机器人运动学.ppt

1、机器人运动学,preface,机器人的发展与未来,Three Laws of Robotics:,Isaac Asimov already provided the answer some time ago, with his original Three Laws of Robotics: 1. A robot may not injure a human being, or, through inaction, allow a human being to come to harm. 2. A robot must obey the orders given it by human bei

2、ngs except where such orders would conflict with the First Law. 3. A robot must protect its own existence as long as such protection does not conflict with the First or Second Law.,alternative choice?,机器人运动学的主要内容,位置与姿态描述 坐标变换 连杆变换矩阵 机器人正向运动学 机器人逆向运动学 机器人的微分运动,机器人运动学前言,机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械臂之间的关系。这

3、一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。 本课程将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机器人(机械臂)之间的关系。,运动学研究的问题： 运动学正问题：机器人运动学正问题是已知机器人各关节、各连杆参数及各关节变量，求机器人手端坐标在基础坐标中的位置和姿态。,机器人运动学前言,运动学逆问题：机器人运动学逆问题，是已知满足某工作要求时末端执行器的位置和姿态，以及各连杆的结构参数，求关节变量。,Where is my hand?,How to move my ha

4、nd?,机器人运动学前言,机器人的微分运动：机器人关节坐标的微小运动与机器人末端的位置和姿态的变化之间的变换关系。 基于速度的运动控制：通常采用微分运动原理对机器人的各个关节的运动进行控制。,How to solve the magic cube ？,1. 位置描述,1.1笛卡尔坐标系： 在选定的直角坐标系A中，空间任一点P的位置可用位置矢量 表示： 利用31矩阵表示：,图 1.1笛卡尔坐标系,1. 位置描述,1.2 三维空间点P的齐次坐标：加入一个比例因子w, 位置向量可以写为： 假设ijk是直角坐标系中XYZ坐标轴的单位向量，则XYZ轴可表示为,1. 位置描述,1.3 坐标系的表示： 在固

5、定参考坐标系原点的表示：用三个相互垂直的单位向量来表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系，分别为n,o,a，依次表示法线(normal)，指向(oritentation)，和接近(approach)。这样，坐标系就可以由三个向量以矩阵的形式表示为,1. 位置描述,坐标系不在固定参考坐标系的原点:可以在该坐标系的原点与参考坐标系原点之间做一个向量，而这个向量由上节中提到的参考坐标系的三个坐标向量表示。这样，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。,1. 位置描述,示例：坐标系位于参考坐标系的3，5，7的位置。n轴与x轴平行，o轴相对于y轴角度45，a轴相对于z轴角度45

6、 ）,2. 姿态描述,姿态描述：刚体的空间表示。 一个刚体在空间有几个自由度？ 通常的做法是：定义两个坐标系空间固定坐标系和刚体固定坐标系。 常用的姿态描述： 旋转矩阵的姿态描述（笛卡尔坐标系下）， 欧拉（Euler）角的姿态描述， 利用横滚（R：Roll）、俯仰（P：pitch）、偏转（Y：yaw）角（RPY角）的姿态描述等。,2.1 姿态描述,表示与B的坐标轴平行的三个单位矢量在坐标系A中的描述。 表示刚体B相对于坐标系A的姿态。 刚体B相对于坐标系A的姿态的旋转矩阵。,2.1 姿态描述,旋转矩阵的性质： 单位向量，相互垂直，正交。 正交矩阵：,2. 2位姿描述,位置与姿态简称位姿。刚体B

7、在参考坐标系A中的位姿利用坐标系B描述。 齐次变换矩阵形式,3.坐标变换,3.1平移变换（Translation transformation）：坐标系B与A的方向向量平行，原点不同。,XA,其中px , py和pz是纯平移向量APB相对于参考坐标系x , y和z轴的三个分量。 矩阵的前三列表示没有旋转运动（等同于单位阵），而最后一列表示平移运动。,3.坐标变换,3.2旋转坐标变换（Rotation transformation） 假设坐标系（n ,o ,a）位于参考坐标系（x ,y ,z）的原点，坐标系（n ,o ,a）绕参考坐标系的x轴旋转一个角度，再假设旋转坐标系（n ,o ,a）上有一

