九年级数学鲁教版二次函数的应用1参考教案

1、3.6二次函数的应用 (1)教材分析本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是 件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解在教学中应引导学生按照上面的步骤进行首先要给学生自信心，

2、然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 (小)值教学目标(一 )教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值(二 )能力训练要求1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力(三 )情感与价值观要求1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和

3、数学的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力教学重点1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题教学方法教师指导学生自学法教具准备投影片四张第一张： (记作 3.6.1a

4、)第二张： (记作 3.6.1b)第三张： (记作 3.6.1c)第四张： (记作 3.6.1d)教学过程创设问题情境，引入新课师 本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题新课讲解一、例题讲解投影片； ( 3.6.1a)如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形abcd 其中 ab 和 ad 分别在两直角边上(1)设长方形的一边ab x m，那么 ad 边的长度如何表示 ?(2)设长方

5、形的面积为y m2当 x 取何值时， y 的值最大 ?最大值是多少 ?师 分析： (1)要求 ad 边的长度，即求 bc 边的长度，而 bc 是 ebc 中的一 边 ， 因 此 可 以 用 三 角 形 相 似 求 出 bc 由 ebc eaf ， 得ebbc 即 40 xbc 所以 ad=bc= 3(40-x).eaaf40304(2)要求面积的最大值即求函数y=abad=x 3 (40-x)的最大值，就转化为4数学问题了下面请大家讨论写出步骤生 (1) bc/ad ， ebc eaf ebbc .eaaf又 ab x， be=40-x， 40 xbc . bc= 3(40-x).40304a

6、d bc= 3(40-x)30- 3 x44332+30x(2)yabad=x(30-x)= -x4432=-(x -40x+400-400)32=-(x -40x+400)+30032=-(x-20) +300当 x=20 时，y 最大 =300.即当 x 取 20 m 时， y 的值最大，最大值是300m2师 很好刚才我们先进行了分析要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?生 不很难师 下面我们换一个条件看看大家能否解决设ad 边的长为 x m，则问题会怎样呢 ?与同伴交流生 要求面积需求

7、 ab 的边长，而 ab dc ，所以需要求 dc 的长度，而 dc是 fdc 中的一边，所以可以利用三角形相似来求解： dc/ab ， fdc faedcfd.aefaad=x ，fd30-x dc 30 x .40304dc=(30-x).4ab=dc=(30-x).4y=abad=x(30-x)42=-x +40x42=-(x -30x+225-225)42=-(x-15) +300.当 x=15 时， y 最大 =300即当 ad 的长为 15 m 时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2二、做一做投影片： ( 3.6.1b)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形

8、，制造窗框的材料总长 (图中所有黑线的长度和 )为 15 m，当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多 (结果精确到 0.01 m)?此时，窗户的面积是多少 ?师 通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗?生 可以分析： x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最 大 ， 而 由 于4y+4x+3x+x 7x+4y+x=15 ， 所 以2157xxy=面积41212157x x12 x(15 7 x x)2s=xx=x=-3.5x +7.5x，这时已+2xy=2+2x2+242经转化为数学问题即

9、二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可解： 7x+4y-x15，y= 157xx .4设窗户的面积是s(m2)，则12s=x2+2xy1157 xx=2x2+2x4=12x(157 xx)x2+2=-3.5x2+7.5x2 15=-3.5(x -x)=-3.5(x- 15) 21575 ).14392当 x 15 1.07 时，14s 最大 = 1575 4.02.392即当 x1.07 m 时， s 最大 4.02 m2，此时窗户通过的光线最多师 大家做得非常棒三、议一议师 )我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基

10、本思路是什么呢?与同伴进行交流生 首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题师 看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：投影片： ( 3.6.1c)解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的课堂练习投影片： ( 3.6.1d)1一养鸡专业户计划用116 m 长的竹篱笆靠墙 (如下图 )围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少 ?解：设 ab

11、 长为 x m，则 bc 长为 (116-2x)m，长方形面积为sm2，根据题意得sx(116-2x)-2x2+116x-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29) 2+1682.当 x 29 时， s 有最大值 1682，这时 116-2x58即设计成长为 58 m，宽为 29 m 的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为 1682 m2课时小结本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值课后作业习题 3.12活动与探究已知矩形的长大于宽的2 倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于1 设梯形的面积为s，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x2的函数关系式，并指