1.2反比例函数的图象与性质（1）

1、第一课时,反比例函数的图象与性质,湖南省常德市桃源县文昌中学 王树芬,湖南教育出版社,挑战“记忆”,你还记得一次函数的图象与性质吗?,一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线, 称直线y=kx+b.,y随x的增大而增大;,y随x的增大而减小.,当k0时,当k0时,“预见性”,猜一猜,反比例函数的图象又会是什么样子呢?,你还记得作函数图象的一般步骤吗?,用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).,函数图象画法,列 表,描 点,连 线,描点法,注意：列表时自变量 取值要均匀和对称x0 所选整数最好是要好计算和

2、描点。,例 1,画出反比例函数 的图象.,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,6,1,6,-1,-6,-2,-3,-3,-1.5,-2,-4,-5,-1.2,-6,-1,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,画一画,(1),你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？,列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点; 列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; 连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平

3、滑的曲线连接,从中体会函数的增减性； ,画出反比例函数 的图象.,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,画一画,“心动”不如行动,操作：,y,0,x,0,y,x,这两个函数的图象分别位于哪几个象限内?,图象上的点的横坐标x逐渐增大时,纵坐标y是怎样变化的?,图象的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?,函数图象的两支分别在第一、三象限；,当k0时，,在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。(即y随x的增大而减小）,图象的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和

4、y轴相交。,画出反比例函数 的函数.,y = -,x,6,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,画一画,(2),画出反比例函数 的函数.,y = -,x,4,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,画一画,“心动”不如行动,操作：,刚才我们从图象的位置;y随着x的逐渐增大如何变化;图象和x轴、y轴的关系等方面对k0时的反比例函数的性质进行了探究, 你能不能也从这几个方面对k0时的反比例函数的性质进行一下总结呢?

5、,函数图象的两支分别在第二、四象限；,当k0时，,在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。（即y随x的增大而增大）,图象的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。,反比例函数的图象和性质,形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此 称反比例函数的图象为双曲线; 位置 当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随 着逐渐减小。(即y随x的增大而减小） 当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着 逐渐增大。 (即y随x的增大而增大）,与 增减 性,反比例函数

6、的 图象和性质,反比例函数的图象是 由两支双曲线组成的. 因此称反比例函数的 图象为双曲线;,当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;在每个象限内，y随x的增大而增大。,、这几个函数图象有什么共同点？,、函数图象分别位于哪几个象限？,、y随的x变化有怎样的变化？,如果我是双曲线你就是那渐近线如果我是反比例函数你就是那坐标轴虽然我们有缘能够生在同一个平面然而我们又无缘慢慢长路无交点为何看不见等式成立要条件难到正如书上说的无限接近不能达到,悲伤的双曲线,无缘之一，从无穷远来 到无穷远去， 人世间匆匆的路 无论走多远

7、， 终究只能与你擦肩而过， 啊，原点！ 无缘之二，每一步都向你逼近， 每一步都向你逼近， 可到底有些什么样无情的法则， 始终阻挡着你我的相会， 啊，坐标轴，穷尽一生竟也不能与你牵一牵手！,无缘,“试金石”,“双胞胎”之间的差异,位置,增减性,位置,增减性,y=kx ( k0 ),直线,双曲线,一三象限,y随x的增大而增大,一三象限,在每一象限内， y随x的增大而减小,二四象限,二四象限,y随x的增大而减小,在每一象限内， y随x的增大而增大,填表分析正比例函数和反比例函数的区别,二、四,减小,m 2,三,增大,一、请说出下列反比例函数的图象所在的象限及在每个象限内y随着x的增大而如何变化?,快

8、速反应,二、填空题,K2,二、四,二、四,增大,y,y,(A),x,0,x,0,(B),(C),(D),x,y,0,x,y,0,C,D,试一试,函数y=kx-k 与 在同一条直角坐标系中的 图象可能是 :,D,我的收获是 我学会了 我的困惑是 我想,畅所欲言,回味无穷,反比例函数,反比例函数的图象和性质 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线; 位置 当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.,第二课时,K0,K0,当k0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，

