点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

1、；点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线 x2y 210b0l与双曲

2、线相交于M、N两点，点（ a ， ）中，若直线a2b2P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 kMNy0b2.x02ax12y121,(1)( x1 ,y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则有a 2b2证明：设 M、 N 两点的坐标分别为x2 2y221.(2)a 2b2(1)x12x2 2y12y2 20.(2) ，得a 2b2y2y1y2y1b22 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y0y0.x2x1,x22x0x0x1y0b 2kMNx0a 2 .同理可证，在双曲线y 2x 2M 、 N 两点，a21（ a 0

3、， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于b 2点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 kMNy0a 2.x0b2典题妙解2例 1 已知双曲线C : y 2x1，过点 P(2,1) 作直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点 .3.；（ 1）求弦 AB 的中点M 的轨迹；（ 2）若 P 恰为弦 AB的中点，求直线l 的方程 .解：（ 1） a 21, b 23, 焦点在 y 轴上 .2设点 M 的坐标为 (x, y) ，由 k ABya2得： y1y1 ，xbx2x3整理得： x23 y 22x3y0.所求的轨迹方程为x 23

4、y 22x3y0.（ 2）P 恰为弦 AB 的中点，y0a211 , 即 k AB2 .由 kAB得： kABx0b2233直线 l的方程为 y12 ( x2) ，即2x3 y10.3例 2已知双曲线 C : 2x 2y 22与点 P(1,2).（ 1）斜率为 k 且过点 P 的直线 l 与 C 有两个公共点，求k 的取值范围；（ 2）是否存在过点P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为 P？（ 3）试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在 .解：（ 1）直线 l 的方程为 y2k (x1) ，即 ykx2k.ykx2k,得 (k22)x22(k22 )xk24k6 0.由2x2y22.k直线 l

5、与 C 有两个公共点，k 220,得4(k 22k )24(k 22)(k 24k6) 0.解之得： k 3 且 k2.22, 3 ).k 的取值范围是 (,2 )(2,2 )(2（ 2）双曲线的标准方程为x 2y21,a 21,b 22.2设存在过点 P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为 P，则由 k ABy0b2得： k 2 2, k 1.x02a由（ 1）可知， k1时，直线 l 与 C 有两个公共点，存在这样的弦.这时直线 l的方程为 yx1.；（ 3）设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kABy0b2得： k 12, k 2.x0a 2由（ 1）可知， k2时，直线 l 与 C 没

6、有两个公共点，设以 Q(1,1) 为中点的弦不存在 .例 3 过点 M (2,0) 作直线 l交双曲线 C : x2y 21 于 A 、B 两点，已知 OPOA OB （ O为坐标原点） ，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线 C : x2y 21中， a 2b 21，焦点在 x 轴上 .设弦 AB 的中点为 Q .OPOAOB,由平行四边形法则知：OP 2OQ ，即 Q 是线段 OP 的中点 .设点 P 的坐标为 ( x, y) ，则点 Q 的坐标为x , y.22yb2yyyy由221，kAB xa2 得： x2x x 4 x22整理得： x2y24 x0.配方得： (

7、 x2) 2y 21.44点 P 的轨迹方程是(x2)2y 21 ，它是中心为( 2,0)，对称轴分别为x 轴和直线44x 2 0 的双曲线 .例 4. 设双曲线 C 的中心在原点，以抛物线y 223x4 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线 l: y2x1与双曲线 C 交于 A, B 两点，求 AB ；（）对于直线l : ykx1，是否存在这样的实数k ，使直线 l 与双曲线 C 的交点 A, B 关于直线 l : yax4( a 为常数 )对称，若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由解：（）由 y223x4 得 y22 3( x2 )

8、 ，3.；p3 ，抛物线的顶点是(2,0) ，准线是 x321.32323c2,在双曲线 C 中，a 231.a21 ,b 21.3c23双曲线 C 的方程为 3x 2y21 .（）由y2x1,得： x24x 20 .3x 2y21.( ,),( ,) ，则.设y1 B x2y2x1x24, x1 x22A x1| AB |(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (1 2 2 )(4) 2422 10 .（）假设存在这样的实数k ，使直线 l 与双曲线C 的交点A, B 关于直线 l 对称，则 l 是线段 AB的垂直平分线 . 因而 a1 ，从而 l : yky0b2y0由 k AB

