材料力学 第10章 能量法.ppt

1、材料力学,10.1 概述,10.2 弹性应变能的计算,10.3 互等定理,10.4 卡氏第二定理,10.5 虚功原理,10.6 单位载荷法,10.7 图乘法,10.9 超静定结构的基本解法,第十章 能量法,能量原理,功能原理,用途：,计算结构的变形,求解超静定结构,数值计算计算力学,固体力学中利用功与能之间的关系建立的一些定理,第十章 能量法,10.1 概述,能量法,利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力,或外力的计算方法。,对变形固体：,外力功,即：,弹性范围内应变能可逆,10.1 概述,杆件应变能,不计动能和其它能量,静载：,能量原理,一、线弹性问题的应变能,即：,10.2 弹性应变

2、能的计算,第十章 能量法,变形能是外力或位移的二次函数,线弹性体的应变能等于每一外力,与其相应位移乘积的二分之一的总和,（一）、轴向拉伸或压缩,1、应变能,（1）轴力沿轴线不变,二、杆件应变能的计算,10.2 弹性应变能的计算,（2）轴力沿轴线变化,2、比能,10.2 弹性应变能的计算,（二）、扭转,1、应变能,（1）扭矩沿轴线不变,（2）扭矩沿轴线变化,10.2 弹性应变能的计算,2、纯剪切应力状态下的比能,10.2 弹性应变能的计算,（三）、弯曲,（1）纯弯曲,10.2 弹性应变能的计算,（2）横力弯曲,微段dx,整个梁,10.2 弹性应变能的计算,（四）、组合变形下的应变能,10.2 弹

3、性应变能的计算,因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即Ve=W ，但必须注意F-D以及s-e 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。,(2) 非线性弹性体,1. 轴向拉伸与压缩,应变能密度,式中，Me为扭转力偶矩，j为扭转角，t为扭转切应力，g 为切应变。,2. 扭转,应变能,式中， Me为外力偶矩，q为弯曲转角，s为正应力，e为线应变。,应变能密度,应变能和应变能密度之间的关系为,式中，V 为体积。,3. 梁,应变能,原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载F1作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量均为E,横截面面积均为A。,例 题 3-1,(1),首先分析力F

4、 和位移D之间的关系，求出F = f (D)的表达式，然后利用 求Ve。设两杆的轴力均为FN ，两杆的伸长量和A点的位移分别为,例 题 3-1,解:,由结点A的平衡方程，得,由于a 为小角度，,(3),(5),将(4)式代入(3)式，得,例 题 3-1,F 和D的关系如图b所示。,杆的应变能为,例 题 3-1,(1) 由于力F 引起的变形l，对FN产生影响，形成F 和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系几何非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时 物理非线性。,例 题 3-1,(2)几何非线性时，不能用 求应变能，而只能用 求应变能。,. 余能,图 a为非线性体弹性体的受拉杆

5、，其F -D和s-e关系如图b、c 所示。,(1) 余功的定义为,(3-6),其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OF1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。,(3) 线弹性体(图e),Ve 和 Vc 数值相等,(2) 余能,图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的 s e 关系如图b 所示。求结构的余能。,例 题 3-2,由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为,应力为,解:该题为物理非线性问题，需用 求 Vc。其中 。,例 题

6、 3-2,余能密度为,结构的余能为,由b图所示的单轴拉伸时的s e的关系可得,例 题 3-2,例 1 求图示简支梁的变形能，并求yC,解：,1.求支反力,2.列弯矩方程,AC段：,CB段：,例 1 求图示简支梁的变形能，并求fC,解：,1.求支反力,2.列弯矩方程,AC段：,CB段：,3.求梁的变形能,4.求fC,一、功的互等定理,10.3 互等定理,以图示梁为例证明如下：,第十章 能量法,1.先在1点作用F1,再在2点作用F2,外力功：,外力功：,变形能：,10.3 互等定理,1.先在1点作用F1,10.3 互等定理,2.先在2点作用F2,再在1点作用F1,外力功：,外力功：,变形能：,1.

