2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系学案word

.分享 2018第 40 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求 考情分析 命题趋势2017全国卷，102017全国卷，162016浙江卷，2理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.分值：5 分空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过_不在一条直线上_的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有_一个_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条_相交_直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条_平行_直线有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系.分享 2018Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的_锐角(或直角)_叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：_ _.(0， 2(3)平行公理：平行于_同一条直线_的两条直线互相平行(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补_.3直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)直线与平面的位置关系有_相交_、_平行_、_在平面内_三种情况(2)平面与平面的位置关系有_平行_、_相交_两种情况1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A ( )(3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC ( )(4)已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线( )解析 (1)错误当两个平面平行时，把空间分成三部分(2)错误由公理 3 知应交于过点 A 的一条直线(3)错误应相交于直线 BC，而非线段(4)正确因为若 c b，则由已知可得 a b，这与已知矛盾(5)错误异面或平行2若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( D )A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直解析 因为 b c， a b，所以 a c，即 a 与 c 垂直3下列命题正确的个数为( C )经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A0 B1 C2 D3.分享 2018解析 错误，正确4已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( D )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面5如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AB ， AD 的中点，则异面直线B1C 与 EF 所成的角的大小为_60_.解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求，又B1D1 B1C D1C， D1B1C60.一 平面的基本性质及应用用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【例 1】 以下四个命题中，正确命题的个数是( B )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则 A， B， C， D， E 共面；若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析 显然是正确的，可用反证法证明；中若 A， B， C 三点共线，则.分享 2018A， B， C， D， E 五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然 b， c 异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确，故选 B【例 2】 已知空间四边形 ABCD(如图所示)， E， F 分别是 AB， AD 的中点， G， H 分别是BC， CD 上的点，且 CG BC， CH DC 求证：13 13(1)E， F， G， H 四点共面；(2)直线 FH， EG， AC 共点解析 (1)连接 EF， GH， E， F 分别是 AB， AD 的中点， EF BD又 CG BC， CH DC，13 13 GH BD， EF GH， E， F， G， H 四点共面(2)由(1)知 FH 与直线 AC 不平行，但共面，设 FH AC M， M平面 EFHG， M平面 ABC又平面 EFHG平面 ABC EG， M EG. FH， EG， AC 共点二 空间两条直线的位置关系判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【例 3】 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问：.分享 2018(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由解析 (1)不是异面直线理由如下：连接 MN， A1C1， AC M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点， MN A1C1.又 A1A C1C， A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC， MN AC， A， M， N， C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线(2)是异面直线证明如下： ABCD A1B1C1D1是正方体， B， C， C1， D1不共面假设 D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ， CC1平面 ， D1， B， C， C1 矛盾假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线三 两条异面直线所成的角两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：利用图中已有的平行线平移利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移补形平移(2)求异面直线所成的角的三个步骤：作：通过作平行线，得到相交直线证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角算：通过解三角形，求出该角【例 4】 (2017全国卷) a， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：.