工程结构拓扑优化的理论研究及应用满宏亮

提 要本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的原理、方法以及各种拓扑优化算法。其次，着重研究了 SIMP 材料插值方法，建立了基于 SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密度迭代格式进行了推导；并且利用 MATLAB 软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件 Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。关键词： 有限元 拓扑优化 材料插值模型 数值计算不稳定性 优化求解算法Key words: FEA Topology optimization Material InterpolationModel Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-目 录第一章 绪 论 . 11.1 前言.11.2 国内外拓扑优化研究概况.31.3 本文研究内容及意义.9第二章 现代结构拓扑优化理论 . 112.1 拓扑的概念.112.1.1 拓扑学的由来 .112.1.2 拓扑学及拓扑性质 .132.2 结构拓扑优化原理和方法.162.2.1 拓扑优化的基本原理 .172.2.2 结构拓扑优化设计方法 .172.2.3 拓扑优化设计方法比较 .212.3 拓扑优化设计的优化算法概述.222.3.1 优化算法分类 .222.3.2 拓扑优化常用算法 .24第三章 连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 . 273.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述.293.2 数学模型的有限元离散 .343.2.1 单元应变和应力 .34 吉林大学硕士研究生学位论文-ii-3.2.2 单元平衡方程 .353.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 .383.3 基于 SIMP 理论的优化准则法.39第四章 结构拓扑优化程序实现 . 454.1 基于 SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程.454.2 优化过程的 MATLAB 编程实现 .474.3 计算实例.484.3.1 单一工况简支梁算例 .484.3.2 单一工况悬臂梁算例 .494.3.3 多工况简支梁算例 .50第五章 连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究. 515.1 多孔材料问题.525.2 棋盘格式问题.525.2.1 棋盘格现象 .525.2.2 棋盘格式产生的原因 .535.2.3 棋盘格解决方法 .535.3 网格依赖性问题.565.3.1 网格依赖性现象 .565.3.2 网格依赖性问题产生的原因 .575.3.3 网格依赖性解决方法 .575.4 局部极值问题.595.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.60 目 录-iii-第六章 拓扑优化技术的应用 . 616.1 拓扑优化分析软件介绍 .616.2 拓扑优化技术的应用举例.656.3 拓扑优化技术应用算例.676.3.1 算例一 某型轿车车门内板的拓扑优化 .676.3.2 算例二 某型轿车控制臂的拓扑优化 .71第七章 全文总结与展望 . 757.1 全文总结.757.2 研究展望.76参考文献. 77摘 要. IAbstract. I致 谢. I-1-第一章 绪 论1.1 前言近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。有限元法已经成为结构分析的一个重要的数值计算方法，这一理论的基本思想诞生于 20世纪中叶，经过 60 多年的不断发展和完善，理论已经日趋完善，而且已经开发出一批通用和专用有限元分析软件。使用这些软件已经成功解决了航空航天、核工业、铁路运输业、石油化工、机械制造、能源、汽车、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利等大型科学和工程计算难题。有限元法已经为各领域中产品设计、科学研究做出了很大贡献，并且取得了巨大的经济和社会效益。众所周知，机械结构和零部件的优化设计是为了设计出重量轻，刚强度好，可靠性强的理想结构。集计算力学、数学规划、计算机科学以及其它工程学科于一体的结构优化设计是现代结构设计领域的重要研究方向。它为人们长期所追求最优的工程结构设计尤其是新型结构设计提供了先进的工具，成为近代设计方法的重要内容之一。结构设计一般分为：结构强度设计、结构刚度设计、结构稳定性设计、结构可靠性设计和结构优化设计。