9、在每个 象限内，y随x的增大 而减小.,当k0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.,1.反比例函数的图象是双曲线;,2.图象性质见下表：,反比例函数的图象和性质：,再回首,理一理 再对比,在每一个象限内: 当k0时，y随x的增大而减小; 当k0时，y随x的增大而增大.,y=kx(k0)( 特殊的一次函数),当k0时，y随x的增大而增大; 当k0时，y随x的增大而减小.,D,活学活用,1、函数 的图象在第_象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_. 2、 函数 的图象在第_象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_. 3、函数 ,当x0时,图象在

10、第_象限, y随x 的增大而_.,一、三,二、四,一,减小,增大,减小,4、已知反比例函数 （1） 若函数的图象位于第一三象限，则k_; （2）若在每一象限内，y随x增大而增大， 则k_., 4, 4,5、反比例函数 的图象经过（2，-1），则k的值为 ；,6、反比例函数 的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（ ） A、10 B、5 C、2 D、-6,1,A,B,8.函数 是 函数，其图象为 ，其中k= ，自变量x的取值范围为 . 9.函数 的图象位于第 象限, 在每一象限内,y的值随x的增大而 , 当x0时,y 0,这部分图象位于第 象限.,反比例,双曲线,2,

11、x 0,一、三,减小,一,10.函数 的图象位于第 象限, 在每一象限内,y的值随x的增大而 , 当x0时,y 0,这部分图象位于第 象限.,二、四,增大,四,函数图象画法,列 表,描 点,连 线,描点法,注意：列表时自变量 取值要均匀和对称x0 所选整数最好是要好计算和描点。,例 1,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,1,6,2,3,3,2,4,1.5,5,1.2,

12、6,1,6,-1,-6,-2,-3,-3,-1.5,-2,-4,-5,-1.2,-6,-1,-6,6,3,-3,2,-2,1.5,-1.5,1.2,-1.2,1,-1,结论：,x,即：,推广：,“心动”不如行动,操作：,列 表,描 点,连 线,描点法,你能用两种方法画出反比例函数 的函数图象吗？,先画出函数 图象。然 后利用对称性沿x轴将其复印 下来，即得所求函数图像。,方法一：,直接描点法,方法二：,思 考：,1.,2.见数学教材P19C组题。,反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点,x,y,0,1,2,结论：,K0,K0,图

13、 像,图 像,性质,性质,自变量x的 取值范围,图像形状,对称性,连续性,一三象限,一三象限,二四象限,二四象限,位置,位置,位置,位置,x取全体实数,取x0的全体实数,直线,双曲线,既是轴对称图形又是中心对称图形,既是轴对称图形又是中心对称图形,连续,不连续,例2:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,解：（）设这个反比例函数为，,解得： ,这个反比例函数的表达式为,这个函数的图象在第一、第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小。,图象过点A（2，6）,（）把

14、点、和的坐标代入，可知点、 点的坐标满足函数关系式，点的坐标不满足函数关系式， 所以点、点在函数的图象上，点不在这个 函数的图象上。,例2:已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？,例3：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a，b），如果aa，那 么b和b有怎样的大小关系？,解：（）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，

15、或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。,函数的图象在第一、第三象限,解得 ,（），在这个函数图象的任一支上，随的增大而减小，,当时,例3：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和b（a，b），如果aa，那 么b和b有怎样的大小关系？,解：,1若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在 反比例函数 的图象上，则（ ）,A、y1y2y3 B、y2y1y3 C、y3y1y2 D、y3y2y1,B,注意：在不同象限时的大小比较。,2

16、、在反比例函数 的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1x20 x3，则下列各式中正确的是（ ） A、y3y1y2 B、y3y2y1 C、y1y2y3 D、y1y3y2,A,3.考察函数 的图象,当x=-2时,y= _ ,当x-2时,y的取值范围是 _ ;当y-1时,x的取值范围是 _ .,-1,-1y0,X0,4.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PDx轴于D.则POD的面积为 .,(m,n),1,SPOD =ODPD = =,5.反比例函数 上一点P（x0，y0），过点P作PAy轴，PBX轴，垂足分别为A、B，则四边形AOBP的面积为 ；且SAOP SBOP 。,=,如图:A、C是函数 的图象上任意两点，,A.S1S2 B.S1S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.,C,7.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的 关系式是 .,A,A.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3,S1,S3,S