7、先在1点作用F1,10.3 互等定理,2.先在2点作用F2,变形能只决定于力与位移的最终值，,与加载次序无关,即：,功的互等定理,二、位移互等定理,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用,2.力和位移应理解为广义力和广义位移,10.3 互等定理,当F1=F2=F时,（力与位移成线性关系的结构）,例 3 试求图示梁的跨中挠度fC,解：,1.当Me作用时,设想在C点作用F,2. 由功的互等定理,3.查表,讨论：若应用位移互等定理任何求解？,第十章 能量法,10.4 卡氏第二定理,已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、Fi、作用,求：任一广义力Fi的作

8、用点沿Fi方向的广义位移i ，,例如：,一、推导,给：,总变形能：,10.4 卡氏第二定理,有：,一、推导,10.4 卡氏第二定理,改变加载次序,总变形能：,先加dFi ：,再加F1,F2,Fi ,：,一、推导,10.4 卡氏第二定理,由,卡氏定理：,说明：,1.卡氏定理适用于线弹性结构；,2.Fi为广义集中力，I为广义位移。,得到,二、应用,1.梁的弯曲,10.4 卡氏第二定理,2.桁架,10.4 卡氏第二定理,3.求没有集中力作用的点的位移,在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力F0(附加力)，,计算出在载荷和附加力共同作用时的变形能，在求得U对F0的偏,10.4 卡氏第二定理,导数后，

9、再令F0=0，即,0广义位移,F0广义力,例4 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，,解：,1.求B,(1)列弯矩方程，并求导,DC段：,求B、D 。,CB段：,BA段：,(2)求B,例4 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，,解：,2.求D,(1)加附加力,DC：,求B、D。,CB：,BA：,(3)求D,(2)列弯矩方程,第十章 能量法,10.6 单位载荷法,已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、Fi、作用,求：任一点C的广义位移，,一、定理推导,图(a)：,图(b)：,10.6 单位载荷法,图(c)：,图(d)：,广义位移,实际载荷引起的弯矩,单位广义力引起的弯矩,莫尔

10、定理：,这种计算位移的方法称为单位载荷法,10.6 单位载荷法,式中,莫尔积分,1.扭转,2.桁架,10.6 单位载荷法,二、莫尔定理的其它情形,4.组合变形情况,10.6 单位载荷法,3.求相对位移,卡氏定理：,莫尔定理：,10.6 单位载荷法,三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系,以弯曲为例说明两者之间的关系,若i=，则有：,解：,1. 求yC,(1).列弯矩方程,(2).求yC,由对称性,例5 求图示梁的yC和B。,例5 求图示梁的yC和B。,解：,1. 求yC,(1).列弯矩方程,(2).求B,2. 求B,上述积分可以简化,第十章 能量法,10.7 图乘法（维利沙金法）,必为直线或折线,对

11、于等直杆,在单位力或单位力偶的作用下，,10.7 图乘法,一、 为直线情况,10.7 图乘法,一、 为直线情况, M图的面积, M图的形心坐标, 图中与M图形心所对应的值,式中,图乘法上述计算莫尔积分的方法,1.以折线的转折点为界，将积分分成若干段,2.逐段使用图乘法,3.求和,10.7 图乘法,二、 为折线情况,10.7 图乘法,三、积分值的符号,M图的形心C与 在同侧，积分值为 +,异侧，积分值为 -,四、几种常用图形的面积及其形心位置,1.三角形,10.7 图乘法,10.7 图乘法,四、几种常用图形的面积及其形心位置,2.二次抛物线,10.7 图乘法,3.n次抛物线,四、几种常用图形的面

12、积及其形心位置,五、M图由几种常用图形组合情况,1.将M图分解为几种常用图形的组合,2.分别应用图乘法,3.叠加,10.7 图乘法,六、一般情况,若一个为直线或折线，,可使用图乘法。,10.7 图乘法,例6 用图乘法求图示梁的yC,分为AC和CB两段使用图乘法,解：,1.作M图,2.作 图,3.求解,例7 图乘法求图示外伸梁A端转角A,解：,1.叠加法作M图,2.作 图,3.求解A,1.确定超静定次数，选定静定基,2.作出相当系统,3.写出相当系统的应变能,4.根据多余约束处的位移条件，,5.联立求解补充方程，得到全部多余约束力,6.按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移,应用卡氏定理列出补充方程,10.9 超静定结构的基本解法,例 8 图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。,解：,一次超静定,1.取静定基,2.作相当系统,4. 求解变形协调方程,3.列变形协调方程,例 8 图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。,解：,一次超静定,5.讨论,利用,求得,力法,以力作为基本未知量求解超静定问题的方法,11静定基的B点在多余约束力FB方,力法正则方程,10.10 力法 正则方程,向作用单位力时所引