前四种设计是基于结构的使用安全性考虑，其结构设计思路是根据已有的基本理论和工程设计人员的设计经验设计出产品的初始结构，然后进行强度分析，如果不符合要求，再重新设计，重新分析，直到满足用户的要求。而结构优化设计是让设计的结构利用材料更经济、受力分布更合理。结构优化通常分为截面（尺寸）优化、形状优化、拓扑优化和结构类型优吉林大学硕士研究生学位论文-2-化1。优化技术包括传统的参数设计优化（Design Optimization） 、基于产品几何形状的拓扑优化（Topological Optimization ） 、多目标优化设计（DesignXplorer）等。目前尺寸优化和形状优化技术已经比较成熟，但是在结构布局已定的情况下，工程师对设计的修改程度有限，优化设计所能产生的效果有限。结构拓扑优化又称为结构布局优化，它是一种根据约束、载荷及优化目标而寻求结构材料最佳分配的优化方法。这个新兴的结构力学的分支不仅能够解决结构优化中较难的一些问题，而且又有相当大的实际应用价值。运用拓扑优化，在一定的设计域内通过反复地消除和重新分布结构材料，能够确定结构材料的最佳排列方式。而这个设计域，是一个只需给出最外边界的粗糙的模型，不需要初始给定有序结构。从宏观角度看，拓扑优化涉及到的不仅是结构的截面、几何形状，还包括它的拓扑模型构成，即其构件的空间连接方式。结构拓扑优化可以大大改善结构的性能或在保持原刚度不变的情况下减轻结构的重量，从节能环保角度带来直接的经济效益。由于该方法能在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方案，所以与尺寸优化和形状优化相比能取得更大的经济效益，也更易被工程技术人员所接受。结构拓扑优化设计把传统结构设计理念向前推动了一大步，是结构设计的一个新的里程碑，是目前工程设计人员必须学习和研究的一个方向。近年来，结构拓扑优化设计技术越来越受到人们的重视，已成为国内外研究的一个热点。研究拓扑结构优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。骨是脊椎动物身体的重要组成部分。不论是从形态学的观点还是从力学的观点来看，骨都是非常复杂的。但是这种复杂性是由其功能适应性所决定的。所谓骨的功能适应性，是指对所担负工作的适应能力。决定骨功能适应性的因素有：轴线形状，截面形状，材料沿各方向的分布规律和内部构造情况等。骨是最理想的等强度优化结构。它不仅在某些不变的外力环境下能显示出其承力的优越性，而且在外力环境发生变化时，能通过内部调整，以有力的新结构形第一章 绪 论-3-式来适应新的外力环境。拓扑优化的应用领域能否进一步扩展，应用于类似骨这种具有功能适应性的生物结构呢？事实上，人类对于骨的研究是沿着另一条轨道进行的。学者们的工作很好地描述了骨的内部最优结构形态，如 Weinans 等2。然而，我们可以设想，为什么骨长成不同的外形呢？这是对力学环境的适应，或者说是重要的、大方向性的适应。如骨干，横截面近似椭圆形，适应各方向受弯，而长轴则是弯矩最大的方向。再以椎体为例，我们知道，就外形而言，老年期椎体比年轻期的有更明显的向内凹的腰鼓形；就内部组织结构而言，老年期小梁骨更细，分布更疏松。椎体是主要承力骨，力学因素是决定其结构形态的主要因素。椎体在从年轻期到老年期的生长过程中，由于总体力学环境逐渐地发生明显的变化，从而使其外部几何形状和内部组织结构二者都发生变化，仍以最优的结构形态去适应新的力学环境。需要指出的是，骨的这种“最优的结构形态” ，应该是即包括最优的内部组织结构，又包括最优的外部几何形状。研究者们通过定量的骨再造理论与有限元分析相结合，已经能够十分成功地模拟出在研究部位的确定的真实的骨结构外形下的最优的内部组织结构。引入拓扑优化思想，通过定量的骨再造理论与有限元分析相结合，模拟预测出骨结构最优的外部几何形状,在这方面宫赫等3已做了一定的研究。本文主要是对结构拓扑优化的基本理论,各种优化方法,优化算法,数值问题等进行研究总结,并加以工程实际应用,以期更深入地运用到生物结构的分析中来。1.2 国内外拓扑优化研究概况目前结构的尺寸优化和形状优化理论已经发展的相当成熟，并且在生产实践中得到广泛应用。随着结构优化理论的进一步发展，结构拓扑优化作为一种吉林大学硕士研究生学位论文-4-更高层次的结构优化设计方法被认为是结构优化领域中更为复杂、困难和更具挑战性的课题4。拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化（如桁架、刚架、加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合）和连续体结构拓扑优化（如二维板壳、三维实体）两大类。实际上离散结构拓扑优化的历史可以追溯到 1904 年由 Michell 提出的Michell 桁架理论5 ，由于数学上的复杂性， Michell 桁架理论只能解决一些承受简单载荷和简单支撑情况的问题，并依赖于选择适当的应变场。