8、点P相对于参考坐标系的坐标为Px,Py和Pz，相对于运动坐标系的坐标为Pn, Po和Pa。当坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转,3.坐标变换,旋转后，该点坐标Pn, Po和Pa在旋转坐标系中保持不变，但在参考坐标系中：,旋转变换矩阵,3.坐标变换,绕 x, y, z 轴分别旋转角的相应齐次变换是:,假设坐标系（n ,o ,a）和参考坐标系（x ,y ,z）的原点不重合。 用位置矢量表示B的原点相对A的位置，用旋转矩阵表示B相对与A的方位。,3.坐标变换,任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。 示例：假设坐标系（n ,o ,a）位于参考坐标系（x ,y ,z）的原

9、点，坐标系（n,o,a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。 (1)绕z轴旋转90度； (2)接着绕y轴旋转90度； (3)接着再平移4，-3，7。,Pxyz=Trans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)Pnoa,3.坐标变换,Pxyz=6，4，10，1T,示例,例题：,B和A位姿重合。现在将B绕AzA轴转30度，再沿A的xA轴移动12单位，再沿A的yA轴移动6单位。假设点p在B中位置为5,9,0T，求点p在A中位置。 ApB=12, 6, 0,1T Ap=11.1, 13.6, 0,1T,3.坐标变换,3.3逆变换（Inverse tr

10、ansformation) 所谓逆变换就是将被变换的坐标系返回到原来的坐标系。 变换矩阵的一般表达形式： 式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是,3.坐标变换,3.3联体坐标变换 对于坐标系ABC，假设A是参考坐标系（基坐标系），则B相对于A的坐标变换以及C相对于B的坐标变换称为联体坐标变换。 已知B 在A中的表示为T1，C在B中的表示为T2，刚体在C中的表示为T3，则刚体在A中的表示为 TT1T2T3,设C在基W下的描述为WTC，在B下的描述为BTC。 WTC WTB BTC BTC WT-1C WTB,3.坐标变换,通用旋转变换：如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根

11、任意轴？设f为单位矢量，为旋转角。 设B在基W下的描述为WTB，且f为B的z轴上的单位矢量。,3.坐标变换,通用旋转变换,3.坐标变换,思考：如何求解T在B下的位置？,B：基坐标系,G：目标系,T：工具系,4.连杆变换矩阵,机械手是一系列由关节连接起来的连杆构成。 每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换描述坐标系之间的相对位置和姿态。 A矩阵：一个连杆和下一个连杆坐标系间的相对关系的齐次变换。 对于六连杆机械手： T6A1A2A3A4A5A6,4.连杆变换矩阵,4.1关节与连杆： 在机器人中，通常有两类关节：转动关节和移动关节。 自由度：物体能够相对于坐标系进行独立运动的数目 不同于人类的关节

12、，一般机器人关节为一个自由度的关节，其目的是为了简化力学、运动学和机器人的控制。 转动关节提供了一个转动自由度，移动关节提供一个移动自由度，各关节间是以固定杆件相连接的。,4.连杆变换矩阵,关节轴线：对于旋转关节，其转动轴的中心线作为关节轴线。对于平移关节，取移动方向的中心线作为关节轴线。 连杆参数： 连杆长度：两个关节的关节轴线Ji与Ji+1 的公垂线距离为连杆长度，记为ai。 连杆扭转角：由Ji与公垂线组成平面P，Ji+1 与平面P的夹角为连杆扭转角，记为i 。,4.连杆变换矩阵,连杆偏移量：除第一和最后连杆外，中间的连杆的两个关节轴线Ji与Ji+1 都有一条公垂线ai，一个关节的相邻两条

13、公垂线ai与ai-1 的距离为连杆偏移量，记为di。 关节角：关节Ji的相邻两条公垂线ai与ai-1在以Ji为法线的平面上的投影的夹角为关节角，记为i。 ai,i, di, i这组参数称为Denavit-Hartenberg(D-H)参数。,4.连杆变换矩阵,D-H参数,4.连杆变换矩阵,连杆坐标系： 为描述相邻杆件间平移和转动的关系。 Denavt和Hartenberg (1955)提出了一种为关节链中的每一杆件建立附体坐标系的矩阵方法。 D-H方法是为每个关节处的杆件坐标系建立4 4齐次变换矩阵，表示它与前一杆件坐标系的关系。这样逐次变换，用“手部坐标”表示的末端执行器可被变换并用机座坐标

