lms及其改进算法探讨

计算机与通信学院本科生毕业论文LMS 及其改进算法研究作 者：潘松伟学 号：06250423专 业：通信工程班 级：通信 4 班指导教师：王维芳答辩时间：2010 年 6 月LMS 及其改进算法研究The study of LMS algorithm and its improve algorithms摘 要因 LMS 算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到wiener 解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使 LMS 算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。对 LMS 算法及其改进算法进行了研究，探讨了步长因子 对各种算法收n敛性、稳定性的影响。并用 MATLAB 对其学习曲线、收敛速度等进行了仿真分析。结果表明，变步长 的取值尤为重要，如果 （n）取较大值则具有较快的收敛速度，如果n（n）取值很小，则 MLMS 算法近似等效于 LMS 算法。它们的自适应过程较快，性能有了很大改进。AbstractBecause of low computational complexity, stable environment in the convergence of good, unbiased and its mean converges to the wiener solution and implementation algorithms using finite precision stability and other characteristics, LMS algorithm as adaptive algorithm in the application of the most a wide range of algorithms.We have a detailed study on LMS algotithm and its complementary algotithm,disscused the step-sizes influent for the algorithms convergence speed and stability. And using MATLAB simulated the learning curve, convergence speed of LMS algotithm.The result observed that the value of variable step-size （n）is very important,if it is a bigger may have a fast convergence speed,but if not ,the NLMS algotithm can instead the LMS algotithm in the characteristics. In addition , they have a fast adaptive course and greatly progress in performance. Keywords：LMS algorithm，Adaptive，NLMS algorithm，Variable step，MATLAB simulation.1.1 自适应滤波理论的发展早在 20 世纪 40 年代，就对平稳随即信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性（自相关函数或功率谱） ，以线性最小均方误差估计准则所设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不再是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到 60离 散 时 间 线 性 系 统自 适 应 算 法 Sx(n) y(n)-+e(n)d(n) d(n)年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器已成功地应用到许多领域，它既可对平稳的和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可作非线性滤波。实质上，维纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。若设计卡尔曼滤波器时，必须知道产生输入过程的系统的状态方程和测量方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识。但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了真正的最佳滤波。Widrow B.等于 1967 年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或是根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。因此，近十年来，自适应滤波理论的方法得到了迅速发展。图 1-1 自适应滤波器原理图图 1-1 描述的是一个通用的自适应滤波估计问题，图中离散时间线性系统表示一个可编程滤波器，它的冲击响应为 h(n)，或称其为滤波参数 6。自适应滤波器输出信号为 y(n)，所期望的响应信号为 d(n)，误差信号 e(n)为 d(n) 与 y(n)之差。这里，期望响应信号 d(n) 是根据不同用途来选择的，自适应滤波器的输出信号 y(n)是对期望响应信号 d(n)进行估计的，滤波参数受误差信号 e(n)的控制并自动调整，使 y(n)得估计值 等于所期望的响应 d(n).因)(ny此，自适应滤波器与普通滤波器不同，它的冲击响应或滤波参数是随外部环境的变化而变化的，经过一段自动调整的收敛时间达到最佳滤波的要求。