2020版高中数学第四章导数应用章末复习课件北师大版.pptx

1、章末复习,第四章导数应用,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 2.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,达标检测,1,知识梳理,PART ONE,1.函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的. (2)函数的极值与导数 极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值； 极小值：在点xa

2、附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 . (2)将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,端点处函数值f(a)，f(b),极值,2,题型探究,PART TWO,题型一函数的单调性与导数,解当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e. 即曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e，,例1已知函数f(x)

3、(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR. (1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；,(2)试求f(x)的单调区间.,解f(x)x2(a2)x2a24aex. 令f(x)0，解得x2a或xa2，,f(x)0，f(x)在R上是增加的；,则当x(，2a)或x(a2，)时， f(x)0，故f(x)在(，2a)，(a2，)上为增函数， 当x(2a，a2)时，f(x)0，故f(x)在(2a，a2)上为减函数；,当x(a2，2a)时，f(x)0，f(x)在(a2，2a)上为减函数. 综上所述，,则当x(，a2)或x(2a，)时，f(x)0，故f(x)在(，a2)，(2a，)上

4、为增函数.,反思感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,跟踪训练1已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；,解求导得f(x)3x2a， 因为f(x)在R上是增函数， 所以f(x)0在R上恒成立. 即3x2a0在R上恒成立. 即a3x2，而3x20，所以a0. 当a0时，f(x)x31在R上是增加的，符合题意. 所以a的取值范围是(，0.,(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若

5、存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,解假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的， 则f(x)0在(1,1)上恒成立. 即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2， 又因为在(1,1)上，03x23，所以a3. 当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0， 所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意. 所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，).,题型二函数的极值、最值与导数,例2已知函数f(x) x2aln x. (1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；,解由于函数f(x)的定义域为(0，)，,令f(

6、x)0，得x1或x1(舍去)， 当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)是增加的，,则函数f(x)在1，e上为增函数，,(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；,当x1时，F(x)0，,所以在区间1，)上，F(x)0恒成立. 即f(x)g(x)恒成立. 因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方.,反思感悟1.已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. 2.讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负. 3.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可.,跟踪训练2已知函数f(x)exaxa(aR且a0)

7、. (1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；,解函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1. f(x)ex1， 在(，0)上，f(x)0，f(x)是增加的， 当x0时，f(x)取得极小值，a1. f(x)在2,0上是减少的，在(0,1上是增加的，,(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.,解f(x)exa，由于ex0. 当a0时，f(x)0，f(x)是增函数， 且当x1时，f(x)exa(x1)0.,函数f(x)存在零点，不满足题意. 当a0，f(x)是增加的， 当xln(a)时，f(x)取最小值.,函数f(x)

8、不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a 2aaln(a)0，解得e2a0. 综上所述，所求的实数a的取值范围是(e2,0).,题型三生活中的优化问题,例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；,解因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元， 所以蓄水池的总成本为(200rh1

9、60r2)元. 又由题意知200rh160r212 000，,(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.,令V(r)0， 解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去). 当r(0,5)时，V(r)0， 故V(r)在(0,5)上为增函数.,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.,反思感悟利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域. (2)求方程

10、f(x)0的所有实数根. (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.,跟踪训练3一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4x万元，且每生产1万件国家给予 补助 万元(e为自然对数的底数). (1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；,解月利润月销售收入月国家补助月总成本，,x22(e1)x2eln x2(x0).,(2)当月生产量在1,2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大

11、值(万元)及此时的月生产量(万件).(注：月利润月销售收入月国家补助月总成本),当x1,2e时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：,由上表得f(x)x22(e1)x2eln x2在1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22. 即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e22(万元)，此时的月生产量为e万件.,典例已知函数f(x)xax2ln x(a0). (1)讨论f(x)的单调性；,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,导数中不等式证明问题,不妨设(x)2ax2x1(x0，a0)，(*) 则关于x的方程2ax2x

12、10的判别式18a.,故f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的；,方程f(x)0有两个不相等的正根x1，x2， 不妨设x10， f(x)在(0，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的.,(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)32ln 2.,f(x)有极小值点x1和极大值点x2， 且x1，x2是方程(*)的两个正根，,f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(ln x1ln x2),f(x1)f(x2)32ln 2.,素养评析(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决. (2)通过对

13、条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),解析设g(x)xf(x)，x(0，)， 则g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数. ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b). 故选A.,1,2,3,4,5,2.用长为18 m的钢条围

14、成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为 A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m3,1,2,3,4,5,从而V(x)18x18x218x(1x)， 令V(x)0，解得x1或x0(舍去).,故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值， 从而最大体积VV(1)9126133(m3).,1,2,3,4,5,3.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有 A.f(0)f(2)2f(1) C.f(0)f(2)2f(1)D.f(0)f(2)2f(1),解析若f(x)不恒为0，则当x1时，f(x)0，当xf(1)，f(1)2f(1). 若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1). 综合，知f(0)f(2)2f(1).,1,2,3,4,5,(0，),解析由题意知，y4x2a的图像与x轴有两个交点， 16a0，a0.,1,2,3,4,5,(1)求a的值；,1,2,3,4,5,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,令f(x)0，解得x1(舍)或x5. 当x(0,5)时，f(x)0，