14、表示。 坐标系的建立有两种方式： Paul定义法 Craig定义法,4.连杆变换矩阵,Paul定义法: 中间连杆Ci坐标系的建立： 原点Oi：取关节轴线Ji与Ji+1的公垂线在与Ji+1的交点为坐标系原点。 Zi轴：取Ji+1的方向为Zi轴方向。 Xi轴：取公垂线指向Oi的方向为Xi轴方向。 Yi轴：根据右手定则由Xi轴和Zi轴确定Yi轴的方向。,4.连杆变换矩阵,第一连杆C1坐标系的建立： 原点O1：取基坐标系原点为坐标系原点。 Z1轴：取J1的方向为Z1轴方向。 X1轴：X1轴方向任意选取。 Y1轴：根据右手定则由X1轴和Z1轴确定Y1轴的方向。,4.连杆变换矩阵,最后连杆Cn坐标系的建立

15、：最后一个连杆一般是抓手。 原点On：取抓手末端中心点为坐标系原点。 Zn轴：取抓手的朝向, 即指向被抓取物体的方向为Zn轴方向。 Xn轴：取抓手一个指尖到另一个指尖的方向为Xn轴方向。 Yn轴：根据右手定则由Xn轴和Zn轴确定Yn轴的方向。,4.连杆变换矩阵,Craig定义法:对于相邻两个连杆Ci和Ci+1，有三个关节Ji-1、Ji和Ji+1。 中间连杆Ci坐标系的建立： 原点Oi：取关节轴线Ji与Ji+1的公垂线在与Ji的交点为坐标系原点。 Zi轴：取Ji的方向为Zi轴方向。 Xi轴：取公垂线从Oi指向Ji+1的方向为Xi轴方向。 Yi轴：根据右手定则由Xi轴和Zi轴确定Yi轴的方向。,4

16、.连杆变换矩阵,第一连杆C1坐标系的建立： 原点O1：取基坐标系原点为坐标系原点。 Z1轴：取J1的方向为Z1轴方向。 X1轴：X1轴方向任意选取。 Y1轴：根据右手定则由X1轴和Z1轴确定Y1轴的方向。 最后连杆Cn坐标系的建立：最后一个连杆一般是抓手。 原点On：取抓手末端中心点为坐标系原点。 Zn轴：取抓手的朝向, 即指向被抓取物体的方向为Zn轴方向。 Xn轴：取抓手一个指尖到另一个指尖的方向为Xn轴方向。 Yn轴：根据右手定则由Xn轴和Zn轴确定Yn轴的方向。,4.连杆变换矩阵,4.连杆变换矩阵,Paul定义法的连杆变换矩阵: Ci-1坐标系经过两次旋转和两次平移可以变换到Ci坐标系。

17、 第一次：以Zi-1轴为转轴，旋转i角度，使新的Xi-1轴与Xi轴同向。 第二次：沿Zi-1轴平移di，使新的Oi-1移动到关节轴线Ji与Ji+1的公垂线在与Ji的交点。 第三次：沿新的Xi-1轴（Xi轴）平移ai，使新的Oi-1移动到Oi。 第四次：以Xi轴为转轴，旋转i角度，使新的Zi-1轴与Zi轴同向。 至此，坐标系Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1与坐标系OiXiYiZi已经完全重合。,Paul定义法的连杆变换矩阵,可以用连杆Ci-1到连杆Ci的4个齐次变换来描述。总的变换矩阵(D-H矩阵)为：,4.连杆变换矩阵,Craig定义法的连杆变换矩阵： Ci-1坐标系经过两次旋转和两次平移可以

18、变换到Ci坐标系。 第一次：沿Xi-1轴平移ai-1,将Oi-1移动到Oi-1。 第二次：以Xi-1轴为转轴，旋转i-1角度，使新的Zi-1(Zi-1)轴与Zi轴同向。 第三次：沿Zi轴平移di，使新的Oi-1移动到Oi。 第四次：以Zi轴为转轴，旋转i角度，使新的Xi-1 (Xi-1)轴与Xi轴同向。 至此，坐标系Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1与坐标系OiXiYiZi已经完全重合。,Craig定义法的连杆变换矩阵,这种关系可以用连杆Ci-1到连杆Ci的4个齐次变换来描述。总的变换矩阵(D-H矩阵)为：,5.机器人正向运动学,有n个自由度的工业机器人所有连杆的位置和姿态，可以用一组关节变量（

19、di或i）以及杆件几何常数来表示。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，由这些矢量描述的空间称为关节空间。 一旦确定了机器人各个关节的关节坐标，机器人末端的位姿也就随之确定。因此由机器人的关节空间到机器人的末端笛卡尔空间之间的映射，是一种单射关系。 机器人的正向运动学，描述的就是机器人的关节空间到机器人的末端笛卡尔空间之间的映射关系。,5.机器人正向运动学,对于具有n个自由度的串联结构工业机器人，各个连杆坐标系之间属于联体坐标关系。若各个连杆的D-H矩阵分别为Ai，则机器人末端的位置和姿态为：T=A1A2A3An 相邻连杆Ci-1和Ci，两连杆坐标系之间的变换矩阵即为连杆变换矩阵位姿： i-1T