但是，自适应滤波器本身有一个重要的自适应算法，这个算法可以根据输入、输出及原参数量值，按照一定准则改变滤波参量，以使它本身能有效地跟踪外部环境的变化。通常，自适应滤波器是线性的，因而也是一种线性移变滤波器。当然，它可推广到自适应非线性滤波器。在图 1-1 中，离散时间线性系统可以分为两类基本结构，其中一类为非递归型横向结构的数字滤波器，它具有有限的记忆，因而称之为有限冲激响应（FIR）系统，即自适应 FIR滤波器。另一类为递归型数字滤波器结构，理论上，它具有无限的记忆，因而称之为无限冲激响应（IIR ）系统，即自适应 IIR 滤波器。对于上述两类自适应滤波器，还可以根据不同的滤波理论和算法，分为结构不同的自适应滤波器，它们的滤波器性能也不完全相同。1.2 自适应 LMS 算法的发展1.2.1 LMS 算法历史1955-1966 年期间美国通用公司在研制天线的过程中，为抑制旁瓣，由 windows 和 hoff在 60 年代初提出了基本 LMS 算法 6。随后又发展出了归一化算法和加遗忘因子 LMS 算法。1977 年，makjoul 提出了格型滤波器，并由此发展出 LMS 自适应格型滤波器算法。Herzberg、cohen 和 beery 提出了延时 LMS（DLMS）算法。2002 年，尚勇，吴顺君，项海格提出了并行延时 LMS 算法。此外，还有复数 LMS 算法、数据块 LMS 算法等，在此就不一一列举了。1.2.2 LMS 算法的现状因 LMS 算法具有低计算复杂度、在平稳环境中的收敛性好、其均值无偏地收敛到wiener 解和利用有限精度实现算法时的稳定性等特性，使 LMS 算法成为自适应算法中应用最广泛的算法。由于 LMS 算法的广泛应用，以及在实际条件下，为解决实际问题，基于LMS 算法的新 LMS 类算法不断出现。1.2.3 LMS 算法的发展前景因 LMS 算法是自适应滤波器中应用最广泛的算法，所以可以说，自适应滤波的发展前景也就是 LMS 算法的发展前景。它主要包括以下几个方面的应用：1、系统辨识和建模(System Identification and Modeling)。自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。2、自适应信道均衡(Adaptive Channel Equlization)。在数字通信中采用自适应信道均衡器，可以减小传输失真，以及尽可能地利用信道带宽。3、回波消除(Echo Cancellation)。在 2 线和 4 线环路电话系统中，线路间存在杂散电路耦合，这些杂散导致阻抗不匹配，从而形成了信号的反射，也就是我们在线路两端听到的回声。这种回波能对高速数据传输造成灾难性的后果。回波消除就是预先估计一个回波，然后用返回信号来减此回波，从而达到回波消除的目的。消除心电图中的电源干扰就是它的一个具体应用。4、线性预测编码（Linear Predictive Coding） 。近年来，对语音波形进行编码，它可以大大降低数据传输率。在接收端使用 LPC 分析得到的参数，通过话音合成器重构话音。合成器实际上是一个离散的随时间变化的时变线性滤波器。时变线性滤波器既当作预测器使用，又当作合成器使用。分析语音波形时作预测器使用，合成语音时作话音生成模型使用。Z-1Z-1SZ-1SSu(n) x(n-1)x(n-2)x(n-M+2)x(n-M+1)Wh(0)Wh(1)Wh(2)h(m-2)Wh(m-1)d(n)y(n)e(n)5、自适应波束形成（Adaptive Beaamforming） 。频谱资源越来越紧张，利用现有频谱资源进一步扩展容量成为通信发展的一个重要问题。智能天线技术利用阵列天线替代常规天线，它能够降低系统干扰，提高系统容量和频谱效率，因此智能天线技术受到广泛关注。自适应束波形成通过调节天线各阵元的加权幅度和相位，来改变阵列的方向图，使阵列天线的主瓣对准期望用户，从而提高接收信噪比，满足某一准则下的最佳接收。在雷达与声纳的波束形成中，自适应滤波器用于波束方向控制，并可在方向图中提供一个零点以便消除不希望的干扰。其应用还有噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及预测等。第二章 自适应 LMS 算法的研究2.1 概述自适应算法中使用最广的是下降算法，下降算法的实现方式有两种：自适应梯度算法和自适应高斯-牛顿算法。自适应高斯-牛顿算法包括 RLS 算法及其变型和改进型，自适应梯度算法包括 LMS 算法及其变型和改进型 2,6。滤波器设计准则是使滤波器实际输出 y(n)与期望响应 d(n)之间的均方误差 J（n）为最小，这称为最小均方误差（MMSE）准则。图 2-1FIR 滤波器的自适应实现图 2.1 为 FIR 滤波器的自适应实现的原理图。所谓自适应实现是指；M 阶 FIR 滤波器的抽头权系数 w0,w1,wm-1 可以根据估计误差 e(n)的大小自动调节，使得某个代价函数最小 6,7。定义均方误差 J(n)为代价函数，因为滤波器在 n 时刻的估计误差e(n)=d(n)-wHx(n) (2-1)所以代价函数J(n)=E|e(n)|2=E|d(n)-wH(n)|2 (2-2)由此可得 J(n)的梯度 J(n)=2 Ex(n) H(n)w(n)-2Ex(n)d (n) (2-3)2.2 LMS 算法最陡下降算法不需要知道误差特性曲面的先验知识，其算法就能收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关 6。但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间许多学者对这方面的新算法进行了研究。1960 年，美国斯坦福大学的 Windrow 等提出了最小均方（LMS）算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即(2-4)可见，这种瞬时估计法 是无偏的，因为它的期望值 E确实等于矢量 。