函数的周期性和对称性

1、函数的性质 -对称性、周期性,1,(1)若 关于直线 对称,一、函数的对称性,若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在 上，就称 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。,(2)若 关于点 对称,两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.,2,定理：若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。,cor.若函数 满足 ，那么函数以 为对称轴。,即：,3,定理：若函数 满足 ，那么函数关于点 对称。,cor.若函数 满足 ，那么函数关于点 对称 。,即：,4,2)若 ,则函数 关于_对称;,注：1.当 时,函数关于直线 对称,2.当 时,函数关于点 对称,偶函数-特殊的轴对称函数,奇函

2、数-特殊的点对称函数,一般地,1)若 ,则函数 关于 对称.,5,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)=f-1(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:若函数,12,6,关于x=0对称,例1：已知 的图象,画出 和 的图象，并指出两者的关系。,若函数 上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在 上，就称 和 关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。,7,一般地, 函数 和 关于_对称.,记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.,y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f-1(x),y=-f-1(-x),y=f(2m-x),y=

3、2n-f(x),y=2n-f(2m-x),8,例3：设 的图象与 的图象关 于直线 对称，求 的解析式。,例2:将函数 右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点 对称，求C2的函数解析式。,利用对称性求解析式,（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式,9,例4：设 图象关于直线 对称,在 上， 求当 时 的解析式。,例5：设 是定义在R上的偶函数，它的图 象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式,(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换,10,关于直线 对称,关于直线 对称,关于 对称,关于点 对称,常见函数的对称性,一个函数本身的对称性称为自对称,分成 关于某直线对称

4、或某点对称.,原点,11,二、函数的周期性,理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？,1.定义:对于函数 ，若存在非零常数T，使得 恒成立，则称 为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。,(2).若T是 的一个周期，则kT（k是非零整数）均是 的周期吗？ (3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？,T= (a-b),思考：若 ,函数 具有什么性质？,12,13,注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件,2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明),14,3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。 性质1.若函数 以 为对称轴，那么此函数

5、是周期函数，周期T=,X=a,X=b,15,性质2.若函数 以 为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=,假定,(a,0),(b,0),16,性质3.若函数 以 为对称点，以 为对称轴，那么此函数是周期函数，周期 T=,假定,X=b,(a,0),X,Y,O,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,练习1:定义在R上的函数 满足 且方程 有1001个根，则这1001个根的和？,4:如果 那么,3：如果 那么,2:函数 图象关于点 对称，则,27,5:(1)定义在R上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有( )个根。 (2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间 至少有( )个根。,重要结论：若 奇，且周期为T，则必有,注：可用模拟图，直观明了,28,思考：若 周期为 ，又 关于 对称，能否推出 是偶函数？若能， 能否严格证明？,练习:1.若 为定义在R上的奇函数，且关于直线 对称，问： 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。,2. 若 为定义在R上偶函数且满足 问： 是否关于直线 对称？若是，请给出证明。,3：设奇函数 ，且 当 则,29,30,5：设 是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时,函数 求当 时 的解析式。,6：函