20、i=Ai 机器人的末端相对连杆Ci-1的位置和姿态为：由于坐标系的建立不是唯一的，不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，末端位姿T不同。但对于相同的基坐标系，不同的D-H矩阵下的末端位姿T相同。 i-1Tn=AiAi+1An,5.1PUMA560机器人的正向运动学,PUMA 560是属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,连杆及关节参数表,大臂,小臂,腰关节,肩关节,肘关节,腕关节,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系的建立： 初始位置：大臂处于某一朝向时，作为腰关节的初始位置；大臂处于水

21、平位置时，作为肩关节的初始位置；小臂处在下垂位置时，关节轴线J4与J1平行，作为肘关节的初始位置；关节轴线J6与J4平行时，作为腕关节的的初始位置，抓手两个指尖的连线与大臂平行时，作为腕旋转关节的初始位置。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系的建立： 基坐标系OX0Y0Z0：原点O0选取J1与J2的交点，z0轴方向选取为沿J1轴向上的方向，y0轴方向选取J2轴线的方向，x0轴根据右手法则确定。 坐标系O1X1Y1Z1：原点O1选取J1与J2的交点，z1轴方向为J2轴线的方向，y1轴方向选取与基坐标系z0轴相反的方向，x1轴的方向与x0轴方向相同。,5.1PUMA560机器人的正向运

22、动学,坐标系O2X2Y2Z2：原点O2选取大臂与J3的交点，z2轴方向为J3轴线的方向，x2轴的方向选取J2与J3的公垂线指向O2的方向。 坐标系O3X3Y3Z3：原点O3选取J4、J5与J6的交点，z3轴方向为J4轴线的方向，y3轴的方向与z2轴相反的方向。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系O4X4Y4Z4：原点O4选取J4、J5与J6的交点，z4轴方向为J5轴线的方向，y4轴的方向与z3轴相同的方向。 坐标系O5X5Y5Z5：原点O5选取J4、J5与J6的交点，z5轴方向为J6轴线的方向，y5轴的方向与z4轴相反的方向。 坐标系O6X6Y6Z6：原点O6选取J4、J5与J6的

23、交点，z6轴方向为J6轴线的方向，x6轴的方向选取抓手一个指尖到另一个指尖的方向。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,连杆变换矩阵： 基坐标系OX0Y0Z0与O1X1Y1Z1：原点重合，连杆长度和连杆偏移量为零。关节角为1，连杆扭角为90。.,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系O1X1Y1Z1与 O2X2Y2Z2 ：连杆长度为a2，连杆偏移量为d2，关节角为2，连杆扭转角为零。,坐标系 O2X2Y2Z2 与O3X3Y3Z3 ：连杆长度为a3，连杆偏移量为d3，关节角为3，连杆扭转角为90 。 。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系O3X3Y3Z3与 O4X4Y4Z

24、4 ：连杆长度和连杆偏移量为0，关节角为4，连杆扭转角为90 。 。,坐标系 O4X4Y4Z4 与O5X5Y5Z5 ：连杆长度和连杆偏移量为0，关节角为5，连杆扭转角为90 。 。,5.1PUMA560机器人的正向运动学,坐标系 O5X5Y5Z5 与O6X6Y6Z6 ：连杆长度和连杆偏移量为0，关节角为6，连杆扭转角为0 。 。,由六个连杆的DH矩阵，可以求取机器人末端在基坐标系下的位置和姿态： T=A1A2A6 上述即为PUMA560机器人人的运动学方程。,作业：斯坦福机械手的运动方程,斯坦福机器人的连杆及关节参数表,5.2 移动机器人的运动学,移动机器人的运动学模型 导向驱动方式的运动学模型的推导：,移动机器人的运动学模型,非完整约束欠驱动系统或非完整系统,5.2 移动机器人的运动学,拖挂式移动机器人的运动学模型,图 5-1 具有一节拖车的拖挂式移动机器人,5.2 移动机器人的运动学,拖挂式移动机器人的运动学模型,等式约束：,练习：,拖挂式移动机器人的运动学模型,6.机器人逆向运动学,正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射 所谓逆运动学方程的解，就是已知机械手直角坐标空间的位姿（pose）Tn，求出各节变量i or di 。,6.1 解析法,步骤: 根据机械手关节坐标设置确定