广东工业大学数值计算试卷及答案

广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 1 页数值计算引论学 院 机电工程学院 专 业 机械设计制造及其自动化年级班别 2014 级（6）班 学 号 3114000271 学生姓名 刘就杰 2016年 11 月广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 2 页一 编写雅可比迭代法求解线性方程组的程序，要求附有算例（20 分）。（可能的算例包括基本的验证性算例、方程系数随机生成的一般算例、用于算法对比的比较性算例等，对各算例的结果进行分析。）雅可比迭代法的 matlab 程序如下function x=Jacobi(A,b,x0,tol)%雅可比迭代法解线性方程组%A为 系数矩阵，b 为右端项， x0为初始向量，tol 为误差精度sprintf(USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素构成的对角矩阵U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 阵 A 的上三角部分生成上三角矩阵L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩阵 A 的下三角部分生成下三角矩阵B=-D(L+U);%B为迭代矩阵dl=Db;x=B*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=B*x0+dl;n=n+1;endn %n为迭代次数高斯-赛德尔迭代法的 matlab 程序如下：function x=Guass_seidel(A,b,x0,tol)%高斯-赛德尔迭代法解线性方程组%A为 系数矩阵，b 为右端项， x0为初始向量，tol 为误差精度sprintf(USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,tol)D=diag(diag(A);%diag(x) 返回由向量 x 的元素构成的对角矩阵U=triu(A,1);%triu(A)提取矩 阵 A 的上三角部分生成上三角矩阵L=tril(A,-1);%tril(A)提取矩阵 A 的下三角部分生成下三角矩阵G=-(D+L)U;%G为迭代矩阵dl=(D+L)b;x=G*x0+dl;n=1;while norm(x-x0)=tolx0=x;x=G*x0+dl;广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 3 页n=n+1;endn %n为迭代次数调用编好的程序求解方程组： 12341234 5018xxA=5 -1 -1 -1 ;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10;b=-4;12;8;34;x0=0;0;0;0;tol=1e-6;x=Jacobi(A,b,x0,tol)x=Guass_seidel(A,b,x0,tol) 实验结果如下：ans =USAGE:Jacobi(A,b,x0,tol)n =20x =1.00002.00003.00004.0000ans =USAGE:Guass_seidel(A,b,x0,t)n =12x =1.00002.00003.00004.0000 取相同的初始值 达到同样的精度 10-6，雅可比迭代需要迭代 20次，而高斯-赛德尔(0),x迭代法只需 12次。实验总结：通过这次实验，对雅可比迭代法以及高斯-赛德 尔迭代法求解线性方程组的基本原理有了进一步的理解，同时了解了雅可比和高斯-赛德尔迭代法的优点，即雅可比和高斯- 赛德尔在求解线性方程组的过程中具有更快的收敛速度，而高斯-赛德尔 比雅可比的收敛速度更快（即取相同的广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 4 页初始值，达到同样精度所需的迭代次数较少）。二 编写分段二次拉格朗日插值的程序，要求附有算例（20 分）。（对 在节点 0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0 上进行插值，求 x=0.7 处的值，绘出被插值函数与插值函数的图形，予以对比。）建立如下拉格朗日插值函数：function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end在 matlab 中用拉格朗日插 值求 0.7 处的值 exp(0.7)ans =2.013752707470477 lagrange(x,y,0.7)ans =2.013751960394443广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 5 页绘出被插值函数与插值函数的图形x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0;y=exp(x);x0=-5:0.001:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=exp(x0);plot(x0,y0,r)hold onplot(x0,y1,g)广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 6 页红线为插值函数，绿线是被插值函数，由图像可以知道，在区间（-2，2）是较好拟合的，当超出这个范围后就会偏差越来越大。三 编写复化辛普森积分的程序，要求附有算例（20 分）。（对定积分 ,计算精度达到 ）广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 7 页复化辛普森积分的程序function S=bianfuhuasimpson(fx,a,b,eps,M)% 变步长复合 simpson 求积公式% fx - 求积函数（函数文件）% a, b - 求积区间% eps - 计算精度% M-最大允许输出划分数n=1;h=(b-a)/n;T1=h*(feval(fx,a)-feval(fx,b)/2;Hn=h*feval(fx,(a+b)/2);S1=(T1+2*Hn)/3;n=2*n; % 最好与倒数第三行保持一致（变步长）while n=MT2=(T1+Hn)/2;Hn=0;h=(b-a)/n;for j=1:nx(j)=a+(j-1/2)*h;y(j)=feval(fx,x(j);Hn=Hn+y(j);endHn=h*Hn;S2=(T2+2*Hn)/3;fprintf( n=%2d S2=%-12.9f S2-S1=%-12.9fn,n,S2,abs(S2-S1);if abs(S2-S1)epsbreak;else T1=T2;S1=S2;n=2*n;endendS=S2;程序执行情况广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 8 页对定积分 ,计算精度达到广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 9 页四 编写欧拉法、隐式欧拉法求常微分方程初值问题的程序，要求附有算例（20 分）。（对初值问题 采用不同步长（h=0.1, 0.01, 0.001,0.0001),运行两种算法的程序，并将结果绘制成图形，进行比较、分析。若要解的精度达到 ，应采取什么措施？）程序：%Euler 法F=x2+x-y;a=0;b=0.5;h=0.1;n=(b-a)/h;X=a:h:b;Y=zeros(1,n+1);Y(1)=0;for i=2:n+1x=X(i-1);y=Y(i-1);Y(i)=Y(i-1)+eval(F)*h;end%隐式 Euler 法 广东工业大学试卷用纸，共 21 页，第 10 页Y1=zeros(1,n+1);Y1(1)=0;for i=2:n+1x=X(i);y=Y1(i-1);Y1(i)=(y+x*h2+h*x)/(h+1);end%准确解temp=;f=dsolve(Dy=x2+x-y,y(0)=0,x);df=zeros(1,n+1);for i=1:n+1temp=subs(f,x,X(i);df(i)=double(vpa(temp);enddisp( 步长 Eul