所以，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计)(n)(n的方向之间的关系，可以先写出 LMS 算法的公式如下：（2-5a ）（2-5b ）将式 e(n)=d(n)-y(n)和式（ 2-1）代入到上式中，可得到= )()()( ndxwnxIH（2-6）图 2-2 自适应 LMS 算法信号流图由上式可以得到自适应 LMS 算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图 2-2 所示。如同最陡下降法，我们利用时间 n=0 的滤波系数矢量为任意的起始值 w(0),然后开始 LMS 算法的计算，其步骤如下。x(n) xH(n)Iz-1I+-e(n)d(n)w(n+1) w(n)(2)()(2nxenw)()()(21nxew)()1( xwxwnH （1） 由现在时刻 n 的滤波器滤波系数矢量估值 ，输入信号矢量 x(n)以及期望信号)(nwd(n)，计算误差信号：e(n)=d(n)- （2-7）)(xH（2） 利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值：（2-8）)()(1(newn将时间指数 n 增加 1，回到步骤（1） ，重复上述计算步骤，一直到达稳态为止。由此可见，自适应 LMS 算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于 LMS 算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，以致不能获得最优滤波性能 3。下面我们来分析 LMS 算法的性能。2.2.1 自适应收敛性自适应滤波器系数矢量的起始值 w(0)是任意的常数，应用 LMS 算法调节滤波器系数具有随机性而使系数矢量 w(n)带来非平稳过程。通常为了简化 LMS 算法的统计分析，往往假设算法连续迭代之间存在以下的充分条件：(1) 每个输入信号样本矢量 x(n)与过去全部样本矢量 x(k),k=0,1,n-1 是统计独立的，不相关的，即有Ex(n)xH(k)=0; k=0,1,n-1 (2-9)(2) 每个输入信号样本矢量 x(n)与全部过去的期望信号 d(k), k=0,1,n-1 也是统计独立的，即有Ex(n)d(k)=0; k=0,1,n-1 (2-10)(3) 期望信号样本 d(n)依赖于输入过程样本矢量 x(n)，但全部过去的期望信号样本是独立的。(4)滤波器抽头输入信号矢量 x(n)与期望信号 d(n)包含着全部 n 的共同的高斯分布随即变量。通常，将基于上述基本假设的 LMS 算法的统计分析称为独立理论（Gendependence Theory） 6.由式（2-6 ）可知，自适应滤波器在 n+1 时刻的滤波系数矢量 依赖与三个输入：)1(nw（1） 输入过程的过去样本矢量 x(k), k=n,n-1,0;（2） 期望信号的以前样本值 d(k), k=n,n-1,0;（3） 滤波器系数矢量的起始值 。)0(w从上述基本假设（1）和（2）的观点来看，我们可发现滤波器系数矢量 是与)1(nwx(n+1)和 d(n+1)独立无关。这点是很有用的，而且在后续分析中将被重复使用。当然，有许多实际问题对于输入过程与期望信号并不满足上述基本假设。尽管如此，LMS 算法的实践经验证明，在有足够的关于自适应过程结构信息的条件下，基于这些假设所分析的结果仍可用作可靠的设计指导准则，技术某些问题带有依赖的数据样本。为了分析问题，现在我们将系数误差矢量 w(n)代入式（ 2-6）的右边，得到)()()()1( 0ndxwnxnInwH= )(0wxH式中， 是最佳滤波系数矢量，w(n)是误差矢量。如将 移至等式左边，则0- 等于系数误差的跟新值，于是上式可写成)1(nw(n+1)= （2-11）)()()()( 0nxdnxwnxI HH对于上式两边取数学期望，得到 )()()()()1( 0wEnxIEnw HH= 0( nxEndx= （2-12）)()( 0RPwRI显然，上式中 R 为输入信号矢量 x(n)的相关矩阵，而 P 为输入信号矢量 x(n)与期望信号d(n)的互相关矩阵。根据自适应滤波的正则方程的矩阵式，上式右边第二项应等于零。由此可简写成（2-13）我们可以看出，LMS 算法与前述最陡下降算法有相同的精确数学表达式。因此，要使LMS 算法收敛于均值，必须使步长参数 满足下列条件：（2-14）这里 是相关矩阵 R 的最大特征值。在此条件下，当迭代计算次数 n 接近于 时，自适应max 滤波系数 w(n)近似等于最佳维纳解 w0.2.2.2 平均 MSE学习曲线如前节所述，最陡下降算法每次迭代都要精确计算梯度矢量，使自适应横向滤波器权矢量或滤波系数矢量 w(n)能达到最佳维纳解 w0 ，这时滤波器均方误差（MSE）为最小，即式中， 是期望信号 d(n)的方差。2d（2-15）学习曲线定义为均方误差随迭代计算次数 n 的变化关系，如式（2-16）所描述的包含指数项之和：（2-16）PTd2minmax20)()(1nwERInwE)0(1()( 2iiiMi v图 2-3 单条学习曲线式中每个指数项对应于算法的固有模式，模式的数目等于滤波器加权数。显而易见，由于上式中 ，故当 n,最陡下降算法均方误差 （）= min.但 LMS 算法用瞬时1i值估计梯度存在误差的噪声估计，结果使滤波器权矢量估值 只能近似于最佳维纳解，)(nw这意味着滤波均方误差 随着迭代次数 n 的增加而出现小波动地减少，最后，（）不)(n是等于 min而是稍大于其值，如图 2-3 所示。如果步长参数 选用得越少，则这种噪化指数衰减曲线上的波动幅度将减小，即学习曲线的平滑度越好 6。但是，对于自适应横向滤波器总体来说，假设每个滤波器 LMS 算法用相同的步长 和同等的起始系数矢量 w(0)，并从同一统计群体随机地选取各个平稳的各态历经的输入信号，由此计算自适应滤波器总体平均学习曲线。滤波器的均方误差（2-17）式中 ，称为滤波系数的误差矢量。为了求总体平均 RMS，对式（2-17）两0)(wn