小波分析在图像去噪的应用

题目：小波分析在图像去噪的应用专 业： 电子与通信工程学 号： 1320610012学生姓名： 王文平指导教师： 于贵江- 1 -一、小波的概述小波是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。小波由一族小波基函构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大优是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。小波分析具有发现他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有 Haar、 Daubechies(dbN)、 Morlet、 Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。近些年，小波分析被广泛用于图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面，在人脸识别、医学图像处理、机器人视觉、数字电视等领域受到人们越来越多的重视。基于二维小波分析进行图像处理具有坚实的理论基础，MATLAB 软件在小波工具箱中也提供了强大的图像处理功能，包括采用命令行和图形用户接口等。二、离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 和连续小波变换 的离散化。需要强调指)(,tba),(baWf出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的，而不是针对时间变量 t 的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数： )()(2/1, abttba这里 ， ，且 ， 是容许的，为方便起见，在离散化中，Rba0总限制 a 只取正值，这样相容性条件就变为dC0)(通常，把连续小波变换中尺度参数 a 和平移参数 b 的离散公式分别取作，这里 ，扩展步长 是固定值，为方便起见，总是假00,bkajjZj0- 2 -定 （由于 m 可取正也可取负，所以这个假定无关紧要） 。所以对应的离散10a小波函数 即可写作)(,tkj )()()( 02/002/0, kbtaabktt jjjjkj 而离散化小波变换系数则可表示为 kjkjkj fdttfC,*, )(其重构公式为 )()(,tCtfkjC 是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择 和 ，才能够保证重构信0ab号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即 和 尽可能小） ，因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数 和离散小波系数 就越少，信号重构的精)(,tkjkj,确度也就会越低。三、几种常用的小波3.1 Haar 小波A.Haar 于 1990 年提出一种正交函数系,定义如下：01H其 它 12/0x这是一种最简单的正交小波，即 )(dxnt ,213.2 Daubechies（dbN）小波系该小波是 Daubechies 从两尺度方程系数 出发设计出来的离散正交小波。kh一般简写为 dbN，N 是小波的阶数。小波 和尺度函数吁中的支撑区为 2N-1。的消失矩为 N。除 N1 外(Haar 小波)，dbN 不具对称性即非线性相位 ；dbN 没有显式表达式(除 N1 外)。但 的传递函数的模的平方有显式表达式。k假设 ，其中， 为二项式的系数，则有10)kkyCyPNC1)2(sin)(co)20 PmN其中 1200)(Nkikehm3.3 Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系- 3 -Biorthogonal 函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。Biorthogonal 函数系通常表示为 biorNr.Nd 的形式：Nr=1 Nd=1，3，5Nr=2 Nd=2，4，6，8Nr=3 Nd=1，3，5，7，9Nr=4 Nd=4Nr=5 Nd=5Nr=6 Nd=8其中，r 表示重构，d 表示分解。3.4 Coiflet（coifN）小波系coiflet 函数也是由 Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet 具有比 dbN 更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN 具有和 db3N 及 sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和 db2N 及 sym2N 相同的消失矩数目。3.5 SymletsA（symN）小波系Symlets 函数系是由 Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对 db函数的一种改进。Symlets 函数系通常表示为 symN（N=2，3，8）的形式。3.6 Mexican Hat（mexh）小波Mexican Hat 函数为2/4/1)(32)(xex它是 Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0)(dx由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。3.7 Meyer 函数Meyer 小波函数 和尺度函数 都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。- 4 -0)123(cos)2(in2/1/ jje 38,2432其中， 为构造 Meyer 小波的辅助函数，且有)(a0)123(cos)2(/1/ 3423四、小波分析用于图像去噪4.1 图像去噪概述噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识， 。噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。特别是图像的输入、采集的噪声是个十分关键的问题，若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。4.2 利用小波进行降噪的 Matlab 实例：load noissin; %读入白噪声s=noissin(1:1000);%取信号的前 1000 个采样点c,l=wavedec(s,3,db4);%对信号做层数为 3 的多尺度分解cd1,cd2,cd3=detcoef(c,l,1,2,3);%得到三个尺度的细节系数ca3=appcoef(c,l,db4,3);%得到尺度 3 的近似系数figure(1);subplot(511);plot(1:1000,s);title(s);subplot(512);plot(1:l(1),ca3);title(ca3);subplot(513);plot(1:l(2),cd3);title(cd3);subplot(514);plot(1:l(3),cd2);title(cd2);subplot(515);plot(1:l(4),cd1);title(cd1);%将原始信号和分解后得到的一组近似系数和 3 组细节系数的波形显示出来- 5 -处理结果如下图所示。从图中可以看出，分解后的信号是平铺在数组 中的，每段信号的长度是由数组 标示，原信号的长度最大，再一次减半。第一种去噪方法，把所有的细节系数都强行设置为 0cdd3=zeros(1,l(2);cdd2=zeros(1,l(3);cdd1=zeros(1,l(4);c1=ca3,cdd3,cdd2,cdd1;s1=waverec(c1,l,db4);figure(2);subplot(211);plot(1:1000,s);title(s);subplot(212);plot(s1);title(去噪后信号 s1);强行把所有的细节系数都设置为 0，利用近似系数重新构造信号，结果如下图：- 6 -第二种去噪方法，通过抑制细节系数实现降噪index=l(2)+1:l(5);%从 l 中读出所有细节系数所在下标c2=c;%得到一个 c 的复本c2(index)=c(index)/3;%对细节系数进行抑制s2=waverec(c2,l,db4);figure(3);subplot(211);plot(1:1000,s);title(s);subplot(212);plot(s2);title(去噪后信号 s2);在此种方法中，对细节部分进行抑制，再重构得到去噪后的信号，如下图：第三种降噪方法，利用 Fourier 变换y=fft(s,1000);pyy=y.*conj(y);%求 y 的模平方figure(4);- 7 -plot(pyy);title(pyy);如下图：从上图可以看出，信号的能量主要集中在两端，在0-10Hz 和990Hz-1000Hz之间，其他地方基本上就没能量了，事实上，我们可以把这两端单独画出来就很明显了。运行结果如下：pers1=0.9367pers2=0.9452pers3=0.9302errs1=8.3560errs2=5.5209errs3=8.2038从结果可以看出，使用把细节系数抑制为 0 的方式，确实可以达到消除噪声的目的，但这种方式过于粗糙，因为这样做没有利用噪声本身的信息，所以作为衡量相似性的标准差（上述结果为 8.