后来虽有许多研究者对这一理论进行了完善和发展，但是这些研究都属于经典布局理论优化范畴。为了克服经典布局理论在实践应用中的困难，陆续提出了一些优化方法，其中最有代表性的是 Dorm、Gomor 和 Greenberg（1964）等提出的基结构法（Ground structure approach）6，该方法只考虑单工况和应力约束，不考虑位移约束和协调条件，以内力作为设计变量，从而导出了一个线性规划问题，杆截面由满应力法求得，将截面面积为 0 的杆件从基结构中删除以求得结构的最优化拓扑。后来 Dobbs 和 Felton7对这一方法进行了推广，将设计变量指定为杆截面，考虑多工况和应力位移约束，求解这个非线性问题。20 世纪 60 年代初 Schmit 将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里程碑8。段宝岩和叶尚辉 9也以内力为设计变量，考虑两工况和内力位移约束，通过变量代换建立线型规划问题，以求得桁架结构的最优化拓扑。最近 Grierson 和 Pak、许素强和夏人伟10、Ohsaki 将遗传算法引进桁架。陈建军，曹一波等11把可靠性理论应用到桁架拓扑优化设计中，并且取得了比较好的效果。包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化已比较成熟，国内外已有很多深入的研究和文献12-17。连续体结构拓扑优化理论是结构优化领域研究的难点和热点问题，近年来也得到了较快发展18-23。第一章 绪 论-5-连续体结构的拓扑优化是在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，使结构能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同时使结构的某种性态指标达到最优。目前对二维连续体结构的拓扑优化研究较多。进行拓扑优化的主要困难在于：满足一定要求的结构拓扑形式具有很多种，拓扑形式难以定量描述或参数化，而需要设计的区域预先未知，大大增加了拓扑优化的求解难度。目前关于拓扑优化的重要研究方向可以概述为以下几个方面：拓扑结构描述方式和材料插值模型；拓扑优化求解数值算法；去除拓扑优化中数值计算不稳定性的方法，优化计算结果的提取和重构；拓扑优化的应用研究等。拓扑优化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要，是一切后续优化方法的基础。拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：变厚度法24；均匀化方法（Homogenization method）25-30；密度法31-36（如各向正交惩罚材料密度法，即 SIMP（Solid isotropic material withpenalization model）方法） ；拓扑函数描述方法37-40等，其中均匀化方法和密度法是最具有代表性的两种材料插值模型。变厚度法是最早被采用的拓扑优化方法，这方面工作可追溯到 1977 年Rossow 和 Taylor41的变厚度应力膜最优设计，它的基本思想是以单元的厚度为设计变量，以优化后的厚度分布为确定最优拓扑，是尺寸优化的直接推广。具有方法简单，概念清楚等优点，但是对优化对象进行限制，不能推广到三维连续体的结构优化中。20 世纪 70 年代法国科学家 Lions42提出“均质化方法”并且将其应用到具有周期性结构材料的分析中，1980 年 Cheng 和 Olhoff43首先把材料的微观模型引进到结构优化设计中，1988 年丹麦学者 Bendose 与美国学者kikuchi44提出基于均质化方法的结构拓扑优化设计。其方法在优化时只考吉林大学硕士研究生学位论文-6-虑体积约束和平衡条件，以最小柔顺性为目标，有限元模型中每一单元的微观结构指定为相同并以其尺寸和转角作为设计变量，优化算法属于准则法，其最优准则由变分法导出。Guedes 和 Kikuchi25于 1990 年提出了更为详细包含二维和三维结构的实现算法。Suzhki 和 Diaz26,27提出了采用均匀化方法同时进行结构形状和拓扑优化的方法，以及采用均匀化方法进行多工况下拓扑优化的算法。Michel28等研究了用均匀化方法进行材料特性计算的简化方法。Lazarus29等将数学规划算法引入基于均匀化理论的拓扑优化算法中，并进行了结构动力学的初步计算。Hassani 和 Hinton30对基于均匀化理论的拓扑优化理论和算法进行了全面系统的总结。均匀化理论和方法在 Altair公司的 OptiStruct 软件中首次得到了实现。用均匀化方法解决宏观结构的拓扑优化问题时，其均匀化弹性张量的求解非常复杂，并且微单元的最佳形状和方向难以确定，结构响应函数的敏度求解复杂。Sigmund33等用均匀化方法优化了给定材料性能参数情况下的材料微观结构问题，用均匀化方法材料插值模型进行了材料微观结构的反求，即在给定一定材料特性参数情况下，采用拓扑优化方法求解材料的最佳微观结构构成形式。