[高一数学]07第七章不等式

1、精选文档第七章 不等式知识网络二元一次不等式组一元二次不等式不等关系不等式从实际问题中建立一元二次不等式解一元二次不等式三个“二次”间的联系二元二次不等式(组)表示的平面区域简单的二元线性规划问题基本不等式基本不等式的几何背景基本不等式的证明基本不等式的应用第1讲 不等关系与不等式 知 识 梳理 1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;a至多小于0，右边0。 原不等式成立。综合拔高训练6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号

2、的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm显然，当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适当ma时，设m=a+x（x0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 当x10时，P(x)Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选7.已知函数f（x）=|log2（x+1）

3、|，实数m、n在其定义域内，且mn，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n0；（2）f（m2）f（m+n）f（n2）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log2.由得m+1=n+1，与mn矛盾，舍去.由得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.m+11n+1.m0n.mn0.由得mn+m+n=0，m+n=mn0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.0m+1n+1，=1.m+n+22.m+n0.（2）证明：当x0时，f（x）=|lo

4、g2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+）上为增函数.由（1）知m2（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m0，m+n0，m（m+n）0.m2（m+n）0，0m2m+n.f（m2）f（m+n）.同理，（m+n）n2=mnn2=n（m+n）0，0m+nn2.f（m+n）f（n2）.f（m2）f（m+n）f（n2）.8. (广东省惠州市2009届高三第二次调研考试)设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；、在的条件下，是否存在正数M使下列不等式：对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由解：

5、、对任意的正数均有且又，又是定义在上的单增函数，当时，当时，为等差数列，、假设存在满足条件，即对一切恒成立分令，故，单调递增，w第2讲 一元二次不等式及其解法 知 识 梳理 一.解不等式的有关理论（1） 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2） 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3） 解不等式时应进行同解变形；（4） 解不等式的结果，原则上要用集合表示。二.一元二次不等式的解集 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 三.解一元二次不等式的基本步骤：（1） 整理系数，使最高次项的系数为正数；（2）

6、尝试用“十字相乘法”分解因式；（3） 计算（4） 结合二次函数的图象特征写出解集。四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； 重 难 点 突 破 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高

7、次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设，解关于x的不等式 点拨: 由得：或 讨论：（1）当时，得 （2）当时， （3）当时，或 综上所述，所求的解为:当时，解集为当时,解集为.当时,解集为12/(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.问题2. 已知函数当，求的解析式； 点拨:据题意：是方程的两根由韦达定理知：故 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 一元二次不等式的解法题型1.解一元二次不等式例1 不等式的解集是( ) A B. C. D. 【解题思路】严格

8、按解题步骤进行解析由得,所以解集为,故选D;别解:抓住选择题的特点,显然当时满足不等式,故选D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.例2已知关于的不等式的解集为,求的解集.【解题思路】由韦达定理求系数解析 由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数 【新题导练】1.不等式（2）2+2(2) -40,对一切R恒成立，则a的取值范围是（ ）A.（-,2 B.（-2,2 C.（-2,2） D.（-,2) 解析：可推知

9、-2a2,另a=2时，原式化为-40，恒成立，-2a2. 选B 2. 关于的不等式(-1)( -2)0，若此不等式的解集为|x2，则的取值范围是A. 0 B.02 C. D. 0 解析：由不等式的解集形式知m0. 答案：D 考点2 含参数不等式的解法题型1：解含参数有理不等式例1：解关于的一元二次不等式【解题思路】比较根的大小确定解集解析：，当，不等式解集为； 当时，不等式为，解集为；当，不等式解集为【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);根据根的判别式讨论().根据根的大小讨论().题型2：解简单的指数不等式和对数不等式例2. 解不等式

10、loga(1)1 【解题思路】借助于单调性进行分类讨论解析(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.【新题导练】3.关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D.以上答案都不对解析:原不等式可化为,需对分三种情况讨论,即不等式的解集与有关.4.解关于的不等式：解析：当；当

