课件--概率论与数理统计概率第一章概率1-6

1、概率论第六节独立性两个多个的独立性的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结布置作业概率论一、两的独立性先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设P(A|B)=P(A)显然这就是说,已知率,这时称B发生,并不影响A发生的概A、B独立.A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，概率论A、B独立时，有由乘法公式知，当P(AB)=P(A) P(B)P ( AB) = P ( A B) P ( B )用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)P(B|A)=P(B)或更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.概率论两独立的定义A、B满足P(AB)= P(A) P(B)若

2、两(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.定理1A、B 独立的充要条件为P(A | B) = P(A) , P(B) 0P(B | A) = P(B), P(A) 0或概率论证先证必要性. 设A、B 独立,由独立定义知P(AB) = P(A) P(B)P(B) 0时, P(A | B) = P(AB)= P(A)P(B) = P(A)所以,当P(B)P(B)P(A) 0时, P(B | A) = P(AB)= P(A)P(B) = P(B)或者,当P(A)P(A)再证充分性:设 P(A | B) = P(A) 成立,则有P(AB) = P(A | B)P(B) = P(A)P(B)由定义可知

3、,A、B 相互独立.概率论例从一副不含大小王的牌中任取一张，记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的A、B是否独立？解 由于 P(A)=4/52=1/13,问P(B)=26/52=1/2,P(AB)=2/52=1/26.可见,P(AB)=P(A)P(B)A、B独立.故概率论前面我们是根据两独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:牌中任取一张,记从一副不含大小王的A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的, 则P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13P(A)= P(A|B), 即A、B独立.可见在实际应用中,往往根据问题的实际意义去是否独立.判断两概率论在实际应用中,往往根据问题的实际

4、意义去判是否独立.断两例如甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？（即一发生与否并不影响另一发生的概率）由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 .概率论又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai=第i件是合格品i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.概率论请问：如图的两个是独立的吗？ P(AB)=0我们来计算：而P(A) 0, P(B) 0即故 P(AB) P(A)P(B)A、B不独立 即 若A、B互斥，且P(A)0

5、, P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.AB概率论前面我们看到独立与互斥的区别和联系，再请你做个小练习.设A、B为互斥，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)03. P(A|B)=02. P(A|B)=P(A)4. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)03. P(A|B)=02. P(A|B)=P(A)4. P(AB)=P(A)P(B)概率论定理 2 若两也相互独立.A、B独立, 则A与B, A与B, A与BA、B独立证明仅证A与

6、B 独立P(AB )= P(A - A B)概率的性质= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)=P(A)1- P(B)= P(A) P(B)故 A与B独立概率论二、多个的独立性设 A、B、C 为三,如果满足等式定义P(AB) = P(A)P(B)P(AC ) = P(A)P(C )P(BC ) = P(B)P(C )A、B、C 为两两独立的A、B、C 两两独立时,等式.则称三当P(ABC ) = P(A)P(B)P(C )不一定成立.概率论例如S = w1,w2 ,w3 ,w4 ,A = w1,w2, B = w1,w3,P(A) = P(B) = P(C ) = 1 ,

7、 并且,C = w,w,则142P(AB) = 1 = P(A)P(B) ,4P(AC ) = 1 = P ( A) P (C ),4P(BC ) = 1 = P(B)P(C ) .4A、B、C 两两独立.即P(ABC ) = 1 P(A)P(B)P(C ).但是4概率论A、B、C，若对于三个P(AB)= P(A)P(B)P(AC)= P(A)P(C)P(BC)= P(B)P(C)P(ABC)= P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称A、B、C相互独立.的情形:此定义可以推广到任意有限多个概率论定义 设 A1 , A2 , , An 为n 个,如果对于任意的k (1 2)个 相互独立

