数学建模获奖论文嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 华南理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘 要嫦娥三号的核心任务是实施高可靠高安全的月面软着陆, 要求着陆器必需具备自主障碍识别与规避能力。本文将通过研究月球软着陆主减速段、快速调整段、避障段和缓速下降段的飞行动力学模型，在动力学方程的基础上对各阶段制导律进行优化设计后，结合工程实际确立嫦娥三号软着陆轨道的下降轨迹和控制策略。针对第一问，本文基于开普勒定律求解着陆准备轨道的运动方程，得到近月点与远月点的速度。由于着陆点的位置是由近月点的位置和软着陆轨迹共同决定的。因此本文通过求解嫦娥三号在主减速段和粗避障段的经过的横向距离，利用着陆点的位置近似确定近月点的位置。实验结果表明，此近似求解的近月点位置误差在 10%以内。同时，本文所建立的基于飞行器动力学模型的主减速段燃料最优制导律，通过蚁群算法的参数优化，也取得误差 5%以内的良好结果。本文还将证明主减速段的燃料最优制导律等效于时间最优制导律。针对第二问，本文通过查阅相关资料，给出了软着陆各个阶段的动力学方程和制导律。主减速段是耗时最长，燃料消耗最多的阶段，因此采用了燃料最优制导律。快速调整阶段是过渡阶段，拟采用推力线性变化制导律。粗避障段的主要目的是避开大的陨石坑，由于着陆器此时接近垂直下降，因而采用最优开关制导律。为实现粗避障，本文采用对光学图像进行分格，并且判断各格为障碍区（0）或非障碍区（1） ，最终通过在 0-1 图上寻找具有安全半径的连片非障碍区，找到合适的着陆区域，取得了良好的实验效果。精避障段则要构建三维高程图和平均坡面，计算平均坡度，估算出障碍高度，最终找出安全着陆区。缓速下降段主要考虑的是着陆的安全性，本文将利用变推力制导律和垂直软着陆模型进行分析。针对第三问，本文将在模型的分析与检验中给出相应的误差分析，实验结果表明，本文所提出的模型与嫦娥三号实际结果相符合，具有实用性和准确性。关键词：制导律 蚁群算法 数字高程图 嫦娥三号 软着陆21.问题的重述1.1 背景实施在月球表面的软着陆是月球勘探计划的重要一步。所谓月球软着陆,是指着陆器在制动系统作用下以很小的速度准确降落到月面指定区域,以保证试验设备和宇航员的安全。由于月球表面没有大气，因此整个软着陆过程需要制导发动机的控制。正确地建立着陆器的飞行动力学模型，并在此基础对着陆器的下降轨迹和制导律进行优化设计，对于着陆器飞行程序的设计和燃料资源消耗等方面具有重要的指导意义。1.2 需要解决的问题根据题目信息和附件所示内容，分析嫦娥三号软着陆过程中的 6 个阶段，研究以下的问题：（1）根据附件 1 与附件 2 研究嫦娥三号的着陆准备轨道，确定该椭圆轨道上近月点与远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度大小与方向。（2）建立合理的着陆器飞行动力学方程，根据软着陆过程中 6 个阶段不同的特点与要求，结合附件 1 与附件 2 的内容，确立嫦娥三号的下降轨迹和各个阶段的最优控制策略。（3）根据问题一和问题二建立的数学模型，对模型进行相应的误差分析和敏感性分析。2.模型假设（1）假设诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计（2）月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项（3）嫦娥三号在软着陆全过程不发生意外碰撞和震荡3.