国内学者吴长春等34用均匀化方法对蜂窝材料、复合材料的有效弹性模量等力学性能参数做了数值模拟计算，刘书田、程耿东等35用均匀化理论对复合材料的性能进行了研究。密度法是结构拓扑优化设计中的另一种有效方法，与均匀化法不同的是人为的引入一种假想的材料，材料的密度是可变的，材料参数与材料密度间的关系也是人为假定的，拓扑优化设计时取密度为设计变量，优化结果是材料的最优化分布，材料的分布反映了结构的最优拓扑。Mlejnek 等45从工程角度出发提出了结构材料密度的幂次惩罚模型，通过在 0-1 离散结构优化问题中引入连续设计变量，并加入中间密度惩罚项，从而将离散结构优化问题转换为连续结构优化问题，这一方法构成了后来密度第一章 绪 论-7-法材料插值模型的基础。Sigmund 和 Bendsoe 等46-48对密度法材料插值模型进行了深入研究，从理论上研究了各种不同的密度法惩罚材料插值方法，提出了一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的变密度法材料密度插值理论，又称为 SIMP 理论。利用该模型能够方便地获得单元密度与弹性模量之间的关系，减少优化设计变量，简化优化求解过程。该方法作者于 1999 年证实了该方法所具有的中间密度单元在物理意义上的存在性。国 内 学 者 隋 允 康 等 49-53 提 出 了 一 种 独 立 连 续 映 射 模 型 方 法（Independent continuous mapping, ICM） ，通过引入过滤函数、磨光函数及光滑映射变换，将桁架结构中的离散变量转换为连续设计变量，优化求解后再将连续设计变量转换为离散设计变量，这样在离散设计变量和连续设计变量之间建立了一一对应关系，从而建立完善了桁架结构拓扑优化模型，成功解决了多工况应力与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题。并尝试将 ICM 方法推广到连续体结构拓扑优化中，研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化问题，求解中采用了对偶规划算法。最近，拓扑优化的应用领域也有了新的进展：拓扑优化问题的结构形式有板壳弯曲问题，三维连续结构。拓扑优化问题的材料有高级材料，非线性材料，自由材料等。按照目标函数和约束划分有:固有值问题，应力约束，损伤和冲击，控制问题，荷载与设计相关问题，多目标优化。同时计算方法上也有新的发展，准则法有转向标准的数学规划方法的趋势，还出现了进化和遗传方法，细胞自动机，自适应有限元网格的再划分技术。数值问题稳定性方面，抑制棋盘格现象的方法也得到了进一步的研究，如周长控制和过滤方法以及小波近似方法都十分有效。 连续结构拓扑优化：综述54-55一文详细介绍了拓扑优化研究开拓出的许多新的应用领域。列举的例子包括:给定宏观性质的材料设计研究可以设计出负泊松比，负热膨胀系数材料；柔性机构拓扑优化设计提供的柔性机构具有极小的磨损、摩擦及配合间隙，无需润滑，具有内在恢复力吉林大学硕士研究生学位论文-8-等非常优良的机械性能；生物力学中的功能自适应和拓扑优化研究可以模拟骨骼的形成。拓扑优化技术通过有限元分析和优化算法相结合来求解，主要解决离散结构体和连续结构体两类问题。从研究报告发表的结果表明，国内目前主要工作是围绕桁架类结构的设计，这些工作虽然在不同程度上推动了拓扑优化技术的发展，但从总体上讲，对二维、三维及骨架式连续体结构的研究还处于起步状态，研究与应用力度不够，缺少具有求解大型复杂结构、多工况下的软件系统与设计平台，且其繁琐的计算和复合材料难于制造现象的存在，影响其应用，并且在实际的优化过程中普遍存在着数值计算不稳定现象，如棋盘格式、网格依赖性以及局部极值问题等。总之，目前拓扑优化的研究主要集中于单工况平面结构，对三维结构和多工况的研究尚少，而且成熟的理论和算法尚未得到，研究工作还是处于探索阶段。另外，还存在一种结构布局优化，布局优化综合考虑结构构件的尺寸、形状和拓扑的优化，同时也考虑外力的最佳作用位置及分布形式，结构的支承条件等，还包括结构单元类型的优化。布局优化的数学模型描述更为复杂，求解更困难。目前处于较低的研究水平，国内外很少见文献报道，是研究领域的一个难点，不在本文的论述范围之内。以上介绍了拓扑优化方法的发展过程，拓扑优化方法的发展比较缓慢，特别是连续体的拓扑优化，其主要原因是：拓扑学理论的应用还很不够，连续体结构拓扑优化模型很难用一个定量的方法来描述拓扑优化的结果。结构拓扑优化是建立在拓扑学、计算机技术和优化方法基础上的结构优化理论，涉及到应用数学、计算力学、优化策略等领域，并且不断融入人工智能遗传算法、图像信息处理、科学计算可视化等新兴学科和技术。随着拓扑优化理论和工程研究的逐步进展，拓扑优化将可能成为新产品设计和开发的有力工具。连续体结构拓扑优化是一个新兴的研究领域，其理论和应用研究中都还存在许多问题需要第一章 绪 论-9-解决，但随着科技的快速发展，特别是广大科技人员的艰苦努力，拓扑优化方法将一定会大大推动工程设计的革新和生产力的发展。