分享 2018当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析 由题意， AB 是 AC 为轴， BC 为底面半径的圆锥的母线，又 AC a， AC b， AC圆锥底面，在底面内可以过点 B，作 BD a，交底面圆 C 于点 D，如图所示，连接 DE，则 DE BD， DE b，连接 AD，设 BC1，在等腰 ABD 中， AB AD ，当直线 AB 与 a2成 60角时， ABD60，故 BD ，又在 Rt BDE 中， BE2， DE ，过点 B 作2 2BF DE，交圆 C 于点 F，连接 AF， EF， BF DE ， ABF 为等边三角形，2 ABF60，即 AB 与 b 成 60角，故正确，错误由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面 ABC直线 a，直线 AB 与 a 所成角的最大值为 90，错误正确的说法为.1下列命题中正确的个数是( A )过异面直线 a， b 外一点 P 有且只有一个平面与 a， b 都平行；异面直线 a， b 在平面 内的射影相互垂直，则 a b；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；直线 a， b 分别在平面 ， 内，且 a b，则 .A0 B1 C2 D3解析 对于，当点 P 与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点 P 且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图 1 所示的三棱锥 P ABC 中， PB面 ABC， BA BC，满足 PA， PC 两边在底面的射影相互垂直，但 PA与 PC 不垂直，故错误；对于，在如图 2 所示的三棱锥 P ABC 中，AB BC AC PA2， PB PC3，满足底面 ABC 是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥 P ABC 不是正三棱锥，故错误；对于，直线 a， b 分别在平面 ， 内，且a b，则 ， 可以平行，故错误所以正确命题的个数为 0，选 A.分享 20182两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C )A两条相交直线 B两条平行直线C两个点 D一条直线和直线外一点解析 如图，在正方体 ABCD EFGH 中， M， N 分别为 BF， DH 的中点，连接MN， DE， CF， EG.当异面直线为 EG， MN 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直线为 DE， GF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD， BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE， BF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点B，是一条直线和一个点，故选 C3(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC120，AB2， BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( C )A B 32 155C D105 33解析 如图所示，将直三棱柱 ABC A1B1C1补成直四棱柱 ABCD A1B1C1D1，连接AD1， B1D1，则 AD1 BC1，所以 B1AD1或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成的角因为 ABC120， AB2， BC CC11，所以 AB1 ， AD1 .在 B1D1C1中，5 2 B1C1D160， B1C11， D1C12，所以 B1D1 ，所12 22 212cos 60 3以 cos B1AD1 ，故选 C5 2 3252 1054如图，在直二面角 E AB C 中，四边形 ABEF 是矩形， AB2， AF2 ， ABC 是3以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，点 P 是线段 BF 上的一点， PF3.分享 2018(1)证明： FB平面 PAC；(2)求异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值解析 (1)证明：易得 FB4，cos PFAcos BFA ，32在 PAF 中，由余弦定理得PA .PF2 FA2 2PFFAcos PFA9 12 232332 3 PA2 PF23912 AF2， PA BF.平面 ABEF平面 ABC，平面 ABEF平面 ABC AB， AB AC， AC平面 ABEF. BF平面 ABEF， AC BF. PA AC A， BF平面 PAC(2)过 P 作 PM AB， PN AF，分别交 BE， BA 于 M， N， MPC 或其补角为 PC 与 AB 所成的角连接 MC， NC易得 PN MB ， AN ， NC ， BC2 ， PC ， MC32 32 AN2 AC2 52 2 PN2 NC2 7 ，MB2 BC2352cos MPC .14 7 3542127 327 3714异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值为 .3714易错点 忽视位置关系错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解【例 1】 设平面 ， 满足 ， A， C ， B， D ，直线 AB 与 CD 交于 S，若 SA18， SB9， CD34，求 SC 的长度解析 设相交直线 AB， CD 确定的平面 ，则 AC，.分享 2018 BD，由 ，得 AC BD当 S 点在两平面的同侧时，如图 1，因为 AC BD，所以 ，即 ，所以 SC68.SBSA SDSC 918 SC 34SC当 S 点在两平面之间时，如图 2，因为 AC BD，所以 ，即 SASB SCSD SCCD SC 189，解得 SC .SC34 SC 683综上知 SC68 或 SC .683【跟踪训练 1】 若一直线上有相异三个点 A， B， C 到平面 的距离相等，那么直线l 与平面 的位置关系是( D )A l B l C l 与 相交且不垂直 D l 或 l解析 由于 l 上有三个相异点到平面 的距离相等，则 l 与 可以平行， l 时也成立课时达标 第 40 讲解密考纲考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1设 a， b 是平面 内两条不同的直线， l 是平面 外的一条直线，则“l a， l b”是“ l ”的( C )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析 直线 a， b 平行时，由“ l a， l b”/ “ l ”；“ l ”“l a， l b”，所以“ l a， l b”是“ l ”的必要不充分条件2如图所示， ABCD A1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点M，则下列结论正确的是( A ).分享 2018A A， M， O 三点共线 B A， M， O，