符号说明符号 符号说明0t嫦娥三号进行霍曼转移的初始时刻1嫦娥三号到达近月点的时刻2t嫦娥三号在主减速段的终止时刻0r着陆器的月心距La月球半径0h远月点与月面的距离1r着陆器在近月点的月心距近月点与月面的月心距月球的引力常数0v在 时刻的横向速度0tr在 时刻的径向速度1在 时刻的横向速度1trv在 时刻的径向速度横向速度r径向速度3r着陆器的月心距着陆器的极角a推力加速度F发动机的推力大小0m着陆器的初始质量推力方向角123,a的系数，待优化参量(t)燃料消耗率J燃料消耗质量ev比冲2(t)终止时刻合速度ijd城市 和 的距离ij(t)kpt 时刻蚂蚁 k 由城市 转移到城市 的概率ijij信息量kalowed表示蚂蚁 k 下一步允许走过的城市集合信息量对蚂蚁的影响力大小ij由城市 i 转移到城市 j 的期望程度ft终止时刻，待优化的时间参量的作用ijij信息增量1cs接近段的水平距离2主减速段的水平距离c近月点与着陆点的距离3t粗避障段的初始时刻4粗避障段的终止时刻h月面高度下降速度 与垂直方向的夹角，称为下降角vmg月球的重力加速度S制动力的开关量K等效推力加速度的斜率1近月点与着陆点的水平距离相对误差2近月点速度相对误差3主减速仰幅角的相对误差4主减速段时间相对误差4sum单格内障碍点数threold单格内障碍点阈值Dak过暗灰度临界值Ligt过亮灰度临界值注：未列出的符号及重复的符号以出现处为准。4.问题一的建模与求解4.1 问题分析根据题目信息，着陆准备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆轨道，根据开普勒定律，可以建立椭圆轨道上的运动方程，求解出近月点与远月点的速度的大小与方向。着陆点的位置是由近月点在月心坐标系中的位置和软着陆形态共同决定的。因此可以通过求解软着陆的下降轨迹，结合着陆点的位置，确定近月点在月心坐标系中的切向距离。此外，利用月球的半径参数，可以求得近月点的径向距离，进而确定近月点的位置。相应地，远月点的位置可以结合近月点的位置，利用椭圆的轨迹方程进行确定。在本问题中，软着陆的下降轨迹的求解是一个难点，考虑到着陆器在近月点处离月面距离较高，因此可以在不引起较大的误差的情况下，建立简单的模型进行求解。根据相关参考资料 1有：在接近段中，着陆器采用 接近直线下降方式逐步接近着陆45区，利用附件 1 与 2 提供的接近段的高度信息，可以求解出对应的水平距离。而主减速段的轨迹可以建立飞行动力学模型进行求解。考虑到主减速段是软着陆过程用时最长、推进剂消耗最多的任务段。该段的主要任务是消除较大的动力下降段初始水平速度( 约 1.7 km/s), 因此推进剂消耗优化是该段制导律的主要设计目标。因此，求解基于动力学模型的燃料消耗最低制导律方程，可以确定主减速段的水平距离。综合上述求解出的距离信息，就可以在一定的误差允许范围内给出近月点的位置，进而得到远月点的位置。总体而言，问题一的流程图如下所示：建立着陆准备轨道的运动方程求解近月点及远月点的速度接近段的垂直距离 接近段的水平距离主减速段燃料最优制导律主减速段的运动轨迹近月点的位置着陆点的位置远月点的位置着陆准备轨道运动方程图 4-1 问题一的流程图4.2 模型的建立4.2.1 着陆准备轨道的运动学方程5假设嫦娥三号在 时刻开始进行霍曼转移，在 时刻到达近月点，则在惯性坐标系0t 1t中，以月心为原点的极坐标形式的着陆准备轨道的运动学方程 2为：在 时刻：0t（4-1）0100112rLvrrah其中的 为着陆器的月心距， 为月球半径，可取值为月球的平均半径0r1737.013km， 为远月点与月面的距离，取值为 100km， 为着陆器在近月点的月心h 1r距， 为近月点与月面的距离，取值为 15km， 为月球的引力常数，其值为：1 ，132.4928/ms为初始横向速度，即着陆器从远月点开始运动的速度， 为初始径向速度，其0v 0rv值为 0.在 时刻：1t（4-2）10110112rLvrrah其中的 为初始横向速度，即着陆器从近月点开始运动的速度， 为初始径向速1v 1rv度，其值为 0.4.2.2 主减速段的动力学方程在惯性坐标系中，以月心为原点的极坐标形式受控飞行器动力学方程为 2：（4-3）2sincorrrvdatdvt其中 为月球引力常数， 为径向速度， 为横向速度， 为着陆器的月心距，rvvr为着陆器的极角。