华南理工大学数学实验上机作业

1、实验三 微分方程地 点： 计算中心XXX房实验台号：XXX实验日期与时间：20XX年X月XX日评 分：预习检查纪录：实验教师：XX电子文档存放位置：电子文档文件名：XXX.doc批改意见：1 实验目的- 了解求解微分方程解析解的方法。- 了解求微分方程数值解的方法。- 学会建立一些简单的微分方程模型，并能分析解决这些问题。2 问题1用dsolve函数求解微分方程：实验过程：根据dsolve格式，微分方程为D2y = Dy + 2y，初始条件为y(0) = 1，Dy(0) = 0，将其带入dsolve函数可得到方程字符串y = (2*exp(-t)/3 + exp(2*t)/3，再用函数ezpl

2、ot即可画出该函数图像。y = dsolve(D2y=Dy+2*y, y(0)=1,Dy(0)=0);hold on;t = 0, 3;set(ezplot(diff(diff(y), t),Color,k);set(ezplot(diff(y), t),Color,b );set(ezplot(y, t),Color,y);legend(y, y, y, 0)实验结果：图1 曲线各阶图像结果分析：经验证 ，初始条件符合，故结果合理，3 问题2设河边点O的正对岸为A；河宽OA=h，两岸为水平直线，水流的速度为0.5m/min。有一只鸭子从点A游向点O，设鸭子在静水中的游动速度为1m/min，且

3、鸭子的游动方向始终朝着点O，求鸭子游过的轨迹方程，用MATLAB求解，并做出轨迹图。实验过程：图2 受力分析图如图2，我们进行受力分析。水流方向向右边，鸭子的坐标为xi+yj。鸭子水平速度为vi = v_water-v_duck*cos(theta)鸭子垂直速度为vj = -v_duck*sin(theta)其中cos(theta) = x/sqrt(x2+y2), sin(theta) = y/sqrt(x2+y2)所以速度表达式：dy/dt = -v_duck*y/sqrt(x2+y2)dx/dt = v_water-v_duck*x/sqrt(x2+y2)相除并化简得到：dx/dy =

4、(x/y) (v_water/v_duck)*sqrt(x/y)2+1)用MATLAB编程得到的代码为：% save as fun.m function dvar = fun(,var) v_water = 0.5; v_duck = 1; dvar = zeros(size(var); dvar(1) = (-v_duck*var(1)./norm(var)+v_water; dvar(2) = (-v_duck*var(2)./norm(var);end% press F5 to runtspan = 0 1.5;x0y0 = 0 1;t,var = ode45(fun,tspan,x0y

5、0);plot(var(:,1),var(:,2)axis(0 0.25 0 1)% get the equationdsolve(Dx=(x/y)-0.5*sqrt(x/y)2+1),x(1)=0,y)实验结果：图3 鸭子轨迹图输出：-y*sinh(log(y)/2)再用以下代码画出轨迹方程的图：y = 0:0.001:1;plot(-y.*sinh(log(y)/2),y)解析方程图：图4 解析方程的图像所得的方程表达式x = -y*sinh(log(y)/2)即结果分析：鸭子的轨迹为类似于抛物线的形状，大约在x=0.2时，被水流冲走使得水平位移最大，之后快速回到目标点O。鸭子成功游到对岸。得到的解析方程形状与求微分方程数值解ode45所画出的图像形状相同，验证了解析解和数值解均正确。4. 实验总结和实验感悟经过此次数学实验，让我们学会了如何使用MATLAB中的dsolve和ode45函数求得微分方程的解析解和数值解。在不能求得微分方程的解析解的时候应