin)3fx；(6 分)(2)由于 ,x， 36x ，所以 11si2 ，所以 (fx的取值范围是1,2. ( 12 分)18. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)由题 112nnSa -可得 1102nnna，则 13nn. (3 分)当 时 S，则 12a，则 是以 2为首项， 13为公比的等比数列，因此 1()3nnnq. (6 分)(2)223logl4nnab， (8 分)所以 2111()()4(2)82n n， (10 分)13( ()83 216Tnn(12 分)19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 12AC，且 O 为 AC中点，1AOC，又 侧面 底面 B，交线为 ， 11A或，世纪金榜 圆您梦想 第 9 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司1AO平面 BC. (4 分)(2) 如图，以 O 为原点，分别以 OB、OC、 1OA所在直线为 x、y、z 轴，建立空 间直角坐标系，则由题可知 (,0)， (0,1)C，1(0,3)A， ,1.()C，令平面 1AB的法向量为 (,)nxyz，则 10n，而 (0,3)， 10AB，可求得一个法向量 (3,)n，所以11|621|cos, 7AC，故直线 1与平面 1B所成角的正弦值为 . (8 分)(3) 存在点 E为线段 C的中点.证明：连结 1交 1于点 M，连结 1AB、 O，则 M为 1BC的中点，从而 OM是 1CAB的一条中位线， /OAB，而 1平面 ， 平面 A，所以 /平面 ，故1BC的中点 即为所求的 E点. (12 分)20. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设 0(,)Pxy，由7|2OP可知2074xy(1 分)又 1234PF， 003,)4ccxy，即2200xcy (2 分)代入得： 1c. 又2e，xA1BCOC1B1yzA世纪金榜 圆您梦想 第 10 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司可得 2,1ab，故所求椭圆方程为21xy(4 分)(2)设直线:3lykx，代入2，有2416(039kxk.设 12(,)(,)AB、 ，则1212224,3()()x. (6 分)若 y轴上存在定点 0,Mm满足题设，则 1,Axymur， 2(,MBxymur，122122()()xyurg12 ()33kkx21()()9x228965()mkm(9 分)由题意知，对任意实数 都有 0MABurg恒成立， 即2218()(9615)k对 kR成立.20,965,m解得 m， (11 分)在 y轴上存在定点 (1)，使以 AB为直径的圆恒过这个定点. (12 分)21. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得： 22()()()xxfeaea 2) (x x； (2 分)(1) 由曲线 (yf在点 (2,)Pf处的切线垂直于 y轴，结合导数的几何意义得 (2)0f，即2()ae40ae，解得 1a； (4 分)(2) 设 |sin|(01)xt ，则只需求当 时，函数 (01)yft 的最小值.世纪金榜 圆您梦想 第 11 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司令 ()0fx，解得 2xa或 ，而 0a，即 2.从而函数 在 (,)和 (,)上单调递增，在 (,)a上单调递减. 当 21a 时，即 2 时，函数 fx在 ,1上为减函数， min(1)4)yfae；当 0，即 a时，函数 ()的极小值即为其在区间 0,上的最小值， 2min()yfe. 综上可知，当 0a 时，函数 (|sin|)fx的最小值为 (4)ae；当 2时，函数 (|sin|)fx的最小值为2e. (8 分)(3) 令 2(xkx，显然 0，则2()xek. 构造函数2()xeg， 2()(12)xgx. 令 (0x得 1， 21， 3，可知： g在 ,上单调递减，且 ()0gx，当 无限减小时， ()gx保持恒负并无限接近于 0，其图像在下方无限靠近 x轴负半轴； 在(2,)上单调递增，当 无限接近于 0 时， ()x无限增大，其 图 像 在 左 侧 向 上 无 限 接 近 y轴 正 半轴 ， 由 于 极 小 值 2()e，所以 g在 2,)内存在一个零点； ()gx在 0,1上单调递增，在 1,上单调递减，在 (,)上单调递增，因此 (gx在 1处取得极大值()3ge，在 2x处取得极小值 2e. 当 0并无限靠近 0 时， ()x无限减小，其图像无限靠近 y轴负半轴，当 x无限增大时， ()gx也由负值变为正值无限增大， g在区间(2,)内也存在一个零点. 函数 ()的大致图像如图所示：xyOkk世纪金榜 圆您梦想 第 12 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司根据条件 ykx与 ()f的图像存在三个交点，即方程 2()xekx有三个解，直线与函数2()xeg的图像有三个公共点. 因此 0g或(2)1k，即 20k或 23eke，从而 k的取值范围是,3(,)ee. (12 分)22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知 AD 为 M 的直径，连接 AB，则 BAEC，90ABCEF，由点 G 为弧 BD 的中点可知 FGD，故 CGD，所以有 DEF，即 CEA.(5 分)(2)由(1)知 ，故 F，所以 EAG，即.2CEFA(10 分)23. (本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于 C：由 4cos，得 24cos，进而 24xy；对于 l：由3521xty（ 为参数） ，得 1(5)3yx，即 350.(5 分)(2)由(1)可知 C为圆，且圆心为 (2,0)，半径为 2，则弦心距 |2|321d，弦长世纪金榜 圆您梦想 第 13 页（共 13 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司23|(