解的存在唯一性定理证明_第1页
解的存在唯一性定理证明_第2页
解的存在唯一性定理证明_第3页
解的存在唯一性定理证明_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件：（1）、在上连续；（2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。则初值问题在区间上存在唯一解，其中二、【证明】逐步迫近法：微分方程等价于积分方程。取，定义可证明的满足积分方程。通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。命 题 1：先证积分方程与微分方程等价：设是微分方程定义于区间上满足初值条件的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。证： 因是微分方程的解，有两边从到取定积分，得：代入初值条件得：即是积

2、分方程定义于区间上的连续解。反之，则有微分得：且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得到次近似。从而构造逐步迫近函数序列为：命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式证：当时，。显然在上有定义、连续且有，即命题2当时成立。由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有：知在上有定义、连续且有命题2当时也成立。由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。命 题 3：函数序列在上一致收敛。证：只须考虑级数-（*）在上一致收敛。因其部分和为：，因，设对成立。则当时有即对所有，在成立 。其右端组成正项收敛级数 由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。现设则在上有定义、连续且命 题 4： 是积分方程在上的连续解。证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。于是即是积分方程在上的连续解。命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由，得：，。设，则。由数学归纳法，对

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 辅导培训

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论