9、x0a2 得： kx03 ，由 y01 x04 得： ky0x0k由、得：x0k, y03 .1 x 4 . 设线段 AB 的中点为 P(x0 , y0 ) .kky03x0 .4k .由 y0kx01得： 3 k 21， k2 .又由 3x 2y 21, 得： (k 23)x 22kx20.ykx1.直线 l 与双曲线C 相交于 A 、 B 两点，4k 28(k 23) 0，即 k 2 6，且 k 23.符合题意的 k 的值存在， k2.金指点睛1. (03 全国 )已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7 ,0) ，直线 yx 1与其相交于M 、 N 两点，MN 的中点的横坐标为2），则此

10、双曲线的方程为（3.；x2y2B.x 2y 21C.x 2y 2x2y 2A.14351D.1342252.（ 02 江苏）设 A、 B 是双曲线 x 2y 21上两点，点 N (1,2) 是线段 AB 的中点 .2（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、 D 两点，那么 A 、 B、 C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线 x2y 21 ，过点 P(1 ,3 ) 作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点 .322（ 1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹 ;（ 2）若点 P 恰好是弦 AB 的中点，求直线l 的方程和弦 AB 的长 .4、双曲线

11、 C 的中心在原点， 并以椭圆 x2y 21 的焦点为焦点， 以抛物线 y22 3x 的准线为2513右准线 .（ 1）求双曲线C 的方程；（ 2）设直线 l: ykx3( k 0) 与双曲线 C 相交于 A 、 B 两点，使 A 、 B 两点关于直线l : ymx6( m0) 对称，求 k 的值 .参考答案25y0b255b21.解：在直线 yx1中， k1 ， x得 13.时， y. 由 kMNx0a222a2333b 25得 a22,b 2又由 a225 .a 2b 2c27故答案选 D.22y0b22.解：（ 1） a1,b2，焦点在 x 上.由 kAB x0a 2 得： k AB22

12、 ， k AB1.所求的直线AB 方程为（ 2）设直线 CD 的方程为y21 (x1) ，即 xy10 .xym0 ，点 N (1,2) 在直线 CD 上，1 2 m 0 ， m3.直线 CD 的方程为 xy 3 0.；yb2得： 1y，即 y2x .又设弦 CD 的中点为 M ( x, y) ，由 kCDa 22xxxy 3 0,由得 x3, y 6 .y 2x.点 M 的坐标为 ( 3,6) .xy 10,又由y2得 A(1,0), B(3,4) .x21.2由两点间的距离公式可知：| MA | | MB | | MC | | MD | 2 10 .故 A 、 B、 C、 D 四点到点M

13、的距离相等，即A 、 B、 C、 D 四点共圆 .3.解：（ ）a21,b23，焦点在 x 上.设点M的坐标为 (x, y).1若直线 l 的的斜率不存在，则lx 轴，这时直线 l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在 .yb2y3y由 kAB23 ，得：xa21xx2整理，得： 6x22y233y0.x点 M 的轨迹方程为 6x 22 y23x3y0 .y0b23（ 2）由 kAB得： kAB23，k AB1.x0a21321) ，即 y所求的直线 l方程为 y1 ( xx 1.22由x 2y 21,得x2x20，3yx1.解之得： x12, x21 .| AB |1 k 2 | x2x1 |2 3 3 2.4. 解：（ 1）在椭圆 x 2y 21中， a5, b13, ca2b 22 3 ，2513.；焦点为 F1 (23,0), F2 (23,0) .在抛物线 y223x 中， p3.3 ， 准线为 x2在双曲线中，a233,b3.c2. 从而 ax2y2.所求双曲线 C 的方程为139（ 2）直线 l 是弦 AB 的垂直平分线，m1，从而 l : y1x 6 . 设弦 AB 的中点为kkP( x0 , y0