其中 为推力加速度，其值可以由下式计算：a（4-4）0eFmtv其中 为发动机推力的大小，查阅相关资料 1可得：主减速段的主要任务是消除F6较大的动力下降段初始水平速度，所以发动机一直工作在最大推力模式即 7500N。为着陆器的初始质量，其值为 2400kg， 为比冲（即单位质量的推进剂产生的0mev推力） ，其值为 2940m/s。为推力方向角，即推力方向与当地水平线的夹角，查阅相关资料 3可得：（4-5）2301()tatat其中 , , , 为待优化的参量。0a1234.2.3 基于蚁群算法 3的主减速段燃料最优制导律4.2.3.1 燃料最优制导律设主减速段的初始时刻为 ，终止时刻为 ，对于推力幅值恒定的飞行器，燃料消1t2t耗最省的性能指标为：（4-6）22211121()ttteedmFJ tv其中 为燃料消耗率，为了使消耗的燃料质量 最小，由于初始时刻 ，发动机推m J1t力 和比冲 均为定值，因此只能使主减速段的终止时刻 最小。所以，对于主减速Fev 2t段而言，燃料最优制导律等同于时间最优制导律。查阅相关资料 1可得，主减速末期的俯仰角为 ，因此可列出如下等式：65（4-7）2()sinvt其中 为终止时刻的合速度，为 57m/s.2()vt因此，只要确定了 的函数表达式或函数图像，就可以用解析法或作图法求得()vt。2t而 由式（4-3）所确定，式（43）的唯一参量是 ， 又由参量 , ,()vt ()t0a1, 所确定，因此优化 的问题就转换为优化参量 , , , 的问题。2a32t 0a123根据式(4-5)，参量 , , , 的优化可以用多个离散 值和 值来多阶拟合求得。0a13 t其中：（4-8）90,.ooii用函数逼近法进行参数化的相关参数设置为：将轨迹离散化化为 9 段，一共 10 个离散点，相应时刻的 值可以由 来确定：itft（4-9）00(),1,.0ifitin因此待优化参数共 11 个，即 10 个推力方向角 和 1 个终端时刻 。对于终端时ft刻 ，根据齐奥尔科夫斯基公式和软着陆初始条件，可由下式估计：ft（4-10）0(v)/0m1()Ffeft式中 和 分别表示着陆器的终端速度和初始速度，经计算确定 搜索范围为(单fv0 ft位秒) ：（4-11）507ft我们将用蚁群算法来找到这 11 个参数。4.2.3.2 蚁群算法 37设有n个城市, (i,j=1,2,n)表示城市i和j间的距离, 表示在t 时刻城市i和j 之dj ()ij间的信息量。我们以此来模拟实际蚂蚁的分泌物。设共有m 只蚂蚁,用 表示在t 时()kijp刻蚂蚁k由城市i转移到城市j的概率,则(4-12)(t),(t)(t)0kijij kkijralowedrirjalowedpthris其中, 表示蚂蚁k下一步允许走过的城市的集合, 表示路径上的信息量对alowed 蚂蚁选择路径所起的作用大小, 为由城市i转移到城市 j的期望程度,例如,可以取 j ij。 表示 的作用.当 时,算法就是传统的贪心算法;而当 时,就成了纯粹1/ijdij 0的正反馈的启发式算法.经过n个时刻,蚂蚁可走完所有的城市,完成一次循环.每只蚂蚁所走过的路径就是一个解.此时,要根据下面公式对各路径上的信息量作更新:(4-13)(t1)(t),ij ijij其中 ,表示信息量 随时间的推移而衰减的程度.信息增量 可表示为(01)ij ij(4-14)1,mkijij表示蚂蚁k在本次循环中在城市i和j之间留下的信息量。下面给出蚁群算法应用过程的具体步骤。(1)设置初始参数，包括蚂蚁数N，循环次数K，挥发系数Rho，调节系数Lambda、Q ，所有路径信息素量初值Tau。，蚂蚁初始位置等。(2)根据式(4-8)计算每只蚂蚁的转移概率，然后依据赌轮原则为每只蚂蚁选择下一个路径。重复上述操作直至所有蚂蚁均完成一次循环。(3)将每只蚂蚁的路径解码为优化参数值 和和1个终端时刻 ，用(i0,2.)ft这10个数据拟合求出 ，从而得到参量 的表达式，根(i0,12.)0124,a()t据式(4-6) 计算目标函数值求得 ,对比当前最优 值，判断找出当前最好的路径。然后JJ根据式(4-9)、(4-1