11、，当421-1x考点3 分式不等式及高次不等式的解法例5 解不等式: 【解题思路】先分解因式,再标根求解解析原不等式,各因式根依次为-1,1,2,4,在数轴上标根如下: 所以不等式的解集为. 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.【新题导练】5.若关于的不等式的解集是,则的值为_解析:原不等式,结合题意画出图可知.6. 解关于 解：若；若；若7.（ 广东省深圳中学20082009学年度高三第一学段考试）解不等式解析：即得所以原不等式的解集为考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于的不等式在上恒成立

12、,求实数的取值范围.【解题思路】结合二次函数的图象求解解析当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为【名师指引】不等式对一切恒成立或不等式对任意恒成立或题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析 (1)设.由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是.【名师指引】对一切恒成立,则;对一切恒成立,则;【新题导练】8.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_解析：不等式对一切R恒成立, 即 对一切R恒

13、成立 若=0,显然不成立 若0，则 9.若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：设f（x）x2ax1，则对称轴为x,若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0 综上，有a,故选C 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 不等式的解集是_解析:将不等式转化成，即.2. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 _.解析:先由方程的两根为2和3求得后再解不等式.得3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于的不等

14、式的解集为空集，则实数的取值范围是 解析： 的解集为空集，就是1= max所以4(08梅州)设命题P：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数的取值范围。解：命题P为真命题函数定义域为R对任意实数均成立解集为R，或 命题P为真命题5.解关于x的不等式(k0，k1).原不等式即， 1若k=0，原不等式的解集为空集；2若1k0，即0k0，若0k1，由原不等式的解集为x|2x；3若1k1时，原不等式等价于此时恒有2，所以原不等式的解集为x|x2.综合拔高训练6. 已知，且，解关于x的不等式： 解：原不等式等价于原不等式同解于7分由得，由得

15、从而1分当1时，原不等式解为当时，原不等式解为6.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a0）。（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时

16、），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）3000（1+2x%）1003000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0x50) （i）当025(a+1)50，即0a1，当x=25(a+1)时，y最大； （ii）当25(a+1)50，即a 1，函数y在（0,50单调递增，当x=50时，y取最大值 答：在0a1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 7.已知二次函数满足：对

17、任意实数x，都有，且当（1，3）时，有成立。（1）证明：;（2）若的表达式;（3）设 ,，若图上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围。解析：（1）由条件知 恒成立又取x=2时，与恒成立,.（2） . 又 恒成立，即恒成立.，解出：,.（3）由分析条件知道，只要图象（在y轴右侧）总在直线 上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是： .解法2：必须恒成立,即 恒成立.0，即 4(1m)280) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。错解2、，所以z的最小值是。错因分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的

18、条件是，与相矛盾。解析：z=，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1. 当积为定值时,求和最小值例1 . 已知且满足,求的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析：, ,当且仅当时等号成立,即,又, 当时,有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件题型2. 当和为定值时, 求积最大值例2. 已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时

19、x、y的值 【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy转化成lgxy考虑解析x0，y0，3x+4y=12， ，lgx+lgy=lgxylg3 由 解得 当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3. 若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解解法一 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二 a、b为正数， ab=a+b+

20、30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三 原条件式变为ab-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五 由已知得a(b-1)=b+3，显然a1， ，即ab9

21、【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法【新题导练】1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.解析:, , ,=，当且仅当即时.2. (2008华附)已知则的最小值为 解析:，当且仅当时取等号.3. 已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值解析： 设直线的方程（a0，b0），则，a+b2，即0，解得，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+2考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,求证:.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.解析 ,相加整理得. 当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例2. 已知a，b为正数，求证：【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1： a0，b0， ， ，两式相加，得， 解析2. 解析3. a0，b0， 欲证 ，即证 ，只要证 ，只要证 ，即证 ，只要证 a3+b3ab(a+b)，只要证 a2+b2-abab，即证 (a