1.3 本文研究内容及意义本文在总结国内外最新研究成果的基础上，对连续体结构拓扑优化的基本理论、优化方法、相关算法、数值问题及拓扑优化应用进行了系统地分析和研究。研究工作主要体现在以下几个方面：1）通过阅读大量的参考文献，归纳总结出了结构拓扑优化的各种分析方法和优化算法，并介绍了方法的适用范围和算法的选取；2）对连续体结构拓扑优化中的材料插值理论进行了探讨，基于 SIMP 理论，在体积约束下，选择合适的设计变量和目标函数（最小柔度） ，构造了适应结构拓扑优化的数学模型即最小柔度优化问题的数学表达式；并选取了有效的求解方法准则优化法对优化模型进行了求解，推导出了其密度迭代格式；3）利用 MATLAB 软件编程，实现了简单的结构拓扑优化程序，有效地进行了二维平面结构的分析和拓扑优化设计；4）讨论了结构拓扑优化中普遍存在的数值不稳定现象：多孔材料、棋盘格、网格依赖性、局部极值等，以及去除这些数值计算不稳定性的方法，并对各种方法进行了比较；5）文章最后，选取了两个具体的车身结构部件：车门内板和控制臂，利用结构有限元分析软件 Hyperworks 的 OptiStruct 模块对其进行了拓扑优化应用研究，将拓扑优化理论和方法应用到实际工程结构，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。本课题来源于高等学校博士学科点专项科研基金项目：结构形状拓扑优化理论及算法。通过本课题的研究，学习了有限元分析理论、算法及应用软件的吉林大学硕士研究生学位论文-10-使用，全面了解了优化设计的思想，掌握了一种全新的工程结构和零部件设计方法；并应用拓扑优化技术，实现了具体工程结构部件的优化设计全过程，提高了自己分析解决实际问题的能力。-11-第二章 现代结构拓扑优化理论2.1 拓扑的概念2.1.1 拓扑学的由来拓扑学起初叫形势分析学，这是 GW莱布尼茨 1679 年提出的名词。中文名称起源于希腊语 的音译。Topology 原意为地貌，于 19 世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。当时发现了一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占据着重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题（图 2-1） 、多面体的欧拉定理（图 2-2） 、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在桥上散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案并不那么容易。1736 年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分吉林大学硕士研究生学位论文-12-析，欧拉得出结论不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。图 2-1 哥尼斯堡七桥问题在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是 v、棱数是 e、面数是 f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2 。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。图 2-2 五种正多面体著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色” 。1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。18781880 年两年间，著名律师兼数学家肯第二章 现代结构拓扑优化理论-13-普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入 20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时，作了 100 亿次判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。2.1.2 拓扑学及拓扑性质拓扑学的英文名是 Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学” 、 “连续几何学” 、“一对一的连续变换群下的几何学” ，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的数学名词把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯吉林大学硕士研究生学位论文-14-堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，