8、两两独立?概率论三、独立性的概念在计算概率中的应用对独立，许多概率计算可得到简化例1 有甲、乙两批种子，出苗率分别为0.8 和0.9 ,现从这两批种子中各任取一粒,求(1)两粒种子都出苗的概率;(2) 恰好有一粒种子出苗的概率;(3)至少有一粒种子出苗的概率 .解 设 A = 由甲批中取出的一粒种子出苗 B = 由乙批中取出的一粒种子出苗 概率论两粒种子都出苗A、B 相互独立, 且则表示为: AB , 恰好有一粒出苗表示为: AB + AB , 至少有一粒种子出苗表示为: A B .(1)(2)P(AB)= P(A)P(B) = 0.8 0.9 = 0.72 ;P(AB AB )= P(AB)

9、 + P(AB )= P(A)P(B) + P(A)P(B ) = 0.2 0.9 + 0.8 0.1 = 0.26 .P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)= P(A) + P(B) - P(A)P(B)(3)= 0.8 + 0.9 - 0.8 0.9 = 0.98 .或者 P(A B) = 1 - P(A B) = 1 - P(AB )= 1 - P(A)P(B ) = 0.98 .概率论P(A B) = P(AB + AB + AB )= P(AB) + P(AB + AB ) = 0.72 + 0.26 = 0.98 .例2 设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都或者

10、是0.6 ,求下列的概率:(1)同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少?(2) 若有一架敌机入侵领空, 欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮?解 设 Ak= 第k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机,k = 1,2 ,则 Ak 之间相互独立,且 P(Ak ) = 0.6 ,于是 A2 ) = 1 - P(A1 A2 ) = 1 - P(A1 A2 )(1) P(A1概率论()()= 1 -0.4= 0.84 .2= 1 - PAPA12(2)设至少需要n门高射炮,由题知)= 1 - P(A1 A2 An )P(A A A12n= 1 - P(A1 A2 An )= 1 - P(A1

11、)P(A2 )P(An )= 1 - 0.4n 0.99(0.4)n ln 0.01 5.026 .解之得,ln 0.4概率论例3要验收一批 (100件)乐器 . 验收方案如下:自该批乐器中随机地取 3 件测试( 设 3 件乐器的测试是相互独立的), 如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯 , 则这批乐器就被拒绝接收. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95 ; 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01 . 如果已知这100 件乐器中恰有4 件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?概率论设 Hi= 随机地取出3 件, 恰有 i 件音色不纯 ,i =

12、0,1,2,3 .解A = 这批乐器被接收.则P(A) = P(A | H0 )P(H0 ) + P(A | H1 )P(H1 )+ P(A | H2 )P(H2 ) + P(A | H3 )P(H3 )C 3C 2 C 1P(H) =P(H) = 964 96 ,其中0C 31C 3100100C 1 C 2C 3, P(H) =P(H) = 964 4,2C 33C 3100100概率论P(A | H0 ) = (0.99),P(A | H) = (0.99) (0.05) ,321,P(A | H3 ) = (0.05)3P(A | H2 ) = (0.99)(0.05)2.所以这批乐器

13、被接收的概率为:P(A) = P(A | H0 )P(H0 ) + P(A | H1 )P(H1 )+ P(A | H2 )P(H2 ) + P(A | H3 )P(H3 )C 321CC () ()2 ()3=0.99+ 96 9640.990.05C 3C 3100100C 3C 1 C 2(0.05)3=()() + 420.8629 .+ 964 0.990.05C 3C 3100100概率论例4三人独立地去破译一份，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将译出的概率是多少？解 将三人编号为1，2，3，所求为 P ( A1 A2 A3 )已知,P(A1)

14、=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4P ( A1 A2 A3 ) = 1 - P ( A1 A2 A3 ) 记 Ai=第i个人破译出i=1 , 2 , 3概率论 A2 A3 ) = 1 - P ( A1 A2 A3 )P ( A11= 1 - P( A1 A2 A3 )= 1 - P( A1 )P( A2 )P( A3 )=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)2= 1 - 4 2 3 = 3 = 0.653453概率论下面是一个串并联电路示意图.A、B、例5C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.CF0.700.75DH0.950.700.950.95GE0.750.70AB概率论CF0.700.75DH0.950.700.950.95GE0.750.70将电路正常工作记为W，由于各元件独立工解作，有P (W ) = P ( A) P ( B) P (